幂函数（乘方）｜指数（函数）｜对数（函数）｜及其运算法则

求n个相同因数的积的运算，叫做乘方(power)，乘方的结果叫做幂（power），在a^n（n 标在右上角）中，a叫做底数，n叫做指数，当a^n（n标在右上角）看作a的n次方的结果时，也可读作a的n次幂。

比如：3^2=9（2在右上角）这个运算叫做乘方（像1+1=2这个运算叫加法 ）在这个式子中，幂就是9，就是这个运算的结果。在这个式子中，底数是3，指数是2。有的时候把这个 a^n 就看做一个结果，就是一个数，读作a的n次幂。在这个式子中，就读3的2次幂。

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乘方是表示几个相同的数成积的形式。它的相同因数叫做底数，乘的次数叫做指数，乘出来的得数（乘方的结果）为幂。
Ex：2^3=8 2是底数，3是指数，8是幂。9^6=531441，9是底数，6是指数，531441是幂。

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（数学中的幂）

幂指乘方运算的结果。n^m指将n自乘m次。把n^m看作乘方的结果，叫做n的m次幂。

其中，n称为底，m称为指数（写成上标）。

当不能用上标时，例如在编程语言或电子邮件中，通常写成n^m或n**m，亦可以用高德纳箭号表示法，写成n↑m，读作“n的m次方”。　　

当指数为1时，通常不写出来，因为那和底的数值一样；指数为2、3时，可以读作“n的平方”、“n的立方”。　　

n^m的意义亦可视为1×n×n×n...︰起始值1（乘法的单位元）底数相乘指数这麼多次。

这样定义了后，很易想到如何一般化指数0和负数的情况︰

除了0之外所有数的零次方都是1，即n^0=1；

幂的指数是负数时，等于1/n^m。　　

分数为指数的幂定义为x^m/n = n√x^m 　　

幂不符合结合律和交换律。　　

因为十的次方很易计算，只需在後加零即可，所以科学记数法借助此简化记录数的方式；二的次方在计算机科学中很有用。

同底数幂：同底数幂是指底数相同的幂（同底数幂的意义）。

 

关于幂（即指数）的运算法则

幂的运算法则 上海市同洲模范学校/宋立峰

关于整数指数幂，运算法则要记住。

指数加减底不变，同底数幂相乘除。

指数相乘底不变，幂的乘方要清楚。

积商乘方原指数，换底乘方再乘除。(axb)^n=a^n X b^n

非零数的零次幂，常值为1不糊涂。

负整数的指数幂，指数转正求倒数。

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有理数的指数幂，运算法则要记住。
指数加减底不变，同底数幂相乘除。
指数相乘底不变，幂的乘方要清楚。
积商乘方原指数，换底乘方再乘除。
非零数的零次幂，常值为 1不糊涂。
负整数的指数幂，指数转正求倒数。
看到分数指数幂，想到底数必非负。
乘方指数是分子，根指数要当分母。

1、同底数幂的乘法：底数不变，指数相加 a^m·a^n=a^(m+n) （m，n属于有理数）

2、同底数幂的除法：底数不变，指数相减 a^m÷a^n=a^(m-n) （a不等于0，m，n属于有理数）

3、幂的乘方：底数不变，指数相乘 (a^m)^n=a^mn )；（m，n属于有理数）

4、积的乘方：等于各因数分别乘方的积 a^m·b^m=(ab)^m ；（n属于有理数）

5、商的乘方(分式乘方)：分子分母分别乘方，指数不变a^m÷b^m=(a/b)^m

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指数（幂）的计算核心在于两点：一个是指数的基本公式的应用；另一个是转化形式，比如统一底数或指数，然后比较大小。

例：

已知3^x＋3^－x＝5，求下列各式的值：(1)9^x＋9^－x；(2)27^x＋27^－x；(3)3^x－3^－x．（精英家教网）
解析：　

(1)9^x＋9^－x＝(3^x)²＋(3^－x)²＝(3^x＋3^－x)²－2·3^x·3^－x＝5²－2＝23；

(2)27^x＋27^－x＝(3^x)³＋(3^－x)³＝(3^x＋3^－x)[(3^x)²－3^x·3^－x＋(3^－x)²]＝(3^x＋3^－x)(9^x＋9^－x－1)＝5(23－1)＝110；

(3)3^x－3^－x＝± ．

 

点评：整体思想是常见的数学思想之一，通过整体代入、整体运算、整体消元、整体合并等方法，可以将运算过程简化，提高解题效率．另外，对于本题，也可以将3^x看成整体作为一个未知数，先求出3^x的值，然后再代入求解，但这种解法较繁琐，是一种不经济的解法．

提示：根据已知条件，寻找结论与条件之间的关系，发现可以通过整体变换来解．

 

难点：

对数：一般地，如果a（a大于0，a不等于1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作b=log aN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

知识点：对数的概念及其运算性质

 

a^logb N=N^logb a

 

误区提醒

 

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幂函数：形如Y=x^a（a为常数）的函数（即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。）

指数函数：指数函数的一般形式为y=a^x（a大于0，a不等于1）（x属于R），它是初等函数的一种，是定义在实数域上的单调、无上界的正值函数。

对数函数：一般地，我们把函数y=log a x（a大于0，a不等于1）叫作对数函数，其中x是自变量，函数的定义域为（0，+无穷）。

数理天地：http://m./app/sltd/?c=main&a=detail&id=18117&knowapplyid=3612********

 

 

 高中数学必修1对数函数的图像性质(北师大版)

 

理解对数函数图象与对数函数性质间的对应关系

要求掌握对数函数的概念

 

对数函数图像、性质及例题

  1、定义：一般地，函数叫做对数函数，其中x是自变量。

  2、对数函数的性质：

例1. 求值：（1）

（2） 

（3） 

解析：（1）

（2）

（3）

    

点评：

（1）注意计算公式的灵活运用；

（2）同学们在学习时由于分不清导致计算错误的现象很多；

（3）在进行对数运算中经常用到。

 

例2. 已知，求的值。

解析：

法1：，

而

，

    所以。

法2：从而

法3：

    从而

点评：解法1借助指数变形来解；解法2与解法3是利用换底公式来解，显得较简明。应用对数换底公式解这类题的关键是适当选取新的底数，从而把已知对数和所求对数都换成新的对数，再代入求值即可。

 

例3. 已知，则a，b，1的大小关系是________________

解析：

法1：由，

    是增函数，故b > a > 1.

法2：设，则有，从而。

由已知，x > y > 0

，考虑到函数是增函数，所以，即b > a > 1.

点评：指数函数和对数函数的单调性在比较大小时用处很大，也很灵活。

上海高一上数学4.5对数函数的图像与性质