普林斯顿数学指南 | 数学是做什么的

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普林斯顿数学指南 

The Princeton Companion to Mathematics

Timothy Gowers 主编

齐民友 译

小编按：哲学园的一个立场是可以宣告众人的，那就是秉持柏拉图的园训：不懂几何者不得入园。因为，数学乃人类智慧的顶峰，懂得数学的思维和智慧，理解世上的其他事情就会取得事半功倍的效果。但这会立即招致一种反驳：为什么那么多大数学家在现实生活中却过得那么不堪？他们很多都与精神疾病患者一线之隔或者就曾经是一位精神病患者！

说实在的，老蝉也无法回答这个问题，但“分裂法”或许是一种可以弥补这种缺陷的方法。无论怎样，这也体现了数学的非完备性。

本栏目会从《普林斯顿数学指南》中摘录一些章节与读者分享，摘录的部分并不总是完整的，希望能起到的作用是：由此而抛砖引玉，使得读者自己去探索那些感兴趣的部分。

数学是做什么的

选自《指南》第一卷  P1-3

要对'什么是数学'这样一个问题给出一个令人满意的回答，其困难是众所周知的，本书的处理途径是不试图去回答它。我们不打算给出数学的定义，而是通过描述它的许多最重要的概念、定理和应用，使得对于什么是数学有一个好的看法。然而，想使这些材料的信息有意义，对于数学的内容作某种分类还是有必要的。

对数学进行分类最明显的方法是按照其内容来进行，这篇简短的引论以及下面比较长的条目如一些基本的数学定义[I.3]就是采取的这个方法。但是，这并不是唯一的方法。甚至显然也不是最好的方法。另一种途径是按照数学家们喜欢思考的问题的类型来分类，这会给这门学科以一种不同的视角，而这是很有用的，时常有这样的情况，两个数学领域，如果您只注意它们的主题材料，可能看起来很不相同，但是如果您看一看它们考察的问题，则又十分相似。第I部分的最后一个条目数学研究的一般目的[I.4]就是从这个观点来观察数学的。在那篇文章末尾有一个简短的讨论，您可以把它看成是第三种分类，就是并不对数学本身来分类，而是对数学期刊的一篇典型论文内容的各个部分来分类。这篇论文里既有定理和证明，也有定义、例子、引理、公式、猜想等等。那里讨论的要点就是想说明这些词是什么意思，以及为什么数学的产出物里面的这些东西也是很重要的。

1.代数、几何和分析

虽然一旦想把数学主题分类，就必定立即需要加上种种限制。然而有一个粗略的分类无疑可以作为最初的近似，这就是把数学分成代数、几何和分析。所以我们就以此开始，以后再作各种修饰。

1.1代数与儿何的对比

绝大多数读过中学的人都会把代数看成用字母代表数所得到的数学。时常会把代数与算术作一个对照：算术就是对数作更直接的研究，所以“3 ×7=?”这样的问题就被认为是属于算术的，而'若x y=10，而xy=21，则x与y中较大的一个取何值”就被看作是代数。在比较高水平的数学里面，这个对比就不那么显眼，原因也很简单，因为数字单独出现而不与字母相伴是极为罕见的。

然而，代数与几何之间就有着不同的对比，而且它在比较高深的水平上要重要得多，中学里关于几何的概念是：它是研究图形的，例如圆、三角形、立方体和球面，还有诸如旋转、反射、对称等等概念。这样，几何的对象以及这些对象所经历的过程，比之代数的方程，有着多得多的可视的特性。

这种对比一直持续到现代数学研究的前沿。数学有些部分涉及按照某种规则对符号进行操作，例如对于一个为真的等式，“如果对其双方作同样的操作”，则它仍然为真。数学的这些部分，典型地被认为是代数的一部分，而另外一些牵涉到可视的概念的部分，则典型地被认为是几何的一部分。

然而，这样的区别绝不是简单的。如果您看到一篇典型的几何研究的论文，它会充满图形吗?几乎绝对不会。事实上，用以解决几何问题的方法，极为常见地涉及极为大量的符号操作，但是，找出与应用这些方法需要很好的可视化的能力，在它的下面，典型地有图形在。至于代数，它'仅仅是'符号演算吗?完全不是这样。非常常见的是，人们解决代数问题是通过寻找一个办法把它可视化。

作为把代数问题可视化的例子，想一下，人们是怎样来验证'a和b都是正整数时，ab-ba'。可以把它作为一个纯粹的代数问题来处理(例如用归纳法来证明它)，但是想要说服自己最容易的方法是想象一个矩形的阵，阵中一共有a行，而每一行有b个物件。物件总数，如果是逐行来数，就可以认为是a批物件，而每批b个。如果是逐列来数，就是有b批，每批a个所以ab=ba。用类似的方法还可以验证其他的基本规则，例如a(b c)=ab ac，以及a(bc)=(ab)c。

转过头来，事实上，解决许多几何问题的好方法是'把它转换成代数'。这种做法最著名的例子是使用笛卡儿坐标。例如，如果想把一个圆对经过圆心的直线L作反射，再逆时针旋转40°，然后再对同一直线L反射一次。这个问题的一种做法是把它可视化如下：

想象这个圆是用薄的木片做的，不必对此直线反射，而可以(通过木片外的第3维)绕L旋转180°，再把所得的结果翻一个面，其实，如果对木片的厚度忽略不计，翻面并不起作用。现在如果从木片下方往上看，并且让它逆时针旋转40°，则从原来的位置看，木片是顺时针旋转了40°。现在再把木片翻回来，即绕L在第3维里再旋转180°，总的效果就是顺时针方向旋转40°。

不同的数学家利用上面这种论证方法的意愿与能力是大不相同的。如果您还不能充分可视地看出上面这种论证肯定是对的，就会喜欢按照代数途径，即利用线性代数和矩阵理论的方法(详见I.3 4.2).开始是把圆看成适合x2 y2≤1的数对（x,y）的集合。那两个变换，即对通过圆心的直线L的反射，以及旋转4o°都可以用2×2的矩阵（a b c d）来表示。有一个稍微复杂一点的纯粹代数的法则把矩阵乘起来，而且这个法则就是这样来设计的，使之有这样的性质：如果矩阵A代表一个变换R(比如说是反射)，而矩阵B表示另一个变换T,则乘积AB就表示先作T再做R所得的变换。因此我们可以这样来解决上面的问题：写出相应于这些变换的矩阵，把他们乘起来，再看是什么变换相应于这个乘积。几何问题就是这样转换成了一个代数问题，并且代数地解决。

这样，尽管是我们可以在集合与代数之间找出有用的区别，可是不要以为二者的界限是非常清晰的。事实上，数学的宇哥主要分支就叫做代数几何[IV.4]。而上面的例子说明，时常可以把一点数学从代数变成集合，反过来也一样。不论如何，在代数和几何思维方式之间有确定的区别---一个比较注意符号，一个比较注意图像---这一点对于决定数学家追随哪个研究方向，有深刻影响。