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一、函数的连续性 1.连续函数的性质 ◇局部有界性 ◇局部保号性 ◇四则运算法则 ◇若f在x0连续，g在u0=f(x0)连续，则g(f(x))在x0连续 ◇有界性定理（适用于闭区间）（用局部有界性与有限覆盖定理证明） ◇最大最小值定理（适用于闭区间）（用有界性定理和确界原理证明） ◇根的存在定理（适用于闭区间）（用局部保号性和区间套定理证明） ◇介值性定理（适用于闭区间）（用根的存在定理证明） ◇一致连续性定理（用有限覆盖定理证明） 二、导数和微分 1.导数的概念 ◇费马定理（可导函数极值的必要条件）（用连续函数局部保号性证明） ◇导函数的介值定理（用最大最小值定理和费马定理证明） 2.求导法则 ◇四则运算法则 ◇反函数的导数 ◇复合函数的导数及其引理 ◇参变量函数的导数 ◇高阶导数 3.微分 ◇可微<＝>可导，且微分AΔx中的A等于导数（用有限增量公式证明） ◇微分运算法则（由导数运算法则推出） ◇高阶微分 ◇一阶微分形式的不变性 / 高阶微分不具有形式不变性 4.微分中值定理 ◇罗尔中值定理（用连续函数最大最小值定理与费马定理证明） ◇拉格朗日中值定理（用罗尔中值定理证明） ◇导数极限定理（用拉格朗日中值定理证明） ◇函数（严格）单调递增（减）的充要条件（用拉格朗日中值定理证明） ◇柯西中值定理（用罗尔中值定理证明） ◇洛必达法则（用柯西中值定理证明） 5.泰勒公式 ◇佩亚诺余项（用洛必达法则证明） ◇拉格朗日余项（泰勒定理）（用柯西中值定理证明） ◇积分型余项（用推广的定积分分部积分法证明） ◇柯西型余项（对积分型余项使用积分第一中值定理得） 6.函数的极值 ◇极值的第三充分条件：设f在x0某邻域内存在n-1阶导函数，在x0处可导，且f(k)(x0)=0 (k=1,2,...,n-1)，f(n)(x0)≠0，则：(i) 当n为偶数时，f在x0取极值，且当f(n)(x0) ＜0时取极大值，当f(n)(x0) ＞0时取极小值；(ii) 当n为奇数时，f在x0处不取极值（在x0处用n阶泰勒公式（佩亚诺余项）证明，极值第二充分条件可作为其推论） 7.凸函数的性质 ◇充要条件：对I上的任意三点x1＜x2＜x3，总有(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)≤(f(x3)-f(x2))/(x3-x2) ◇充要条件：对I上的任意三点x1＜x2＜x3，总有(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)≤(f(x3)-f(x1))/(x3-x1)≤(f(x3)-f(x2))/(x3-x2) ◇充要条件：f’为I上的增函数（用上两条（引理）证） ◇充要条件：对I上的任意两点x1、x2，f(x2) ≥ f(x1)+f’(x1)(x2- x1)（用拉格朗日中值定理与上一条定理证） ◇Jensen不等式（用数学归纳法证） |
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接上期整理了数一的极限理论知识，这期整理导数的理论知识。
