【动态规划】最长公共子序列与最长公共子串

黑尘子 2017-05-24

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1. 问题描述

子串应该比较好理解，至于什么是子序列，这里给出一个例子：有两个母串

cnblogs
belong

比如序列bo, bg, lg在母串cnblogs与belong中都出现过并且出现顺序与母串保持一致，我们将其称为公共子序列。最长公共子序列（Longest Common Subsequence, LCS），顾名思义，是指在所有的子序列中最长的那一个。子串是要求更严格的一种子序列，要求在母串中连续地出现。在上述例子的中，最长公共子序列为blog（cnblogs, belong），最长公共子串为lo（cnblogs, belong）。

2. 求解算法

对于母串 $X =< x_{1}, x_{2}, \dots, x_{m} >$ , $Y =< y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n} >$ ，求LCS与最长公共子串。

暴力解法

假设 $m < n$ ，对于母串 $X$ ，我们可以暴力找出 $2^{m}$ 个子序列，然后依次在母串 $Y$ 中匹配，算法的时间复杂度会达到指数级 $O (n * 2^{m})$ 。显然，暴力求解不太适用于此类问题。

动态规划

假设 $Z =< z_{1}, z_{2}, \dots, z_{k} >$ 是 $X$ 与 $Y$ 的LCS，我们观察到

如果 $x_{m} = y_{n}$ ，则 $z_{k} = x_{m} = y_{n}$ ，有 $Z_{k - 1}$ 是 $X_{m - 1}$ 与 $Y_{n - 1}$ 的LCS；
如果 $x_{m} \neq y_{n}$ ，则 $Z_{k}$ 是 $X_{m}$ 与 $Y_{n - 1}$ 的LCS，或者是 $X_{m - 1}$ 与 $Y_{n}$ 的LCS。

因此，求解LCS的问题则变成递归求解的两个子问题。但是，上述的递归求解的办法中，重复的子问题多，效率低下。改进的办法——用空间换时间，用数组保存中间状态，方便后面的计算。这就是动态规划（DP)的核心思想了。

DP求解LCS

用二维数组c[i][j]记录串 $x_{1} x_{2} \dots x_{i}$ 与 $y_{1} y_{2} \dots y_{j}$ 的LCS长度，则可得到状态转移方程

c [i, j] = {\begin{matrix} 0 & i = 0 o r j = 0 \\ c [i - 1, j - 1] + 1 & i, j > 0 a n d x_{i} = y_{j} \\ max (c [i, j - 1], c [i - 1, j]) & i, j > 0 a n d x_{i} \neq y_{j} \end{matrix}

代码实现

public static int lcs(String str1, String str2) {
    int len1 = str1.length();
    int len2 = str2.length();
    int c[][] = new int[len1+1][len2+1];
    for (int i = 0; i <= len1; i++) {
        for( int j = 0; j <= len2; j++) {
            if(i == 0 || j == 0) {
                c[i][j] = 0;
            } else if (str1.charAt(i-1) == str2.charAt(j-1)) {
                c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
            } else {
                c[i][j] = max(c[i - 1][j], c[i][j - 1]);
            }
        }
    }
    return c[len1][len2];
}

DP求解最长公共子串

前面提到了子串是一种特殊的子序列，因此同样可以用DP来解决。定义数组的存储含义对于后面推导转移方程显得尤为重要，糟糕的数组定义会导致异常繁杂的转移方程。考虑到子串的连续性，将二维数组 $c [i, j]$ 用来记录具有这样特点的子串——结尾为母串 $x_{1} x_{2} \dots x_{i}$ 与 $y_{1} y_{2} \dots y_{j}$ 的结尾——的长度。

得到转移方程：

c [i, j] = {\begin{matrix} 0 & i = 0 o r j = 0 \\ c [i - 1, j - 1] + 1 & x_{i} = y_{j} \\ 0 & x_{i} \neq y_{j} \end{matrix}

最长公共子串的长度为 $m a x (c [i, j]), i \in {1, \dots, m}, j \in {1, \dots, n}$ 。

代码实现

public static int lcs(String str1, String str2) {
    int len1 = str1.length();
    int len2 = str2.length();
    int result = 0;     //记录最长公共子串长度
    int c[][] = new int[len1+1][len2+1];
    for (int i = 0; i <= len1; i++) {
        for( int j = 0; j <= len2; j++) {
            if(i == 0 || j == 0) {
                c[i][j] = 0;
            } else if (str1.charAt(i-1) == str2.charAt(j-1)) {
                c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
                result = max(c[i][j], result);
            } else {
                c[i][j] = 0;
            }
        }
    }
    return result;
}