相似三角形典型题（三）综合应用（解析）

【解析】前两个小题一个用三角形全等， 一个用三角形相似，都比较简单. 第(3)小题要用到转化的思想， 复杂一些.

(1) ∵BF⊥AE于点H， CG//AE，

∴CG⊥BF.

∴∠AHB=∠BGC=90°.

∴∠GBC+∠GCB=90°.

又∵∠ABH+∠GBC=90°，

∴∠ABH=∠GCB.

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC.

∴△ABH≌△BCG(AAS).

∴CG=BH.

(2) 易知∠CGF=∠FCB=90°，=.

又∵∠BFC=∠CFG,

∴△BFC∽△CFG.

即FC2=BF·GF.

(3)与(2)式的FC2=BF·GF比较，会发现如果AB2=BF·GB， 则两式相除，即可得到

所以接下来我们的主要工作是证明AB2=BF·GB， 这种式子， 一般我们采用证明三角形相似的的方法.

观察发现AB与 BF、 GB离得太远，与我们的目标相差太远， 此时我们要考虑对AB进行转换， 也就是找一个和它相等，又与 BF、 GB离得近的线段，显然有BC=AB.

∴此时我们只有证明BC2=BF·GB即可解决问题.

用和第(2)题类似的证明可以得到：△BFC∽△BCG.

进而可以证得BC2=BF·GB.