三角形边角问题深度探索||初中

在考查三角形的边、角内容时，经常会出现一些探究题目，这类题目如何解答？下面举例说明。

一、规律探究型

例1  如图1，△ABC面积为1，第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A₁，B₁，C₁，使A₁B=AB，B₁C= BC，C₁A=CA，顺次连接A₁，B₁，C₁，得到△A₁B₁C_1。第二次操作：分别延长A₁B₁，B₁C₁，C₁A₁至点A₂，B₂，C₂，使A₂B₁= A₁B₁，B₂C₁= B₁C₁，C₂A₁= C₁A₁，顺次连接A₂，B₂，C₂，得到△A₂B₂C₂，按此规律，要使得到的三角形的面积超过2017，最少经过_______次操作.  

图1

      分析：寻找每一次操作后所得的三角形面积与原三角形面积之间的关系．连接BC₁、CA₁、AB₁，易知△A₁B₁C₁的面积为△ABC面积的7倍，即为7.同理，可知△A₂B₂C₂的面积为△A₁B₁C₁面积的7倍，即为7².依此类推，可知最少需4次操作才可使所得三角形面积超过2017. 即为7⁴=2401. 

解：填4.

二、运动探究型

例2 如图2，已知∠MON=90°，点A，B分别在射线OM，ON上移动，∠OAB的内角平分线与∠OBA的外角平分线所在直线交于点C，试猜想：随着点A，B的移动，∠ACB的大小是否变化？并说明理由.  

图2

分析：本题的本质就是三角形一个内角与外角平分线的夹角问题.  在运动背景下，问题似乎找不到突破方向，具体分析时，同学们可以做无效线条的删减，以达到“突显”图形的目的.  

解：∠ACB的大小不变.  

理由：因为AC平分∠OAB，所以∠BAC=1/2∠OAB. 

所以∠OBD=90°+∠OAB.

所以∠CBD=1/2∠OBD=45°+1/2∠OAB.

所以∠ACB=∠CBD-∠BAC=45°+1/2∠OAB-1/2∠OAB=45°.  

三、关系探究型

例3  探究与发现：

（1）如图3，∠1＋∠2_______∠B＋∠C（填“>”“<>

（2）把图3中△ABC沿DE折叠，得到图4，填空：∠1＋∠2_______∠B＋∠C (填“>”、“<>

（3）图5是由图3的△ABC沿DE折叠得到的，若∠A=30°，则x＋y=360°-（∠B＋∠C＋∠1＋∠2）=360°-_______=_______.

猜想∠BDA＋∠CEA与∠A的关系为_______.  

            

           图3    

  

               图4

                 图5

分析：

（1）由三角形的内角和是180°，得∠A＋∠1＋∠2=180°，∠A＋∠B＋∠C=180°，所以∠1＋∠2=∠B＋∠C.

（2）由（1）∠1＋∠2=∠B＋∠C，所以∠1＋∠2=∠B＋∠C=180°-40°=140°，可得∠1＋∠2＋∠B＋∠C=280°.

（3）由（2）知，∠1＋∠2＋∠B＋∠C=2×（180°-30°）=300°,所以x＋y=360°-300°=60°.由（2）（3）知x＋y=360°-（∠1＋∠2＋∠B＋∠C）=360°-2（180°-∠A）=2∠A，

         解：（1）填=；（2）填=，280°；（3）填300°，60°，∠BDA＋∠CEA=2∠A。

本文来自《数学周报》人教版八年级第3期第4版

人气单品：《数学周报》人教版

点击购买

周报官方微店：https://weidian.com/?userid=563798&historyBack=true