《高中物理思维方法集解》试笔系列—— “磁强的叠加”与“通导的平衡”

sdweifeng 2017-08-07

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《高中物理思维方法集解》试笔系列

“磁强的叠加”与“通导的平衡”

山东平原一中魏德田 253100

谈到高中物理《磁场》的问题，掐指算来，最需要强调和把握的物理概念，莫过于“磁感应强度”（以下称“磁强”）了，它提示磁场具有力的性质。但真正理解“磁强”，不仅要弄清“磁强”的大小（或磁场的强弱）、方向还要学会如何计算和判断。再，最需要重视和运用的物理规律，则莫过于两种磁场力，即安培力和洛仑兹力。进而，安培力能对电流做功，而洛仑兹力对带电“粒子”不做功。即便安培力对电流做了功，也不似电场情形会引起势能变化。这是由于磁场不是势场，因而也就没有磁势能及其变化。而真正学会解决此类问题，能够驾轻就熟，亦绝非易事。本文拟先就“磁强的叠加”与“通电导体的平衡”两个问题，作一些初步、粗略地分析和讨论。

一、解题依据

若解决“磁强”和“磁场力的方向”等初步问题，可参考以下几条依据：

㈠求“磁强”B的大小，一看磁感线的“疏密”；二可用公式和等计算。直线电流的“磁强的叠加”问题，与场强矢量的叠加十分相似。

㈡“磁强”（或磁场）方向，跟磁感线的切线、或小磁针N极的“方向一致”；在磁场力问题中遵守“左手定则”。而判断磁感线的方向，依据“安培定则”。

㈢求安培力F的大小，可用或。

㈣其方向，可用“左手定则”，F一定垂直于I、B，而后两者则不一定垂直。若I、B任一量反向，F则反向。

㈤若“通电导体”（以下称“通导”）的安培力、机械力、静电力等合力为零，其则处于平衡状态。若合力不为零，则可改变其运动状态。

*安培力的作用，亦可使通电导体如线圈等发生形变。其他不尽之处，请参阅教材。

二、解题示例

[例题1] （’07上海）取两个完全相同的长导线，用其中一根绕成如图A。所示的螺线管，当该螺线管中通以电流强度为I的电流时，测得螺线管内中部的磁感应强度大小为B，若将另一根长导线对折后绕成如图B。所示的螺线管，并通以电流强度也为I的电流时，则在螺线管内中部的磁感应强度大小为（）

A．0 B．0.5B C．B D．2 B

[解析]我们知道，通电螺线管可视为由若干环形电流组成的。若各匝电流方向相同，螺线管内中部某点的“磁强”B为多个“同向磁强”之和；若导线对折后绕之，则因每两匝电流方向相反，而使其“反向磁强”相互抵消为零，故总磁强亦为零。故本题答案为：选A。

[例题2]（’06上海）如图—2所示，同一平面内有两根互相平行的长直导线1和2，通有大小相等、方向相反的电流，a、b两点与两导线共面，a点在两导线的中间与两导线的距离均为r，b点在导线2右侧，与导线2的距离也为r．现测得a点磁感应强度的大小为B，则去掉导线1后，b点的磁感应强度大小为，方向．

[解析]首先，选垂直向内为正方向，由“依据”㈠可知，直线电流1、2在a点的“磁强”为

由“依据”㈡知B_a方向是向内的。

再，“去掉导线1后”，由ab点的对称性知，b点的磁强大小为

同理，可知B_b方向垂直于纸面向外。

[例题3]（’08预测）如图—3所示，三根通电长直导线P、Q、R互相平行且通过正三角形的三个顶点，三条导线中通入的电流大小相等、方向垂直于纸面向里；通过直导线产生磁场的磁感应强度B=kI/r,I为通电导线的电流，r为距通电导线的垂直距离，k为常量；则通电导线R所在处磁感应强度的大小和方向怎样？若已知导线R的长度为L，则其所受安培力的大小和方向又怎样？

[解析]首先，分析可知通电导线R所在处“磁强”B分别由P、Q两直线电流的磁强B₁、B₂合成的，如图—4所示。

然后，已知各导线中电流和距离都相等，由“依据”㈠（直线电流的磁强公式）可见B₁=B₂；从图中看出，∠R₁RR₂=60°。从而，我们应用“依据”㈠、三角函数知识，可得

显见，B的方向水平向右。

接下来，再应用“依据”㈢得

又由“依据”㈣，判断出F的方向是竖直向下的。

[点拨]例1、例2均为直线电流的磁强合成问题，解题中应用了安培定则。前者为同一直线合成问题，后者则为斜交合成问题，其中都应用了直线电流的磁强公式。

[例题4]（'07山西模拟）如图—5所示，在倾角为的光滑斜面上，垂直纸面放置一根长为L，质量为m的直导线，当通过如图所示的电流时，预使导线静止在斜面上，需外加匀强磁场的大小和方向是

A．，垂直于斜面向上

B．，垂直于斜面向下

C．,方向竖直向下

D．，方向竖直向上。

[解析]首先，分析可知预使导线静止在斜面上，则必须使得重力G、支持力N和安培力F（=BIL）的合力为零，如图—6所示。由图可知，F与N的夹角β应在的范围之内。当β=（90°-α）和β=90°时，分别有和；然后，由“依据”㈢可知，其方向分别垂直于斜面向下、竖直向下。

因此，本题答案为：选B、C。

[点拨]在包括机械力、安培力在内的力的平衡问题中，此题应该属难度较大的类别。解题中，必须弄清楚保持平衡时，安培力的取值范围，然后再利用左手定则解决才行。

[例题5]（高考模拟）如图—7所示，质量为m电阻为R的导体棒ab放在与水平面夹角为的倾斜金属导轨上，导轨间距为d，导轨电阻不计，整个装置处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B，电池内阻不计。

⑴若导轨光滑，电源电动势E多大才能使导体棒静止在导轨上？

⑵若导体棒与导轨之间的动摩擦因数为，且不通电使导体棒不能静止在导轨上，要使导体棒静止在导轨上，电源的电动势应多大？（最大的静摩擦力等于滑动摩擦力）

[解析] 首先，分析受力情况，作出图—8和最大静摩擦力向上时的图—9。

⑴然后，如图—8所示，应用“依据”㈤、电学知识可得

由此解得

⑵进而，在图—9中，对于最大静摩擦力分别向上、向下的不同情况（与式中的号分别表示），，应用

“依据”㈤，可得

联立①③④，即可求出电源电动势的范围为

[点拨]特别强调，解决第⑵小题，除开利用正交分解法求合力的方法，还要同时考虑到静摩擦力沿斜面向上、向下两种情况才行。

[例题6]（’04广东）如图—10，在水平面上有两条平行导电导轨MN、PQ,导轨间距离为，匀强磁场垂直于导轨所在的平面（纸面）向里，磁感应强度的大小为B，两根金属杆1、2摆在导轨上，与导轨垂直，它们的质量和电阻分别为和,两杆与导轨接触良好，与导轨间的动摩擦因数为，已知：杆1被外力拖动，以恒定的速度沿导轨运动；达到稳定状态时，杆2也以恒定速度沿导轨运动，导轨的电阻可忽略，求此时杆2克服摩擦力做功的功率。

[解析]设拖动杆1的外力为F，回路的电流为I，则当系统达到稳定时，由“依据”㈤、㈢、㈣，分别针对杆1、杆2可得

设杆2克服摩擦力做功的功率为P₂，外力的功率为P_F，则根据能量守恒、功率公式等，又得

联立①②③④式，即可解得

。

[点拨]本题解答过程，先采用“隔离法”对“通导”进行包括机械力、安培力等的受力分析；然后应用了“通导”的平衡条件，机械、电功率的公式等概念和规律。若从“电磁感应”角度着眼，由于运动过程中两杆和导轨构成的“回路”的磁通量发生变化，则可设杆2的运动速度为v，感应电动势为。从而，由电磁感应定律、欧姆定律，可求出回路的电流

再由功率公式，得导体杆2克服摩擦力做功的功率

最后，联立③④⑤⑥式，亦可求出相同的结果。

[例题7]（’04全国Ⅰ）图—11中a₁b₁c₁d₁和a₂b₂c₂d₂为在同一竖直面内的金属导轨，处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨所在的平面(纸面)向里。导轨的a₁b₁段与a₂b₂段是竖直的，距离为l₁；c₁d₁段与c₂d₂段也是竖直的，距离为l₂。x₁y₁与x₂y₂为两根用不可伸长的绝缘轻线相连的金属细杆，质量分别为m₁和m₂，它们都垂直于导轨并与导轨保持光滑接触。两杆与导轨构成的回路的总电阻为R。F为作用于金属杆x₁y₁上的竖直向上的恒力。已知两杆运动到图示位置时，已匀速向上运动，求此时作用于两杆的重力的功率的大小和回路电阻上的热功率。