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托勒密是古希腊天文学家、地理学家、占星学家和光学家。生于公元90年，公元168年去世。一生著作甚多。在数学方面，他用圆周运动组合解释了天体视动，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理。下面笔者向大家介绍托勒密定理及证明。 托勒密定理：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 证明：如图，ABCD是圆的内接四边形，AC、BD是对角线， 求证：AB·DC＋BC ·AD＝BD·AC 分析：在对角线BD上（或在AC上）找一点，构造三角形与图形中的某三角形相似，用结论中的边表示BE和DE，然后把BE和DE相加。 证明：当CA平分∠BCD时，设BD、AC交于E。在△CBE和△CAD中 ∵∠1＝∠2，又∠3＝∠4，∴△CBE∽△CAD，∴BE∶AD＝ BC∶AC，∴ 在△DCE和△ACB中，∵∠2＝∠1，又∠5＝∠6， ∴△DCE∽△ACB，∴DE∶AB＝DC∶AC，∴ 当AC不平分∠BCD时，不妨设∠BCA＞∠ACD，如图所示，作∠1＝∠2，CE交BD于E。 在△CBE和△CAD中，∠1＝∠2，∵∠3＝∠4，∴△CBE∽△CAD，∴BE∶AD＝ BC∶AC，∴ 在△DCE和△ACB中，∵∠1＝∠2，∴∠DCE＝∠ACB，∵∠5＝∠6， ∴△DCE∽△ACB，∴DE∶AB＝DC∶AC，∴ 定理得证。托勒密定理在数学中有着广泛地运用，有些重要定理如勾股定理都可以用此定理来证明。 |
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