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著名数学家吴文俊院士因病医治无效，于2017年5月7日7时21分在北京不幸去世，享年98岁。他开创了崭新的数学机械化领域，提出了用计算机证明几何定理的“吴方法”，被认为是自动推理领域的先驱性工作。他是我国最具国际影响的数学家之一，他的工作对数学与计算机科学研究影响深远。 我前几天发了两文都与吴先生有关， 一篇是吴文俊先生谈退化，另一篇是张景中先生向吴先生请教。 吴先生非常喜欢平面几何，早在四十年代就出版了《三S新平面几何学》，正是由于对平面几何的喜爱和钻研，才可能在几何定理机器证明领域做出开创性的贡献。 平行四边形对角线互相平分。 这是大家熟知的结论，但吴先生指出，下面的证法是不严谨的。 相信这一论断又会让一些读者傻眼发呆了。 我都这样证明几十年了，难道这其中还有什么bug？
吴先生认为，即便大家公认《几何原本》是数学公理化的起源，即使希尔伯特做了很多补救性的工作，但欧式证明仍然是不严谨的。 关于几何图形退化，吴文俊有一段精彩说明： 在Euclid几何中，公理与定理的叙述往往隐含了一种没有明白说出的假设一所考虑的图形必须处在某种正常的、一般性的、而非异常的、带有特殊性的退化情况。例如，在说到两直线平行时，就隐含着它们是不同的两条直线而不是退化为两条重合的直线。同样在说到两条直线相交时，也隐含着它们并没有退化为两条平行的或重合的直线。又如在说到三角形时，总是隐含了这是一个正常的真正三角形，它的三个顶点互不相同且不退化为顶点在同一直线上的一个“扁”三角形，如此等等。虽然我们可在定义或定理的叙述中加上种种非退化的限制，但那样叙述显得极为冗沓。究竟给出什么样的非退化的限制才算合适并不清楚。退化一词也没有确切的定义，所以等腰三角形或直角三角形算不算是一个退化的三角形，就很难确定了。尤其严重的是，定理的证明往往只适用于某种正常的、一般的、而非异常的或退化的情形。对于退化的情形，往往对证明作必要的修改才能适用。或者需要改变全部证明。有时对于退化情形定理本身甚至完全失去意义以至根本不成立。 具体到平行四边形，可能出现下面这些退化： 上次发的文章，好多读者回复：三点共线还是三角形吗？ 但你有没有注意到，在传统的解析法里，我们研究三角形，有没有验证或者排除三点共线的情况呢？事实上传统证明是有意无意忽视这一点的，否则会搞得很复杂。 除去退化，吴先生认为“∠BAC=∠DCA”也有不严谨的地方。传统证明认为这是因为两直线平行，所以内错角相等。问题是，如何说明是内错角，必须要说明D和B位于AC的两侧，而补充证明这一点不太容易。读者可以自己试试。远比证明平行四边形对角线互相平分要难。 有人或说：明明是内错角嘛，还需要证？？？？ 眼见未必为实。数学讲几何直观，更强调推理。因为证明能确保数学的严谨和正确性，是不可或缺的。 网上有这样的案例让很多人傻眼！眼睛明明看见了，折线越来越和曲线圆“接近”啊！ 问题是什么“接近”呢？如何定义。我们换个类似例子就好懂一些。
以上所讲的退化和不严谨，相信是很多读者不能接受的。 因为这样的说法是很少见，甚至和中学数学里常识是违背的。 我写出来，只是希望普及一下吴先生的一些思想。 不管你接受与否，吴先生的这些思想都是值得我们思考的。 有兴趣，可以进一步阅读吴先生的著作《几何定理机器证明的基本原理 初等几何部分》。 读其书，想见其为人。 大师已去，读他的书，继承其学说，是最好的纪念。 彭翕成网络研修班明晚八点有讲座，介绍吴文俊先生的学术思想，特别是数学机械化是什么回事，吴方法和张景中先生的面积消点法有何异同。这些前沿研究对我们研究初等数学有何启发…… 对彭翕成网络研修班有兴趣的朋友，可以点击原文链接进一步了解。 |
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