例题:如图,⊙o的内接四边形ABCD中,AC、BD是它的对角线,AC的中点I是△ABD的内心。求证: (1)OI是△IBD外接圆的切线; (2)AB+AD=2BD。 (1) OI是△IBD外接圆的切线; 证明:分别连接A、O与B、O,在△OAC中,AO与CO分别是⊙O的半径,即AO=BO;又I是AC的中点,则OI⊥AC。 第二步:由点I是△ABD的内心可知 ∠BAC=∠DAC,∠BDI=∠ADI,∠ABI=∠DBI ∵∠CDI=∠BDC+∠BDI=∠BAC+∠ADI=∠DAI+∠ADI=∠CID ∴IC=ID 同理,IC=IB,则点C为△IBD的外心,则 OI是△IBD外接圆的切线。 (2)AB+AD=2BD 证明:此题有三种证明方法。 ①分别过AC中点I作BC,DC的平行线交AB于点F,交AD于点E,则有AF=BF,AE=DE。 ∵IF//BC ∴∠FIB=∠IBC 而∠IBC=∠BIC,则 ∠BIC=∠FIB 即∠MIB=∠FIB 那么在△FIB与△MIB两三角形中 ∠FBI=∠MBI ∠FIB=∠MIB AI为公共边 ∴△FIB≌△MIB ∴BF=BM 同理,DE=DM ∴AB+AD=2(BF+DE)=2(BM+DM)=2BD ②与①同理,如下图,可证得△IBF≌△BIM,△IED≌△DMI。同样可得出结论。 ③过点I作AD的高,垂足为点H,再连接OC. ∵∠BAC=∠DAC ∴⊙O中弧BC=弧CD ∴OC⊥BD 假设OC⊥BD交BD于点H’, ∵点I是AC中点 ∴AI=CI=BC 又∵∠IAH=∠CBH’ ∴△BCH’≌△AIH ∴IH=CH’ ∵I是AC的中点 ∴S△ABI+S△ADI=S△CBI+S△CDI 又∵I是△ABD的内心 ∴(AB+AD)×IH÷2=BD×IH×2÷2 ∴AB+AD=2BD |
|
来自: 周5s11adsqd980 > 《中学数学》