不知道小伙伴们对于昨天的笔记感受如何呢? 还有什么想学的,可以留言给小编哦~~~ 好啦!我们来进入正题吧! 上同调思想的工程应用 几乎所有的工程方法,只要涉及到复杂拓扑流形,都会直接或者间接地应用上同调理论。在图形学领域,这样的算法例子俯拾皆是:例如莱昱坤、胡事民教授的图像矢量化算法【2】,矢量场设计【3】,Pinkal、Crane的曲面形变算法【5】,黄劲教授的六面体网格化算法【4】。所有这些算法都是基于上同调的思想。 这些工程算法的基本手法如下:我们希望计算曲面间的映射,或者矢量值函数,直接计算比较困难。我们转而计算函数的导数,或者梯度场,然后通过积分来恢复原函数。矢量场可积具有局部条件和全局条件,局部条件可以用偏微分方程来描述,全局条件即为上同调。 上同调群的直观解释 下同调理论的要义是考察流形上所有的封闭曲线(圈),和所有曲面片的边缘(边),所有的边必为圈,反之不对,存在不是边的圈,因此圈和边的差别就是流形的下同调。 下面我们用场论来直观解释上同调的思想。上同调理论的本质是考察流形上所有旋量为零的切矢量场(无旋场),和所有函数的梯度场,梯度场必为无旋场,反之不对,存在不是梯度场的无旋场,因此无旋场和梯度场的差别就是流形的上同调。 我们先考察复平面,任给光滑函数其梯度为 。 梯度的旋度为零,
反之,假设 我们固定一个基点
这里积分路径任意选取,那么 我们再考察平面去掉原点
直接计算表明,这个矢量场是无旋场
因此在这种情形下,无旋场 假设 外微分的概念 下面,我们将上同调群的概念严格化,推广到曲面上,这需要用到流形的概念和嘉当发明的外微分(exterior calculus)。 图2. 流形。
被称为是局部坐标变换。如果所有的局部坐标变换都是光滑的,那么流形被称为是光滑流形。二维流形被称为曲面。 微分形式 固定一点
假设切向量和微分1-形式的局部表示为
我们有
外积 k个微分1-形式的外积是多重线性函数, 被称为是微分k-形式,具体定义为
我们看到外积是反对称的,假设 这里,如果 外微分 外微分算子是场论中梯度,旋度,散度算子的推广。首先我们定义0-形式(函数)的外微分,
1-形式的外微分
k-形式的外微分
积分 微分形式可以在链上积分。给定k-形式
可以看出,微分形式的积分和局部坐标系的选取无关。在非局部情况下,我们可以用单位分解来定义积分。 微分形式的积分满足斯托克斯 (Stokes)定理,它将外微分算子和边缘算子对偶起来,
我们知道“边的边为空”,即 de Rham上同调的概念 我们用
这里分子是无旋场,分母是梯度场,所有无旋的非梯度场构成上同调群。 上下同调群的对偶 上同调群实际上是下同调群的对偶。我们取同调的闭下链 并且 因此我们可以定义上同调类在下同调类上的积分, 单纯上同调 为了计算方便,我们解释单纯上同调。单纯上同调是de Rham上同调的离散逼近。假设我们三角剖分流形S,得到单纯复形,仍然记为S。由单纯复形,我们得到链复形 一个q维上链是一个线性函数
我们得到上链复形
单纯上同调群和de Rham上同调群同构,
上同调群的计算 图3. 上同调群基底的算法。 给定一个三角剖分的曲面,表示成单纯复形M。我们计算其单纯上同调群的基底。算法非常直接了当:
拉回上同调群同态 假设
庞加莱-霍普夫定理 给定一个光滑曲面 曲面的切矢量场和拓扑存在着基本的关系,由庞加莱-霍普夫定理来刻画。我们考察切矢量场的零点集合:
矢量场经过微小扰动,我们可以假设零点都是孤立零点。选定一个零点
这个映射诱导了同伦群之间的映射:
如图2所示,光滑流场中的源(A,C )和汇(B,D )的指标为正1,鞍点(E )的指标为负1。著名的庞加莱-霍普夫( Poincare-Hopf )定理断言: 假设 这里我们取遍所有孤立零点, 庞加莱-霍普夫定理解释了为什么每个人的头顶都有发旋。这一定理的现代观点如下:假设曲面 通俗的讲,如果一个曲面的欧拉示性数不为零,那这个曲面上长的头发一定要有漩涡,顺时针漩涡的数目加上逆时针漩涡的数目减去鞍点的数目正好等于欧拉示性数。
证明方法如下,给定两个光滑切矢量场, 沿着每条边 假设在某个三角形
那么,我们可以看出
由此,我们得到
这意味着 切矢量场的零点总指标
图7. 特殊的矢量场。 如图7所示,我们构造一个特殊的矢量场,使得零点总指标易于计算。我们在曲面上任意构造一个三角剖分,然后设计一个流场,使得每个顶点是源(source),每个面的中心是一个汇(sink),每条边上有一个鞍点。 如此,我们得到零点的总指标和为:
【今天讲完课程后匆忙赶往火车站,还是错过了火车。在南京见到了南京大学的曹汛教授。曹教授向我介绍了计算图像、摄像学方面的科研成就,令人惊艳;我向曹教授介绍了计算共形几何学方面的一些方法。曹教授介绍了国内电影特效的情况,如火如荼,蓬勃发展。但是瓶颈在于三维高端人才的紧缺。】 References: 【1】http://www.iqiyi.com/w_19rto76hl9.html 【2】Lai, Yu-Kun, Shi-Min Hu, and Ralph R. Martin.'Automatic and topology-preserving gradient mesh generation for imagevectorization.' ACMTransactions on Graphics (TOG). Vol. 28. No. 3. ACM, 2009. 【3】Lai, Yu-Kun, et al. 'Metric-driven rosyfield design and remeshing.' IEEETransactions on Visualization and Computer Graphics 16.1 (2010): 95-108. 【4】Fang, Xianzhong, et al. 'All-hex meshingusing closed-form induced polycube.' ACMTransactions on Graphics (TOG) 35.4(2016): 124. 【5】Crane, Keenan, Ulrich Pinkall, and PeterSchr?der. 'Spin transformations of discrete surfaces.' ACMTransactions on Graphics (TOG) Vol. 30. No. 4. ACM, 2011.
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