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[必备知识]
考点1离散型随机变量的均值与方差
1．若离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn (1)均值
称E(X)＝为随机变量X的均值或，它反映了离散型随机变量取值的
(2)方差
称D(X)＝为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的，其为随机变量X的标准差．
x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn
数学期望
平均水平．
xi－E(X)]2pi
平均偏离程度
算术平方根
2．均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝.
(2)D(aX＋b)＝(a，b为常数)
(3)两点分布与二项分布的均值、方差
均值 方差 变量X服从
两点分布 E(X)＝ D(X)＝ X～B(n，p) E(X)＝ D(X)＝
aE(X)＋b
a2D(X)．
p
p(1－p)
np
np(1－p)
考点2正态分布
1．正态曲线的性质
(1)曲线位于x轴，与x轴不相交；
(2)曲线是单峰的，它关于直线对称；
(3)曲线在处达到峰值；
(4)曲线与x轴之间的面积为；
(5)当σ一定时，曲线随着的变化而沿x轴平移，如图甲所示；
上方
x＝μ
x＝μ
1
μ
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．
2．正态分布的三个常用数据
(1)P(μ－σ
(2)P(μ－2σ
(3)P(μ－3σ
越小
越大
0.6826
0.9544
0.9974
[必会结论]
均值与方差的作用
均值是随机变量取值的平均值，常用于对随机变量平均水平的估计，方差反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，常用于对随机变量稳定于均值情况的估计．
[双基夯实]一、疑难辨析
判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
1．随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定．()
2．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小．()
3．正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差．()
4．一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．()
5．期望是算术平均数概念的推广，与概率无关．()
×
√
√
√
√
二、小题快练
1．[2016·聊城模拟]已知离散型随机变量X的分布列为
X －1 0 1 P x 则X的数学期望E(X)＝()
A．－B.
C. D.
解析依题意得：＋x＋＝1，所以x＝.
E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝.
2．[2016·吉林长春质监]已知随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，若P(ξ>2)＝0.15，则P(0≤ξ≤1)＝()
A．0.85B．0.70
C．0.35D．0.15
解析P(0≤ξ≤1)＝P(1≤ξ≤2)＝0.5－P(ξ>2)＝0.35.故选C.
3．[2015·贵阳检测]对某个数学题，甲解出的概率为，乙解出的概率为，两人独立解题．记X为解出该题的人数，则E(X)＝________.
解析P(X＝0)＝×＝，
P(X＝1)＝×＋×＝，
P(X＝2)＝×＝，E(X)＝＝.
4．一射击测试每人射击三次，每击中目标一次记10分，没有击中记0分．某人每次击中目标的概率为，则此人得分的数学期望与方差分别为________．
20，
解析记此人三次射击击中目标X次，得分为Y分，则X～B，Y＝10X，E(Y)＝10E(X)＝10×3×＝20，D(Y)＝100D(X)＝100×3××＝.
5．[2015·广东高考]已知随机变量X服从二项分布B(n，p)．若E(X)＝30，D(X)＝20，则p＝________.
解析根据二项分布的期望与方差．
由题知得p＝.
命题角度1均值与方差的计算
例1袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一个球，ξ表示所取球的标号．
(1)求ξ的分布列、期望和方差；
(2)若η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求a，b的值．
[解](1)ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 4 P
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∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5.
D(ξ)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75.
(2)由D(η)＝a2D(ξ)，得a2×2.75＝11，即a＝±2.
又E(η)＝aE(ξ)＋b，所以
当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2.
当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.
或即为所求．
命题角度2二项分布的均值与方差
例2某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛，每场均决出胜负．设这支篮球队与其他篮球队比赛，获得胜场的事件是独立的，并且获得胜场的概率是.
(1)求这支篮球队首次获得胜场前已经负了两场的概率；
(2)求这支篮球队在6场比赛中恰好胜了3场的概率；
(3)求这支篮球队在6场比赛中获胜场数的期望和方差．
[解](1)这支篮球队第一、二场负，第三场胜，三个事件互相独立．
所求概率P1＝·＝.
(2)所求概率P2＝C×3×3＝.
(3)ξ服从二项分布B.
D(ξ)＝6××＝，E(ξ)＝6×＝2.
求离散型随机变量的均值与方差的方法
(1)先求随机变量的分布列，然后利用均值与方差的定义求解；
(2)若随机变量X～B(n，p)，则可直接使用公式E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)求解.
【变式训练1】(1)[2015·沈阳高三检测]已知ξ～B，并且η＝2ξ＋3，则方差D(η)＝()
A.B.
C. D.
解析D(ξ)＝4××＝，
η＝2ξ＋3，
D(η)＝4·D(ξ)＝4×＝.
(2)袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取1个球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球为止．记取球次数为ξ.
求ξ的概率分布；
求ξ的数学期望及方差．
解ξ的所有可能取值为1,2,3,4,5，并且有
P(ξ＝1)＝＝0.2，
P(ξ＝2)＝×＝0.2，
P(ξ＝3)＝××＝0.2，
P(ξ＝4)＝×××＝0.2，
P(ξ＝5)＝××××＝0.2.
因此ξ的分布列是
E(ξ)＝1×0.2＋2×0.2＋3×0.2＋4×0.2＋5×0.2＝3，
D(ξ)＝(1－3)2×0.2＋(2－3)2×0.2＋(3－3)2×0.2＋(4－3)2×0.2＋(5－3)2×0.2＝2.
考向均值与方差的实际应用
例3[2014·福建高考]为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．
(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：
顾客所获的奖励额为60元的概率；
顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；
(2)商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．
[解](1)设顾客所获的奖励额为X.
依题意，得P(X＝60)＝＝，
即顾客所获的奖励额为60元的概率为.
②依题意，得X的所有可能取值为20,60.
P(X＝60)＝，P(X＝20)＝＝，
即X的分布列为
所以顾客所获的奖励额的期望为E(X)＝20×＋60×＝40(元)．
(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元．
所以，先寻找期望为60元的可能方案．
对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1.
对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案2.
以下是对两个方案的分析：
对于方案1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励额为X1，则X1的分布列为
X1的期望为E(X1)＝20×＋60×＋100×＝60，
X1的方差为D(X1)＝(20－60)2×＋(60－60)2×＋(100－60)2×＝.
对于方案2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为X2的期望为E(X2)＝40×＋60×＋80×＝60，
X2的方差为D(X2)＝(40－60)2×＋(60－60)2×＋(80－60)2×＝.
由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.
均值与方差的实际应用
(1)D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度，D(X)越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散；反之，D(X)越小，X的取值越集中在E(X)附近，统计中常用来描述X的分散程度．
(2)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.
【变式训练2】某校设计了一个实验学科的考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作．规定：至少正确完成其中2题的便可通过．已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都为，且每题正确完成与否互不影响．
(1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的分布列，并计算其数学期望；
(2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力．
解(1)设考生甲、乙正确完成实验操作的题目个数分别为ξ，η，则ξ的可能取值为1,2,3，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝，
∴考生甲正确完成题数的分布列为
E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝2.
又η～B，其分布列为
P(η＝k)＝Ck3－k，k＝0,1,2,3.
E(η)＝np＝3×＝2.
(2)∵D(ξ)＝(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝，D(η)＝npq＝3××＝，D(ξ)
P(ξ≥2)＝＋＝0.8，P(η≥2)＝＋≈0.74，
P(ξ≥2)>P(η≥2)．
从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；从做对题数的方差考查，甲较稳定；从至少完成2题的概率考查，甲获得通过的可能性大．因此可以判断甲的实验操作能力较强.
例4(1)[2016·湖北模拟]已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)＝()
A.0.6B．0.4
C.0.3D．0.2
[解析]此正态曲线是关于x＝2的一个轴对称图形，根据其对称性求解概率．由P(ξ<4)＝0.8知P(ξ>4)＝P(ξ<0)＝0.2，故P(0<ξ<2)＝0.3.故选C.
(2)[2015·山东高考]已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()
(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%.)
A.4.56%B．13.59%
C.27.18%D．31.74%
[解析]由正态分布N(0,32)可知，ξ落在(3,6)内的概率为
＝＝13.59%.
关于正态总体在某个区间内取值的概率求法
(1)熟记P(μ－σ
(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.
正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等．
P(X
【变式训练3】(1)[2015·湖南高考]在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()
A.2386B．2718
C.3413D．4772
(附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ
解析由题意可得，P(0
(2)[2016·河北衡水质检]某班有50名学生，一次考试后数学成绩X(XN)服从正态分布N(100,102)，已知P(90≤X≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为________．
10
解析由题意，知P(X>110)＝＝0.2，所以该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×50＝10.
核心规律
均值、方差和正态分布问题的求解方法
(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)；X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)；若X服从超几何分布，则E(X)＝n.
(2)正态总体在某个区间内取值的概率的求法：一要熟记P(μ－σ
满分策略
均值、方差和正态分布问题求解中注意的事项
(1)在记忆D(aX＋b)＝a2D(X)时要注意：D(aX＋b)≠aD(X)＋b，D(aX＋b)≠aD(X)．
(2)求随机变量ξ的期望与方差时，可首先分析ξ是否服从二项分布，如果服从X～B(n，p)，那么用公式E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．
(3)在利用对称性转化区间时，要注意正态曲线的对称轴是x＝μ(μ≠0)，而不是x＝0.
创新交汇系列9——高考中频出的“冷点”—正态分布
[2014·课标全国卷]从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2.
利用该正态分布，求P(187.8
某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数．利用的结果，求E(X)．
附：≈12.2.
若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ
[解题视点](1)利用频率分布直方图计算平均数及方差．(2)利用样本估计总体进行概率计算；利用二项分布的期望公式代入求解即可．
[解](1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为
＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，
s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.
(2)由(1)知，Z～N(200,150)，
从而P(187.8
由知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826，
依题意知X～B(100,0.6826)，所以E(X)＝100×0.6826＝68.26.
答题启示本题考查正态分布、概率统计问题的综合，是在知识网络的交汇处命制的一道较为新颖的试题.正态分布与统计案例有些知识点是所谓的高考“冷点”，由于考生对这些“冷点”的内容重视不够，复习不全面，一旦这些“冷点”知识出了考题，虽然简单但也做错，甚至根本不会做，因而错误率相当高.此题告诉我们必须全面掌握每一个知识点.
跟踪训练[2013·湖北高考]假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502)的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为P0.
(1)求P0的值；
(参考数据：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ
(2)某客运公司用A、B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不小于P0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？
解(1)由于随机变量X服从正态分布N(800,502)，故有μ＝800，σ＝50，P(700
由正态分布的对称性，可得P0＝P(X≤900)
＝P(X≤800)＋P(800
＝＋P(700
(2)设A型、B型车辆的数量分别为x、y辆，则相应的营运成本为1600x＋2400y.
依题意，x，y还需满足：x＋y≤21，y≤x＋7，P(X≤36x＋60y)≥P0.
由(1)知，P0＝P(X≤900)，故P(X≤36x＋60y)≥P0等价于36x＋60y≥900.
于是原问题等价于求满足约束条件
且使目标函数z＝1600x＋2400y达到最小的x，y.
作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5，12)，Q(7,14)，R(15,6)．
由图可知，当直线z＝1600x＋2400y经过可行域的点P时，直线z＝1600x＋2400y在y轴上截距最小，即z取得最小值．故应配备A型车5辆、B型车12辆.
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