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1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系.
[必备知识]
考点1等比数列的有关概念
1.等比数列的定义
一般地，如果一个数列从起，每一项与它的前一项的比等于常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，公比通常用字母q(q≠0)表示.
2.等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝.
3.等比中项
如果成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列.
考点2等比数列的前n项和公式
等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝na1；
当q≠1时，Sn＝＝.
第二项
同一个
公比
a1qn－1
a，G，b
G2＝ab
[必会结论]
等比数列的主要性质
设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和.
1.若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，qN.
特别地，若2s＝p＋r，则apar＝a，其中p，s，rN.
2.相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，mN).
3.若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和(其中b，p，q是非零常数)也是等比数列.
4.Sm＋n＝Sn＋qnSm＝Sm＋qmSn.
5.当q≠－1或q＝－1且k为奇数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…是等比数列．当q＝－1且k为偶数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…不是等比数列.
6.若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列.
7.若数列{an}的项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q.
8.等比数列{an}的单调性
当，或时，{an}为递增数列，当，或时，{an}为递减数列.
[双基夯实]一、疑难辨析
判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
1.若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列．()
2.满足an＋1＝qan(nN，q为常数)的数列{an}为等比数列．()
3.G为a，b的等比中项G2＝ab.()
4.如果{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．()
5.如果数列{an}为等比数列，则数列{lnan}是等差数列．()
6.数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.()
×
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二、小题快练
1.[课本改编]若等比数列{an}满足a1＋a3＝20，a2＋a4＝40，则公比q＝()
A.1 B．2
C.－2 D．4
解析由题意，得解得故选B.
2.[2016·黄冈调研]设等比数列{an}中，公比q＝2，前n项和为Sn，则的值()
A.B.
C. D.
解析S4＝＝15a1，a3＝a1q2＝4a1，
＝，选A项.
3.[课本改编]设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝()
A.11 B．5
C.－8 D．－11
解析因为等比数列{an}中8a2＋a5＝0，
所以q3＝＝－8，q＝－2，
＝＝＝－11，故选D.
4.[课本改编]已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9＝2a，a2＝1，则a1＝()
A.B.
C. D．2
解析因为a3·a9＝2a，则由等比数列的性质有：a3·a9＝a＝2a，所以＝2，即2＝q2＝2.因为公比为正数，故q＝.又因为a2＝1，所以a1＝＝＝.
5.[2015·课标全国卷]在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________.
解析an＋1＝2an，即＝2，
{an}是以2为公比的等比数列.
又a1＝2，Sn＝＝126.
2n＝64，n＝6.
6
考向等比数列的基本运算
例1(1)[2015·课标全国卷]已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝()
A.21 B．42
C.63 D．84
[解析]解法一：由于a1(1＋q2＋q4)＝21，a1＝3，所以q4＋q2－6＝0，所以q2＝2(q2＝－3舍去)，所以a3＝6，a5＝12，a7＝24，所以a3＋a5＋a7＝42.故选B.
解法二：同解法一求出q2＝2，由a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝42，故选B.
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考点视频
(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.
[解析]a1＝1，S6＝4S3，显然q≠1，
＝4×，1＋q3＝4，q3＝3，
a4＝a1q3＝3.
3
等比数列运算的通法与等差数列一样，求等比数列的基本量也常运用方程的思想和方法．从方程的观点看等比数列的通项公式an＝a1·qn－1(a1q≠0)及前n项和公式Sn＝中共有五个变量，已知其中的三个变量，可以通过构造方程或方程组求另外两个变量，在求公比q时，要注意应用q≠0验证求得的结果.
【变式训练1】(1)[2016·海南调研]等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝()
A. B．－
C. D．－
解析由S3＝a2＋10a1，得a1＋a2＋a3＝a2＋10a1，即a3＝9a1，即＝q2＝9，又因为a5＝9，所以a1q4＝9，解得a1＝.
(2)在等比数列{an}中，Sn是它的前n项和，若q＝2，且a2与2a4的等差中项为18，则S5＝()
A.62 B．－62
C.32 D．－32
解析依题意得a2＋2a4＝36，q＝2，则2a1＋16a1＝36，解得a1＝2，因此S5＝＝62，选A.
考向等比数列的性质等比数列的性质是高考的热点之一，很多题目利用等比数列的基础知识也能解决，但计算量比利用等比数列的性质解决偏大，主要类型有考查等比数列项的性质和考查等比数列和的性质.命题角度1等比数列项的性质的应用
例2[2015·安徽高考]已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于________.
[解析]，，则a1，a4可以看作一元二次方程x2－9x＋8＝0的两根，故或，数列{an}是递增的等比数列，，可得公比q＝2，前n项和Sn＝2n－1.
2n－1
命题角度2等比数列和的性质的应用
例3[2016·山东联考]设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于()
A.B．－C.D.
[解析]因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，在等比数列中S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，所以有8(S9－S6)＝1，即S9－S6＝，故选A.
等比数列的性质应用问题
(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要.
【变式训练2】(1)[2016·温州模拟]已知正项等比数列{an}中，a1＝1，a3a7＝4a，则S6＝()
A.2B.
C. D.
解析因为a3a7＝4a，所以由等比数列的性质，
a＝4a，q＝＝，
S6＝＝＝，故选D.
(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10S5＝12，则S15S5的值为()
A.B.
C. D.
解析等比数列中S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，设S5＝2，S10＝1，S10－S5＝－1，S15－S10＝，S15＝，S15∶S5＝，选D.
考向等比数列的判定与证明
例4[2016·安庆模拟]数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(nN)．若bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列.
[证明]an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an，
＝＝＝＝2.
S2＝a1＋a2＝4a1＋2，a2＝5.
b1＝a2－2a1＝3.
数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列.
延伸探究1在本例的等条件下，求{an}的通项公式.
解由本例知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，
所以－＝，
故是首项为，公差为的等差数列.
所以＝＋(n－1)·＝，
所以an＝(3n－1)·2n－2.
延伸探究2在延伸探究1的条件下，若cn＝，证明{cn}为等比数列.
证明由[延伸探究1]知，an＝(3n－1)·2n－2，cn＝2n－2.
＝＝2.又c1＝＝，
数列{cn}是首项为，公比为2的等比数列.
等比数列的判定方法
(1)定义法：若＝q(q为非零常数，nN)或＝q(q为非零常数且n≥2，nN)，则{an}是等比数列.
(2)等比中项公式法：若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(nN)，则数列{an}是等比数列.
(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，nN)，则{an}是等比数列.
(4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列.提醒前两种方法常用于解答题中，而后两种方法常用于选择、填空题中的判定.
【变式训练3】已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝，nN.
(1)令bn＝an＋1－an，证明：{bn}是等比数列；
(2)求{an}的通项公式.
解(1)证明：b1＝a2－a1＝1，
当n≥2时，bn＝an＋1－an＝－an
＝－(an－an－1)＝－bn－1，
所以{bn}是首项为1，公比为－的等比数列.
(2)由(1)知bn＝an＋1－an＝n－1，
当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝1＋1＋＋…＋n－2
＝1＋
＝1＋＝－n－1，
当n＝1时，－1－1＝1＝a1，
所以{an}的通项公式为an＝－n－1(nN).
核心规律
1.已知a1、q、n、an、Sn中的任意三个，即可求得其余两个，这体现了方程思想.
2.证明一个数列为等比数列常用定义法或等比中项法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.
满分策略
1.求解等比数列的问题，要注意等比数列性质的应用以减少运算量，而提高解题速度.
2.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误.
题型技法系列13——特例验证法破解数列问题
[2015·锦州模拟]已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝()
A.2n－1B.n－1
C.n－1D.
[解题视点]本题考查了在递推关系下，求数列的前n项和，意在考查考生思维与运算能力；用特值验证法，取前若干项的和，再求选项的值，若对应相等且唯一时，则可确定答案，此题也可应用an与Sn关系求得an，再用等比数列的求和公式求解.
[解析]解法一：(验证法)
令n＝1，则得a2＝，故S2＝1＋＝，然而22－1＝2≠，故选项A错.2－1＝≠，故选项C错.＝≠，故选项D错．故选B.
解法二：Sn＝2an＋1，Sn－1＝2an(n≥2)，
两式相减得：an＝2an＋1－2an，＝.
数列{an}从第2项起为等比数列，又n＝1时，S1＝2a2，a2＝.
Sn＝a1＋＝1－＝n－1.
解法三：Sn＝2an＋1，
Sn＝2(Sn＋1－Sn)，Sn＋1＝Sn，
数列{Sn}是以1为首项，为公比的等比数列，
Sn＝n－1.
答题启示特例验证法就是从题干出发，运用满足题设条件的某些特殊值、特殊角、特殊点、特殊图象等，对各选择项进行检验或推理.,利用特值检验法时，也许考生会在检验过程中，首次遇到与选项相等，就确定答案，事实上那样是错的，因为特殊不包括一般，正确的解答是逐项检验，直到剩下一个正确项即可.
跟踪训练1.设数列1，(1＋2)，…，(1＋2＋22＋…＋2n－1)，…的前n项和为Sn，则Sn等于()
A.2n B．2n－n
C.2n＋1－n D．2n＋1－n－2
解析解法一：特殊值法，易知S1＝1，S2＝4，只有选项D适合.
解法二：研究通项an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1，
Sn＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1)
＝(21＋22＋…＋2n)－n＝2n＋1－n－2.故选D.
2.[2015·威海模拟]数列{an}中，已知对任意nN，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，则a＋a＋a＋…＋a等于()
A.(3n－1)2B.(9n－1)
C.9n－1D.(3n－1)
解析解法一：特殊值法，a1＝2，a2＝6，n＝2时，a＋a＝40，代入验证，可知B项正确.
解法二：a1＋a2＋…＋an＝3n－1，nN，
n≥2时，a1＋a2＋…＋an－1＝3n－1－1，
当n≥2时，an＝3n－3n－1＝2·3n－1，
又n＝1时，a1＝2适合上式，an＝2·3n－1，
故数列{a}是首项为4，公比为9的等比数列.
因此a＋a＋…＋a＝＝(9n－1).
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