4207,,西摩松线定理

过三角形外接圆上任一点作三边的垂线，则其三垂足共线，此定理称为西摩松定理，此线称为三角形的西摩松线。

　　已知P为△ABC外接圆上任意一点，PD⊥BC于D，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，求证：D、E、F三点共线

　　分析：只需证∠1＝∠3，则有D、E、F三点共线


　　证明：∵PD⊥BC于D，PE⊥AB于E，∴∠PDB＝∠PEB＝90o

　　∴P、B、D、E四点共圆，∴∠1＝∠2，同理：∠3＝∠4，∵P、B、C、A四点共圆，∴∠PAF＝∠PBD，

　　在Rt△PAF与Rt△PBD中，∠PAF＝∠PBD，∴∠2＝∠4

　　∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1＝∠3，∵∠AEB＝180o，∴∠FED＝180o，

　　∴D、E、F三点共线