板块三启智培优·破译高考板块四模拟演练·提能增分板块五限时·规范·特训板块一板块二板块四板块五高考一轮总复习·数学（理）板块三高考一轮总复习·数学（理）第7章立体几何第1讲空间几何体的结构及其三视图和直观图板块一知识梳理·自主学习板块二典例探究·考向突破板块一板块二板块四板块五高考一轮总复习·数学（理）板块三
1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.能画出简单空间图形?长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合?的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图.3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.4.会画某些建筑物的三视图与直观图?在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等没有严格要求?.
[必备知识]
考点1空间几何体的结构特征
考点2空间几何体的三视图
1.三视图的形成与名称
空间几何体的三视图是用平行投影得到的，在这种投影之下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括.
2.三视图的画法
(1)在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成.
(2)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的方、方、方观察几何体画出的轮廓线.
正视图、侧视图、俯视图
虚线
正前
正左
正上
考点3空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用画法来画，基本步骤是：
1.画几何体的底面
在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使x′O′y′＝45°(或135°)，已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中仍平行于x′轴，长度，平行于y轴的线段仍平行于y′轴，长度.
2.画几何体的高
在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度.
斜二测
不变
减半
不变
[必会结论]
1.常见旋转体的三视图
(1)球的三视图都是半径相等的圆.
(2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形.
(3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形.
(4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形.
2.斜二测画法中的“三变”与“三不变”
“三变”
“三不变”
3.直观图与原图形面积的关系
S直观图＝S原图形(或S原图形＝2S直观图).
[双基夯实]
一、疑难辨析
判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
1.球的任何截面都是圆．()
2.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．()
3.棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分．()
4.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱．()
5.上下底面是两个平行的圆面的旋转体是圆台．()
6.用一个平面去截一个球，截面是一个圆面．()
7.在用斜二测画法画水平放置的A时，若A的两边分别平行于x轴和y轴，且A＝90°，则在直观图中A＝45°.()
×
×
√
×
×
√
×
二、小题快练
1.[2014·福建高考]某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是()
A.圆柱B．圆锥
C.四面体 D．三棱柱
解析因为圆锥、四面体、三棱柱的正视图均可能是三角形，而圆柱的正视图是矩形或圆，不可能为三角形，所以选A.
2．[课本改编]如图，长方体ABCD－A′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′.剩下的几何体是()A.棱台
B.四棱柱
C.五棱柱
D.简单组合体
解析由空间几何体的结构特征知，该剩下部分为五棱柱ABFEA′－DCGHD′.
3．[课本改编]如图，直观图所表示的平面图形是()
A.正三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.直角三角形
解析由直观图中，A′C′∥y′轴，B′C′∥x′轴，还原后如图AC∥y轴，BC∥x轴.
所以△ABC是直角三角形.
故选D.
4.一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为()
①长方形②直角三角形③圆④椭圆
A.① B．②
C.③ D．④
解析当俯视图为圆时，由三视图可知为圆柱，此时正视图和侧视图应该相同，所以俯视图不可能是圆，故选C.
5.[2015·宁德质检]如图是正方体截去阴影部分所得的几何体，则该几何体的侧视图是()
解析此几何体侧视图是从左边向右边看，故C符合题意.
考向空间几何体的结构特征
例1下列说法正确的是()
A.有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
B.四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形
C.有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
D.棱台的各侧棱延长后不一定交于一点
[解析]A错，如图1；B正确，如图2，其中底面ABCD是矩形，可证明PAB，PCB都是直角，这样四个侧面都是直角三角形；C错，如图3；D错，由棱台的定义知，其侧棱必相交于同一点.
解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧
(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定.
(2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可.
【变式训练1】以下命题：
以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；
以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．
其中正确命题的个数为()
A．0 B．1
C．2 D．3
解析命题错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥；命题错，因为这条腰必须是垂直于两底的腰；命题错，因为圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，命题错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以．
考向空间几何体的三视图从近几年的高考来看，空间几何体的三视图与直观图的综合年年考查，题目难度不大命题角度1由空间几何体的直观图识别三视图
例2[2014·江西高考]一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是()
点击观看
考点视频
[解析]由几何体的直观图知，该几何体最上面的棱横放且在中间的位置上，因此它的俯视图应排除A、C、D，经验证B符合题意，故选B.
命题角度2由空间几何体的三视图还原直观图
例3[2015·北京高考]某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为()
A．1B.C.D．2
[解析]四棱锥的直观图如图所示．
由三视图可知，SB平面ABCD，SD是四棱锥最长的棱，SD＝＝＝.
三视图问题的常见类型及求解策略
(1)在分析空间几何体的三视图时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果．
(2)在由三视图还原空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，在还原空间几何体的实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑.
【变式训练2】(1)[2016·厦门模拟]如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点，若用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为()
解析结合原正方体先确定剩余几何体的形状，再确认其侧视图．
设过点A，E，C1的截面与棱DD1相交于点F，且F是棱DD1的中点，该正方体截去上半部分后，剩余几何体如图所示，则它的侧视图应选C.
(2)[2014·课标全国卷]如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()
A．三棱锥 B．三棱柱
C．四棱锥 D．四棱柱
解析由题中三视图可知该几何体的直观图如图所示，则这个几何体是三棱柱，故选B.
考向空间几何体的直观图
例4[2015·桂林模拟]已知正三角形ABC的边长为a，那么ABC的平面直观图A′B′C′的面积为()
A.a2 B.a2
C.a2 D.a2
[解析]如图、所示的平面图形和直观图．
由可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a，在图中作C′D′A′B′于D′，则C′D′＝O′C′＝a.
S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×a×a＝a2.
延伸探究若本例改为“A1B1C1是边长为a的正三角形，且A1B1C1是ABC的直观图”，则ABC的面积为多少？
解
在A1D1C1中，由正弦定理＝，得x＝a，
S△ABC＝×a×a＝a2.
平面图形与其直观图的关系
(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．”
(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图＝S原图形．
【变式训练3】(1)水平放置的ABC的斜二测直观图如图所示，若A1C1＝2，ABC的面积为2，则A1B1的长为________．
解析由直观图可知ACBC，BC＝2B1C1，AC＝2，又因为AC·BC＝2，所以BC＝2，则B1C1＝BC＝，
所以A1B＝22＋()2－2×2××cos45°＝2，
解得A1B1＝.
(2)如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝2，则原图形OABC的面积为________．
24
解析由题意知原图形OABC是平行四边形，且OA＝BC＝6，设平行四边形OABC的高为OE，则OE××＝O′C′，
O′C′＝2，OE＝4，
S?OABC＝6×4＝24.
核心规律
1.要掌握棱柱、棱锥的结构特征，计算问题往往转化到一个三角形中进行解决.
2.旋转体要抓住“旋转”的特点，弄清底面、侧面及其展开图的形状.
3.三视图的画法：(1)实虚线的画法：分界线和可见轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线；(2)理解“长对正、宽平齐、高相等”.
满分策略
1.台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱(母线)延长后必交于一点.
2.空间几何体不同放置时其三视图不一定相同.
3.对于简单组合体，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，易忽视实虚线的画法.
易错警示系列8——三视图识图不准致误
[2014·湖北高考]在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．给出编号为、、、的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()
A．和 B．和
C．和 D．和
[错解]根据给出的空间直角坐标系，描出各点连接，可知C正确．
[正解]在空间直角坐标系中构建棱长为2的正方体，设A(0，0,2)，B(2,2,0)，C(1,2,1)，D(2,2,2)，则ABCD即为满足条件的四面体，得出正视图和俯视图分别为和，故选D.
[错因分析](1)不能由点的坐标确定点在空间直角坐标系中的位置．(2)不能借助于正方体，由空间几何体的直观图得到它的三视图．(3)受思维定势的影响，直观感觉正视图为三角形，而无法作出选择．
答题启示在三视图中，正视图、侧视图的高就是空间几何体的高，正视图、俯视图中的长就是空间几何体的最大长度，侧视图、俯视图中的宽就是空间几何体的最大宽度.在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼见为实、不见为虚”.在三视图的判断与识别中要特别注意其中的“虚线”.
跟踪训练[2013·课标全国卷]一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为()
解析在空间直角坐标系中，易知O(0,0,0)，A(1,0,1)，B(1，1,0)，C(0,1,1)恰为单位正方体的四个顶点，棱BC在zOx平面的投影是看得见的，而OA的投影即它本身，在投影面中是看不见的，故A项正确．
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