第六讲几何综合之复杂平面几何问题二模块一、角度问题例1．如图，∠AOB的顶点O在直线l上，已知图中所有小于平角的角之和是400°，则∠AO
B=。解：由题意知∠1+∠2+∠3+(∠1+∠2)+(∠2+∠3)=400°，所以2×(∠1+∠2+∠3)+∠2=400°，
又∠1+∠2+∠3=180°，所以∠2=400°?360°=40°.例2．一个考古发现的正多边形残片，如图所示，∠EAB=∠FBA
=165°，那么原来是一个正边形。解：一个正n边形的内角=180°?，由题意得180°?=165°，解得n=24，所以原来是正
24边形。例3．在△ABC中，∠B=45°，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD交BC的延长线于点F，求∠FAC的大小是。
解：因为AD是∠BAC的平分线，所以∠1=∠2，又EF垂直平分AD，所以∠2+∠3=∠4，有∠4=∠B+∠1，所以∠2+∠3=∠B
+∠1，解得∠3=∠B，所以∠FAC=∠3=45°.例4．如图所示，已知AB平行于CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，求证：
∠E=。解：过E做EF//AB，因为AB//CD，所以EF//CD，因为EF//AB，所以∠1=∠3，因为BE是∠ABC的平分
线，所以∠3=∠4，得∠1=∠B，同理得∠2=∠6=∠D，所以∠E=∠1+∠2=。模块二、几何图形变换之轴对称例5．如图，四边形A
BCD中，AB=BC=CD，∠B=168°，∠C=108°，求∠D的度数是。解：如图，以AB为边做等边三角形ABE，连结DE、
BD，则∠CBE=168°?60°=108°=∠C,因为AB=BE，AB=CD，所以BE=CD，所以四边形BCDE是等腰梯形，∠B
ED=∠CDE=180°?102°=72°，在等腰三角形CBD中，∠C=108°，所以∠CBD=∠CDB=，所以∠DBE=180°
?36°=72°，∠DBE=∠BED，三角形BDE是等腰三角形，BE垂直于AD，所以∠BDE=180°?2×72°=36°，因为A
D平分∠BDE，所以∠BDA=∠ADE=18°，所以∠CDA=∠CDE?∠ADE=72°?18°=54°.例6．如图，在△ABC中
，∠BAC=∠BCA=44°，M是△ABC内一点，使得∠MCA=30°，∠MAC=16°，则∠MBC=。解：在△ABC中，
∠BAC=∠BCA=44°，所以∠ABC=92°，作∠DAC=30°交CM延长线于D，连接BD，∠DAM=∠DAC?∠MAC＝30
°－16°＝14°，所以∠BAD=44°－30°＝14°，可通过证明三角形BAD和BCD全等来说明BD是角ABC的平分线，可求得∠
ABD=46°，又∠AMD＝∠MAC+∠MCA＝46°，所以∠ABD=∠AMD，所以可证明出三角形ABD和AMD是全等的，所以AB
=AM，可以在等腰三角形ABM中求得∠ABM=76°，所以∠MBC=16°。例7．在正三角形ABC内取一点D，使得DA=DB，在三
角形ABC外取一点E，使得∠DBE=∠DBC，且BE=BA，则∠BED=。解：连结DC，因为DA=DB，CA=CB，DC=DC
，所以△CDA与△CDB全等，所以∠DCA=∠DCB=30°(∠ACB=60°)，又BE=BA=BC，∠DBE=∠DBC，BD=
BD，所以△DBE与△DBC全等，得到∠DEB=∠DCB=30°.例8．如图，∠AOB=30°，点P位于∠AOB内，OP=3，点M
、N分别是射线OA、OB上的动点，则△PMN的最小周长是。解：以OA为对称轴，做P的对称点P’，连结OP’、MP’、PP’，则O
P’=OP，MP’=MP，同样以OB为对称轴，做P的对称点P’’，连结OP’’、NP’’、PP’’，则OP’’=OP，NP’’=N
P，于是△PMN的周长是PM+PN+MN=P’M+MN+P’’N，这是一条折线，连结P’P’’分别与OA、OB相交于点M’、N’，
则当M、N分别运动到M’、N’点时，折线段变成了直线段P’P’’，这就是三角形PMN的最小周长。在△OP’P’’中，OP’=OP’
’=OP=3，∠POA=∠P’OA，∠POB=∠P’’OB，所以∠P’OP’’=60°，得到P’P’’=OP’=OP=3.随堂
练习1．一个正多边形的一个外角是22.5度，那么这是一个正边形。解：正n边形的一个外角==22.5°，所以n=16.2．如图
，求：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=。解：连结BC，由图知，∠D+∠E+∠1=∠2+∠3+∠4，因为∠1=∠2，所以∠D+∠E=
∠3+∠4，所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠ABC+∠ACB=180°.3．在四边形ABCD中，已知AB=BC=CD，
∠ABC=70°，∠BCD=170°，则∠BAD的大小是度。解：如图，以AB为一边做正三角形ABE，连结DE，则BE=AE=A
B=BC=CD，∠ABE=60°，又∠ABC=70°，所以∠CBE=10°，∠BCD=170°，所以BE//CD，四边形BCDE是
菱形，DE=BC=EB=AE，∠BED=∠BCD=170°，△AED是等腰三角形，∠AED=360°?60°?170°=130°，
所以∠DAE=×(180°?130°)=25°，所以∠BAD=60°+25°=85°.4．如图，三角形纸片ABC中，∠A=65°，
∠B=75°，将纸片一角折叠，使得点C落在△ABC内，若∠1=20°，则∠2的大小是度。解：△ABC中，∠A=65°，∠B=75
°，所以∠C=40°，所以∠3+∠4=∠A+∠B=140°，又∠A+∠B+∠1+∠2+∠3+∠4=360°，所以∠1+∠2=80
°，其中∠1=20°，所以∠2=60°.5．I是△ABC的内心（三角形内角平分线的交点），且CA+AI=BC，若∠BAC=80°，
那么∠AIB的大小是度。解：如图，以CD为轴做A点的对称点G，连结AG、GI，则AC=CG，AI=IG，∠1=∠2，因为CA
+AI=BC，所以BG=AI=IG，得到∠3=∠4，又BF是∠ABC的平分线，所以∠3=∠5，得∠4=∠5，所以IG//AB，四边
形ABGI是等腰梯形，∠ABG=∠BAI=∠BAC=40°，于是∠5=20°，在△ABI中，∠5=20°，∠BAI=40°，所以∠
AIB=180°?20°?40°=120°.6．在△ABC内取一点M，使得∠MBA=30°，∠MAB=10°，∠ACB=80°，A
C=BC，那么∠AMC的大小是度。解：如图，以AB为轴，做M点的对称点N，连结MN、CN，则MB=NB，∠1=∠3=30
°，∠2=∠4=10°，所以∠MBN=2×∠1=60°，所以△MNB是一个正三角形，MN=MB=NB，所以∠5=60°，又∠AC
B=80°，AC=BC，所以∠ABC=∠BAC=50°，所以∠CAN=60°，∠ANB=∠AMB=180°?30°?10°=140
°，即∠5+∠7=140°，于是∠7=140°?60°=80°，由于外角等于圆心角的一半，所以点N在以C点为圆心，CA为半径的圆上
，得CN=CA=CB，在△CMB和△CMN中，CB=CN，BM=NM，CM=CM，所以△CMB与△CMN全等，得∠CMB=∠CMN
=×(360°?60°)=150°，在△AMN中∠MAN=20°，所以∠AMN=∠ANM=80°，所以∠AMC=∠CMN?∠AMN
=150°?80°=70°.7．在凸四边形ABCD中，∠ADB=∠ABC=105°，∠CBD=75°，如果AB=CD=12厘米，
则四边形ABCD的面积是平方厘米。解：如图，以BD为轴，做点C的对称点E，连结AE、BE、DE，则DE=DC=12，△BD
C与△BDE全等，∠ADB=105°，∠DBE=∠DBC=75°，因为105°+75°=180°，所以AD//BE，则△BED与△
BEA面积相等，所以四边形ABCD的面积等于四边形AEBD的面积，又梯形AEBD中AB=DE，即两条对角线相等，所以这是一个等腰梯
形。因为∠ABC=∠ADB=105°，∠CBD=75°，所以∠DBA=105°?75°=30°，∠DAB=180°?105°?30
°=45°，所以∠ADE=∠DAB=45°，于是AB⊥DE，四边形AEBD的面积等于AB×DE÷2=12×12÷2=72（平方厘
米）。所以四边形ABCD的面积是72平方厘米。8．在直角三角形AB的斜边BC上取点P，Q使得BP=CQ=2，PQ=4，AC上取点R
，AB上取点S，那么QR+RS+SP的最小值是。解：如图，以AB为轴，做点P的对称点P’，连结PS、P’S，PP’，以AC为轴，做点Q的对称点Q’，连结QR、Q’R，QQ’，则PS=P’S，QR=Q’R，连结P’Q’与AB、AC分别各有一个交点，这两个点的位置就是P、Q的最佳位置，P’Q’//BC，且BP’=BP=2，CQ’=CQ=2，所以四边形BCQ’P’是平行四边形，此时Q’R+RS+SP’的值恰好等于P’Q’，而P’Q’//BC，P’Q’=BC=2+4+2=8. |
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