浅谈曲面参数化-算法和理论（III）

图 1. 兔子曲面的球面参数化（苏科华作）。

2017年1月11日，美国数学协会（American Mathematical Society）宣布2017年沃尔夫奖（Wolf Prize）授予 Charles Fefferman和Richard Schoen。沃尔夫是数学领域的终身成就奖，Schoen是丘先生的弟子，获得沃尔夫奖名至实归。美国数学协会宣称Schoen在调和映照的正则性方面和Yamabe方程方面的研究影响深远。（'His work on the regularity of harmonic maps and minimal surfaces had a lasting impat on the field. His solution of the Yamabe problem is based on the discovery of a deep connection to general relativity.'）Schoen将调和映照从流形推广到抽象的度量空间，他有关Yamabe方程的工作，对于曲面参数化的研究产生了至关重要的影响。

计算机图形学中曲面参数化领域的许多算法是基于曲面调和映照理论（harmonic mapping），其内在原因包括诸多方面：

1. 理论完备 调和映照理论历经数百年的发展，已经非常完善。调和映照的存在性、唯一性、光滑性都有艰深而精细的理论验证。

2. 有效逼近 求解调和映照等价于求解椭圆型偏微分方程，数值上可以用有限元方法求解，解的收敛阶，误差估计都有经典结果。
   

3. 数值稳定 根据椭圆型偏微分方程理论，其解连续依赖于边界条件。同时，线性椭圆型偏微分方程的有限元逼近是正定的线性系统，因此具有良好的数值稳定性。

4. 普适性 经典调和映照理论适用于具有各种拓扑的曲面，现代调和映照理论适用于非流形的度量空间，例如带度量的图（metric graph）。

5. 微分同胚 在适当的拓扑和几何条件下，调和映照是光滑的微分同胚，这一点对于曲面参数化而言是至关重要的。

同时，相对于复杂的非线性方法，离散调和映照的工程实现难度低，容易上手开发。因此，在绝大多数的商用电影制作、游戏开发软件中，基于调和映照的参数化方法被广泛应用。

几何直观

图1给出了从兔子曲面到单位球面的一个调和映射的实例。直观上，我们可以把兔子想象成是由一张橡皮膜制成，映射将兔子曲面罩在光滑的大理石球体表面，橡皮膜和抛光的大理石表面间的摩擦力小到可以被忽略，因此橡皮膜可以在球面上自由滑动。这种自由滑动，在数学上可以用同伦变换来描述。无论兔子曲面如何滑动，映射的整体拓扑性质保持不变。直观上，兔子曲面被此映射罩在球面上，罩的代数层数就是整体拓扑不变量，其严格定义是所谓的映射“拓扑度”。同时，同伦变换会使得橡皮膜弹性形变的势能持续减小，到达平衡态时，弹性势能达到极小值，映射就是所谓的调和映照。因此，直观上，调和映照极小化弹性形变的势能。

开始的时候，兔子曲面罩在球面上有可能有皱褶，局部上兔子曲面多层折叠。可以证明，经过弹性形变之后，所有的折叠都会被展开，所有的皱褶都会被熨平，最终整个兔子曲面均匀光滑地贴在球面上。数学上，这意味着拓扑球面间的调和映照是微分同胚。

图 2. 小女孩雕塑的球面参数化。

更进一步，我们仔细观察图2中小女孩雕塑到单位球面的调和映照，女孩的眉眼、口鼻、耳朵和发髻被映到球面上后，局部形状被完美保持。这意味着拓扑球面间的调和映照是保角变换（共形变换）。

图3. 球面调和映照不唯一，彼此相差一个莫比乌斯变换。

我们知道，通过球极投影，我们可以把单位球面保角地映射到拓展复平面上（复平面并上一个无穷远点），拓展复平面到自身的共形变换群为莫比乌斯变换群（Mobius Transformation Group）。这意味着拓扑球面之间的调和映射不唯一，彼此相差一个莫比乌斯变换。图3就显示了两个从小女孩雕塑到单位球面的调和映照，两个调和映照之间相差一个莫比乌斯变换和球极投影映射（及其逆映射）的复合映射。

由此，我们观察到了拓扑球面间调和映射的存在性，唯一性，正则性，以及和共形映射之间的关系。下面，我们探讨在不同拓扑情形下，调和映照的各种性质。

拓扑圆盘

我们首先考察最为简单的情形，拓扑圆盘之间的调和映射，这里曲面是亏格为0的曲面，带有一条边界。目标是平面上的单位圆盘，其坐标为，映射可以被视作为两个函数。

图4. 拓扑圆盘曲面的调和映射。

为了简化讨论，我们可以采用曲面的一个特殊的局部坐标，所谓的等温坐标（isothermal parameters） ，使得黎曼度量张量被表示为：

,

这里被称为是共形因子（Conformal Factor）。等温坐标的局部存在性曾经被陈省身先生用拟共形几何证明过。

在等温坐标下，函数的调和能量可以被定义为

,

调和函数极小化调和能量，其对应的欧拉-拉格朗日方程是

,

给定边值条件 ，调和函数满足拉普拉斯方程，

,

根据经典的椭圆型偏微分方程理论，例如Riesz 表示定理，拉普拉斯方程的解存在。同时，调和函数满足均值性质（mean value property）：给定一点, 一条环绕 p点的曲线，

，

由均值性质，我们得到极大值原理，调和函数的极大值（极小值）一定取在边界上。调和函数光滑性，可以由Weyl引理得到。如果曲面边界足够光滑，边值条件足够光滑，则调和函数是光滑的。

调和映射的微分同胚性质由Rado定理来保证：如果是调和映射，其在边界上的限制是拓扑同胚（homeomorphism），则在内部映射为微分同胚（diffeomorphism）。这一定理的证明充分利用了调和函数的极大值原理，同时利用了莫尔斯理论（Morse Theory）。其基本思路如下：假设映射不是微分同胚，则存在一个内点，映射的Jacobi矩阵退化，存在常数，

,

因此为调和函数，点为的奇异点，由极大值原理，点不可能是极大值或极小值，必为鞍点（saddle point）。那么，点附近的等值线（level set）有两个分支，两个分支和曲面的边界有4个交点。另一方面，在单位圆盘上的等值线是直线段，和边界有两个交点。这意味着曲面边界上的4个点，被映射到圆盘边界上的两个点，因此不是拓扑同胚。由此导出矛盾，假设错误。调和映射的微分同胚性质，是这种参数化方法被广泛应用的根本原因之一。

共形映射必为调和映射，但是调和映射未必是共形映射。从分析角度而言，如果两个调和函数共轭，即他们满足柯西-黎曼方程：

那么调和映射是共形映射。几何上来看，我们选择3个边界点，固定他们的像，，沿着滑动其他边界点的像点，然后计算调和映射。如此变化边界条件，使得调和能量进一步减小，当调和能量达到最小时，所得的调和映射为共形映射。由此，我们得到了黎曼映照定理，即存在从拓扑圆盘曲面到单位圆盘的共形映射。

利用黎曼映照定理，我们可以极大地简化理论层面的讨论。首先，调和能量在源曲面的共形变换下不变，因此调和函数（调和映射）在源曲面的共形变换下不变。我们用黎曼映照，将曲面保角地映到平面圆盘，那么曲面上的调和函数变成了平面圆盘上的调和函数，这时调和函数的解可以用边值条件和泊松核（Poisson Kernel）的卷积来直接写出：泊松核定义为

,

调和函数的公式为

。

这一公式显式地给出了调和映射解的存在性，唯一性和正则性证明。

对于一般的散度型的椭圆偏微分算子，

，这里矩阵

处处正定，我们可以从几何上加以讨论。从几何上讲，我们可以找到一个定义在平面参数区域上的黎曼度量，使得椭圆型微分算子是度量下的Laplace算子。进一步，我们可以找到度量的等温坐标

，

则微分算子成为标准的Laplace算子，

。这意味着散度型椭圆偏微分方程可以转化成经典的Laplace方程，只不过是变换了度量和边值条件。

拓扑复杂曲面

对于拓扑复杂的曲面，调和映照的理论也非常完备。给定度量曲面之间的映射

，我们采用复等温坐标，， 并且。我们定义微分算子

由此定义

那么映射的调和能量密度为

映射的调和能量为

由此，我们可以看到调和能量只和源曲面的共形结构有关，和具体的共形黎曼度量无关。由此，我们得到调和能量的欧拉-拉格朗日方程为

,

内蕴的非线性热流方程为

。

调和映射和共形映射的关系 我们定义曲面间映射所诱导的二次微分，霍普夫微分：

我们可以证明，如果霍普夫微分为全纯二次微分，则映射必为调和映射；如果霍普夫微分为0，则映射必为共形映射。由此，我们看到，共形映射必为调和映射，反之则不然。但是，拓扑球面上所有的全纯二次微分必然为0。因此，拓扑球面间的所有的调和映射，其霍普夫微分为全纯二次微分，必然为0。我们得到拓扑球面间的所有调和映射必为共形映射。

调和映射的微分同胚性 丘成桐先生曾经证明过如下的定理。如果源曲面和目标曲面同为亏格为g的封闭曲面，调和映射的度为一，目标曲面上的曲率处处为负，那么调和映射必为微分同胚。

我们用反证法给出简略证明。假设在某一内点，雅克比行列式为负，因此区域

非空。研究函数

则它在D的边界上为0， 在D的内部处处为负，因此函数为上调和函数(super harmonic), 在D的内部处处为正，那么雅克比行列式

在D的内部处处为正，这和D的定义相矛盾。

调和映射的唯一性 调和映射的唯一性和目标曲面的曲率具有非常紧密的联系。封闭曲面间的调和映射，如果目标曲面上的高斯曲率处处为负，且M在N上的像不是一条闭测地线，则同伦的调和映射必然重合。一种想法是基于调和能量的凸性，设定二阶光滑同伦连接着两个调和映射，

我们计算调和能量的二阶导数

这里切矢量场定义为，联络算子，源曲面上的标准正交基为，目标曲面上的高斯曲率为。我们选取测地同伦，亦即为测地线，则

,

那么最后一项恒为0。因此调和能量的二阶导数恒正，调和能量为严格凸。 同时在时间为0和1点处，映射为调和映射，调和能量关于时间的一阶导数为0，由此我们有

并进一步我们得到必然处处为0，因此起始和终点处的调和映射重合。

调和映射的存在性  根据调和映射理论，如果两个曲面间有一个微分同胚，那么存在一个和此微分同胚同伦的调和映射。如果曲面间有一个非同胚的映射，那么是否一定存在一个与之同伦的调和映射？这个问题的答案是否定的。调和映射的存在性被整体拓扑条件所限定。如果辅助函数 不恒为0，那么辅助函数零点的总阶数和曲面的拓扑及映射的映射度之间有着整体的关系

 

这一关系制约着调和映照的存在。

调和映射的推广 调和映照可以被推广到非流形情形，例如更为一般的度量空间。其中有一种特例非常重要，从曲面到带度量的图（metric graph）的调和映射。图的万有覆盖空间是树（Tree），树上任意两点之间的最短路径唯一。我们知道，高斯曲率为负的曲面上，任意两点之间，每一个同伦类中存在唯一的测地线。由此，我们可以想像树的曲率为负，图的曲率为负。Gromov和Schoen定义了图的双曲性质，证明了从曲面到图的调和映照的存在性和唯一性，其诱导的霍普夫微分也是全纯二次微分。

有限元法

传统的伽辽金方法就是在曲面的泛函空间中构造有限维子空间，将曲面任意函数向子空间投影，用这一投影来近似原函数。依随子空间维数的增加，近似函数趋近原函数。有限元方法将曲面三角剖分，每一个三角形用欧式三角形来近似，形成三角网格。曲面上的函数用网格上的分片多项式函数来近似。有限元法将椭圆型偏微分方程（如Lapalce方程）转换成等价的变分形式（调和能量优化），将线性偏微分方程转化为线性方程组来求解。在曲面参数化算法中，通常人们应用分片线性元，用分片线性函数来进行近似。给定一个三角形，给定线性函数，通过直接计算，我们得到函数在三角形上的调和能量为

，

整个三角网上的调和能量为

,

这里被称为是余切权重，是边所对的两个角的余切之和。通过对调和能量求导，我们得到离散拉普拉斯算子，

,

由，我们得到离散调和函数的均值性质，

，

即每个顶点的值等于其相邻顶点值的加权平均。由此，我们可以得到离散调和映射的迭代算法：在每一次迭代中，我们将每个顶点的像移到与其相邻顶点像的加权重心。

Rado定理的离散版本也成立，从拓扑圆盘到平面凸区域的离散调和映射，如果边界映射是拓扑同胚，则内部也是拓扑同胚。

有限元法需要强有力的网格生成算法，对所用网格质量有一定要求。对于平面区域，最为通用的方法当推Delaunay Refinement算法，如果不存在过于尖锐的内角，则三角剖分的最小内角可以被保证。如果三角剖分质量达到要求，则离散解收敛到连续解，考虑函数值和一次导数，解的误差界为，这里为三角形边长。

图5. 佛像曲面的球面参数化（苏科华作）。

高维推广

调和映射方法在工业中被广泛应用，这可以归功为完备的连续理论和离散理论，以及简单稳定的算法。同样的想法可以应用于三维体的参数化（volumetric parameterization）。但是，当我们将曲面调和映射向三维推广的时候，我们遇到了本质困难：Rado定理在三维不成立。

图6. 体调和映射。

如图5所示，我们用曲面的调和映射将佛像曲面映到单位球面上，这一映射是保角的，因而是同胚映射。我们以这一映射为边界条件，计算佛像内部到球体内部的调和映射，如图6所示，理论上无法保证体调和映射一定是同胚映射。这是体参数化和曲面参数化的本质区别之一。如何保证体映射是同胚，这是当前参数化领域的主要热点问题。

小结

曲面间的调和映照问题等价于在曲面上求解几何偏微分方程问题，解的存在性、唯一性、正则性强烈依赖于拓扑条件（亏格、同伦类、映射度等）和几何条件（黎曼度量的高斯曲率）。很多理论结果非常令人惊异（惊艳），比较反直觉，例如拓扑球面间的调和映照一定是共形映射，到负曲率空间的调和映照唯一并且是微分同胚等等。理论比较艰深，需要黎曼几何、几何偏微分方程等领域的知识。

从计算方法角度而言，离散调和映射的技术非常直观简单：固定初始映射的同伦类之后，循环迭代，局部减小调和能量。绝大多数的研究生都可以自己提出并实现这种算法。但是，工程的观点聚焦于局部优化，缺乏整体大局观，整体解的性状需要理论支撑。

目前，很少有学校的课程涵盖调和映照理论，绝大多数时候在基础数学的讨论班中有所讨论。但是，离散调和映射的算法，几乎所有计算机图形学的研究生课程都会涉及。从这个角度而言，计算机技术的普及将纯粹数学请出了象牙塔，极大地促进了现代数学的传播和发展。从另一个角度讲，目前调和映照的算法只涉及了调和映照理论的极小部分，依然有广阔的空间等待抽象理论到具体算法的实现。

观察

在过去的十多年间，老顾在很多大学开设《计算共形几何》课程，遇到了许多学者学生。大多数计算机背景的青年学生比较务实，有些学生急于获得学位投身到信息工业之中，因而对于算法非常热衷，对于理论比较冷淡；更有很多学生，他们具有强烈的好奇心和旺盛的求知欲，他们并不满足“知其然”，更加追求“知其所以然”。在北美、香港、北京、长春，老顾经常遇到这些学生，他们承受着巨大的生活和学业压力，但是依然对艰深的理论孜孜以求。他们对于精粹而无用学问的追求和当下主流价值观念背道而驰。很多时候，他们的理念不被同学甚至导师所理解，他们和周围的环境格格不入。他们的坚守和执着非常令老顾感动。

从以上的讨论我们看到，调和映照的理论需要很多非常深入的数学知识，椭圆型偏微分方程，微分几何，代数拓扑，黎曼面理论，黎曼几何等等。在基础数学领域，学生们需要花费七八年的时间才能完成这些课程，做到融会贯通、掌握精髓更加靡费时日；对于计算机科学背景的学生而言，自学这些课程几乎是不可能的事情。老顾和清华大学数学学院的肖杰院长曾经交流过，肖教授倾向于认为代数可以自学成才，但是分析只能采用传统的师徒学制才能深刻掌握。老顾曾经观察过许多非常有才华的计算机背景的学生，他们不满足于经典计算机科学的内容，自行探索更为深刻的数学理论层面。但是，如果一个年轻人不懂得索博列夫空间理论，他是无法严格证明偏微分方程解的存在性的。由于知识结构的不足，他们经常耽于哲学层面的空想，无法达到公认的严格水平。他们中很多人花费海量时间阅读，但是只学习工程技术方面的论文到达不了他们所期待的理论深度，阅读数学文章，又缺乏必要的功力，很多时候他们饱受挫折，无奈放弃。纵然今天的网络几乎连接了一切，但是网络只能提供相对肤浅的碎片化学习，对于偏微分方程理论这个层次的学习似乎帮助不大。

因此，老顾非常赞同跨领域培养的教育模式，例如结合数学和计算机科学的加强班制度；也经常鼓励学生本科期间多学习纯粹数学和物理，研究生期间再转相对实用的方向。老顾经常访问法国里昂的大学，和计算机系的陈立铭教授探讨过教育问题。陈教授介绍说：在法国的教育系统中，高中生经过苛刻的选拔后，精英才俊会进入特殊的大学，在那里他们四年时间只接受数学和物理方面的训练。这是法国数学一直傲视群雄的核心原因之一，也是法国航空工业发达强大的原因。（迄今为止，波音飞机的设计实际是用法国的CAD软件）。

今天的中国，物质文明日益强大，必将涌现精神贵族阶层。老顾相信会有越来越多的青年才俊，不再为谋生所迫，遵从内心召唤，大胆追求深刻理论的美学价值，为人类的精神文明作出杰出贡献。

下一讲，我们会给出共形几何理论，泰希米勒空间理论和最优传输理论的概览，这些理论构成了曲面参数化的理论基础，其本身具有强烈的美学价值。

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