第二次写CSDN文档,上一篇的排版实在太烂了,于是决定认真学习一下markdown的语法。
好了,废话不多说,今天,我们学习一下图像(2维平面)到图像(2维平面)的四种变换,等距变换,相似变换,仿射变换,投影变换 首先介绍它的原理,最后介绍matlab的实现
1.数学基础
射影变换矩阵H属于射影群PL(n)中的一个,仿射群是由PL(3)中最后一行为(0,0,1)的矩阵组成的子群,包括仿射群,欧式群,其中欧式群是仿射群的子群,其左上角的矩阵是正交的,当它的行列式为1是称为定向欧式群,距离是欧式群的不变量,但不是相似群的不变量,而夹角是这两个群的不变量。
听了这么多群,不变量的数学概念,可能有点晕,下面我用最直观的语言解释。线性空间中的线性变换可以用矩阵来描述,因此我们用矩阵来刻画这四种变换。我们以数学系的经典代数入门教材北大版的《高等代数》为例,研究这些变换是如何进行的
![这里写图片描述](http://image108.360doc.com/DownloadImg/2017/08/0319/107431469_1)
2. 等距变换
等距变换(isometric transform),保持欧式距离不变,当图像中的点用齐次坐标表示时,变换矩阵如下所示:
⎛⎝⎜x′y′1⎞⎠⎟=⎛⎝⎜εcos(θ)εsin(θ)0−εsin(θ)−εcos(θ)0txty1⎞⎠⎟⎛⎝⎜xy1⎞⎠⎟
当ε=1是保向的,ε=−1是逆向的,等距变换可以更简单的写成
x′=HEx=(R0t1)x
其中R是旋转矩阵。t是平移矢量,有3个自由度(1旋转角θ+两个平移tx,ty),需要2组点4个方程求解,等距变换的不变量是:长度,角度,面积。用matlab实现等距变换如下:
clear;close all;clc
I=imread('book1.jpg');
figure,imshow(I);
[w,h]=size(I);
theta=pi/4;
t=[100,100];
s=0.5;
% test Eucludian transform
H_e=projective2d([cos(theta) -sin(theta) t(1);
sin(theta) cos(theta) t(2);
0 0 1]');
newimg=imwarp(I,H_e);
figure,imshow(newimg);
可以看出,等距变换就是对图像的旋转+平移
3. 相似变换
相似变换(similarity transform):等距变换+均匀缩放,当图像中的点用齐次坐标表示时,变换矩阵如下所示:
⎛⎝⎜x′y′1⎞⎠⎟=⎛⎝⎜scos(θ)ssin(θ)0−ssin(θ)−scos(θ)0txty1⎞⎠⎟⎛⎝⎜xy1⎞⎠⎟
当s=1是保向的,s=−1是逆向的,相似变换可以更简单的写成
x′=HSx=(sR0t1)x
其中R是旋转矩阵。t是平移矢量,s是缩放尺度,有4个自由度(1旋转角θ+2个平移tx,ty+1个缩放尺度),需要2组点4个方程求解,相似变换的不变量是:角度,长度的比例,面积的比例。用matlab实现相似变换如下:
clear;close all;clc
I=imread('book1.jpg');
figure,imshow(I);
[w,h]=size(I);
theta=pi/4;
t=[100,100];
s=0.5;
%% test similar transform
H_s=projective2d([s*cos(theta) -s*sin(theta) t(1);
s*sin(theta) s*cos(theta) t(2);
0 0 1]');
newimg=imwarp(I,H_s);
figure,imshow(newimg);
可以看出,等距变换就是对图像的旋转+平移+缩放,这个图相对原图是变小了一些。
4. 仿射变换
仿射变换(affine transform):非奇异变换+均匀缩放,当图像中的点用齐次坐标表示时,变换矩阵如下所示:
⎛⎝⎜x′y′1⎞⎠⎟=⎛⎝⎜a11a210a12a220txty1⎞⎠⎟⎛⎝⎜xy1⎞⎠⎟
仿射变换可以更简单的写成
x′=HAX=(A0t1)x
其中A是仿射矩阵。t是平移矢量,s是缩放尺度,有6个自由度(4个仿射矩阵的元素+2个平移tx,ty),需要2组点4个方程求解。这里多说一句,仿射变换的A矩阵是可以做SVD分解的,即:
A=R(θ)R(−ϕ)DR(ϕ)
D=diag(λ1,λ2)仿射变换A可以看作是一个旋转ϕ+x,y方向按照比例因子λ1,λ2的缩放+回转−ϕ+旋转θ的复合变换,
仿射变换的不变量是:平行线,平行线的长度的比例,面积的比例。用matlab实现仿射变换如下:
clear;close all;clc
I=imread('book1.jpg');
figure,imshow(I);
[w,h]=size(I);
theta=pi/4;
t=[100,100];
s=0.5;
%% test affine transform
H_a=projective2d([1 0.5 t(1);
0 0.5 t(2);
0 0 1]');
newimg=imwarp(I,H_a);
figure,imshow(newimg);
可以看出,仿射变换就是对图像的旋转+平移+缩放+切变(shear),相比前两种变换图像的形状发生了改变,但是原图中的平行线仍然保持平行。
5. 射影变换
射影变换(projection transform):当图像中的点的齐次坐标的一般非奇异线性变换。有些文献中把射影变换矩阵称为单应性矩阵变换矩阵如下所示:
⎛⎝⎜x′y′1⎞⎠⎟=⎛⎝⎜h11h21h31h12h22h32h13h231⎞⎠⎟⎛⎝⎜xy1⎞⎠⎟
仿射变换可以更简单的写成
x′=HAX=(AvTtv)x
其中A是旋转矩阵。t是平移矢量,s是缩放尺度,有8个自由度(矩阵中的8个h),需要4组点8个方程求解。同样的,射影变换的A矩阵是可以做分解的,QR分解,SVD分解都有各自不同的含义。我们常说的矩阵内外参数矩阵就是QR分解中的一种(QR分解不唯一),即把单应性矩阵分解成=内参矩阵×外参矩阵 。给定世界坐标系中的二维平面,用相机对二维平面拍照,通过对应点求拍摄照片的单应性矩阵(射影矩阵)的过程就称为相机标定,直接用代数的方法求解参数会有一定的误差,在张正友的标定方法中,讲的就是如何通过迭代使得误差最小。具体可以见我写的第一篇文章张正友相机标定法。对一般的两张照片也可以求单应性矩阵,具体的应用就是把其中的一张变换到另一张上,进一步可以做图像融合。
射影变换的不变量是:长度的交比。用matlab实现射影变换如下:
clear;close all;clc
I=imread('book1.jpg');
figure,imshow(I);
[w,h]=size(I);
theta=pi/4;
t=[100,100];
s=0.5;
%% test projective transform
H_P=projective2d([0.765,-0.122,-0.0002;
-0.174,0.916,9.050e-05;
105.018,123.780,1]);
newimg=imwarp(I,H_P);
figure,imshow(newimg);
可以看出,射影变换就是对图像的旋转+平移+缩放+切变+射影,相比前三种变换图像的形变更为自由,原图中的平行线经过变换之后已经不在平行,而可能相交于一点,射影变换就是把理想点(平行直线在无穷远处相交)变换到图像上。
6 应用
说了这么多,下边举一个简单的小应用,就是把通过求两幅对应点的单应性矩阵(射影矩阵),把一种图片变换成另一张的形状。如图:
选择两幅图像对应的四个点
第一幅
![第一幅](http://image108.360doc.com/DownloadImg/2017/08/0319/107431469_6)
第二幅
![这里写图片描述](http://image108.360doc.com/DownloadImg/2017/08/0319/107431469_7)
变换的结果
这样就成功把第二幅图片变成第一副图片的角度
下面附上代码
%% Initial
clear;
clc;
img_num=2; %the number of image
compress_scale=0.4; %define image compress scale
points_p=[0 0;1 0;2 1;2 0]; %define cordinate of 2D plain in 3D space
%% define a cell that load image
Image=cell(1,img_num);
%% read the image
Image{1,1}=imread('book1.jpg');
Image{1,2}=imread('book2.jpg');
%% image compression, transform rgb to gray, and select feature points
feature=[];
for i=1:img_num
Image{1,i}=imresize(Image{1,i},compress_scale);
I{:,:,i}=Image{1,i};
Image{1,i}=rgb2gray(Image{1,i});
imshow(Image{1,i});
hold on;
for j=1:4
[x,y]= ginput(1); %select the corner
x=round(x);
y=round(y);
plot(x,y,'ro');
feature(j,2*i-1)=x; %feature is a matrix containing corner cordination
feature(j,2*i)=y;
end
close all;
end
%% calculate homegraphy matrix for each matrix
featurep1=feature(:,1:2);
featurep2=feature(:,3:4);
h = calc_homography(featurep2, featurep1);
Im=I{:,:,2};
[a,b]=size(I);
tform=projective2d(h);
J=imwarp(Im,tform); % matlab自带的处理图像变换的函数
figure,imshow(I{:,:,1});
figure,imshow(I{:,:,2});
figure,imshow(J)
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