数学分析学习方法

 大学的四年是人生道路中承上启下的关键四年，大学生们要从学会学习、学会生存、学会做事、学会做人四个层面全面完善自己。所以刚进入大学门坎的同学们应该尽快适应环境，适应高校授课特点，要独立思考、独立分析、独立解决问题，方能在学习上迈向成功之路。
数学分析是数学与应用数学专业和信息与计算科学专业的一门专业基础课，它要为后续课程实变函数、复变函数、概率统计，常微分方程，拓扑学等课的学习打下良好的基础。教育部数学与力学教学指导委员会制订的信息与计算科学专业教学规范中，关于数学分析课的教学内容和要求是：
数学分析是本专业的重要基础课程。它为众多后续课程的教学提供必要的基础，也为培养学生的独立工作能力提供必要的训练。学生掌握本课程的基本内容和方法，对达到本专业的业务培养要求具有关键性的作用。
数学分析的内容包括：函数、极限、连续性、导数与微分、积分、级数、Fourier级数，多元函数微分学、含参变量的积分、重积分、曲线积分、曲面积分、场论初步。
要求学生对本课程的基本概念、基本理论和基本方法有清晰的理解，并通过大量习题的训练，培养学生的运算技能和对数学问题的思维能力。
一、数学分析内容的特点
数学分析内容有以下五个特点：
1、变化的观点
这是贯穿在全部讨论中的一个基本观点，即用变化的观点去考察问题，从变化当中去认识事物。用变化的观点审视和解决问题，是学好数学分析的关键。
2、精确化
数学从诞生之日起，以严密、简洁、精确而著称，而数学分析更是集中体现了这一风格，所有内容都建立在极限语言之上，这两种语言的精确性，经历了一百多年的锤炼，可以说是字字千金，滴水不漏。
3、抽象性
数学分析中的一些概念具有一定的抽象性，其主要表现是：定义了一系列新概念。概念一般从实际事物中经过抽象而得到，但它较原实际问题包含更丰富的内涵。
可以这样说，数学分析学习的成败，一个重要方面，就是对概念的理解与掌握，概念是基础，概念是前提。学习抽象概念，要抓住以下三个环节：
① 要记住引入概念的1-2个实际例子，以掌握概念的原始模型；② 要记住与概念相悖的两个反例，以加深对概念的理解；③ 要弄清新概念和已有概念的联系（例子、定理、公式）。
4、丰富的技巧
数学分析中的技巧丰富多彩，要注意积累。这方面的能力，需要用数学的方法去进行训练。
5、深刻的数学思想方法
转化思想、数形结合、类比方法、演绎归纳、分析综合等数学思想方法在数学分析中几乎无处不现。学习这些思想方法，对我们的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力等的培养是非常重要的。
二、如何听课
大学课程课堂教学学时一般比较少，一节课的知识容量较大，讲课的节奏也较快，如何有效地掌握课堂教学内容，提几点建议：
1、课前预习。适当预习，可使听课有的放矢、重点、难点明确，从而提高听课效率。预习的目的不是看懂全部内容（当然，能看懂的决不放过），主要是要对教材的内容有一个大概的了解，要了解预习内容需要已学过的那些知识，是否掌握，那些内容能看懂，那些看不懂，并对各种情况用不同的标记标出，以便在听课时分别弄懂。
2、听懂概念是重点，要了解概念的来龙去脉，搞清各概念间的关系，尤其是教师强调的地方，要引起注意，这往往是容易出错的地方。
3、听定理证明讲授时，要听其证明的思路和方法，注意教师的分析，而不要过于拘泥证明过程中的每一个细小步骤，但对主要步骤要听懂，下课之后再自行补充，更不要在某一地方卡住之后，中止听课。
4、要学会合理安排听课的精力和体力。整堂课上精力集中做不到，建议同学们把主要精力放在概念讲述，定理证明方法，易出错的地方的介绍等。
5、要养成听课记笔记的习惯。在听课的同时做好笔记，这对集中注意力听好课以及复习巩固听课内容、掌握知识要点，培养独立思考深入钻研的良好学风，扥都有一定的作用。
三、如何看书
大学的学习主要靠自学，而看书是自学的重要的环节，若仅把书上的那些简洁的不能再简洁的文字、符号，由此及彼看懂了，是起不到看书的作用，达不到看书的目的，学不好数学。对此，尽管是老生常谈，但强调几点：
1、多则惑，少则得。建议在读书中始终抓住每一节、每一章的几个主要概念、定理，尝试着用它们派生其它概念与结论，这即为常说的，把书读“薄”，将知识分类、浓缩。
2、加进去，写出来。书读薄后，应尝试把它变“厚”，这就是说，把你的体会，从别的书上学来的例子、新的证明方法加进去，使之丰富起来，使书变成像你“写出来”的一样。这一过程是读书的高级阶段，常常要去猜想、去探索，是真正学习数学方法，掌握数学技巧的主要来源。
3、合理选择参考书。建议同学们，要适当的阅读参考书，选定一本你认适合自己的数学分析辅助读物作为重点参考书，对提高学习效果不无益处。
四、关于做题
要学好数学分析，最好的办法莫过于经常动手去做题。解题能力的培养在数学分析学习中占有很重要的地位，这一点要特别提醒大家，有的同学做题时眼高手低，根源在此。
1、对概念题的练习应该受到重视，建议多花点时间；
2、对基本的运算题应多练习，并注意准确性与速度，少看书后的参考答案，有时参考答案也不是百分之百正确，靠答案的辅助提示做题容易在考试时栽根斗；
3、对做错的题，不要轻易放过，找出原因，引以为戒；
4、切记眼高手低，数学分析证明题多，详细写出解答过程，这样可以训练语言组织和表达能力；
5、当你做完一道题之后，请思考以下几个问题：
① 该题主要检测那方面的概念和知识；
② 部分地改变题目的条件，能得出什么新结论；
③ 该题的解答方法是否具有普遍性，是否能成为一种程序化解题方法；
④ 解题中所用的技巧是如何想出来的。
    学习是一种复杂的脑力劳动，要想在学习上取得进步，理想、勤奋、毅力、方法缺一不可。理想是力量的源泉，勤奋是取得成功的前提，毅力是克服困难的关键，方法选择正确，事半功倍，方法不当事倍功半。我们说，对学习目的明确，学习态度端正的同学，要想少走弯路，提高学习效果，关键是讲究学习方法。
数学分析学习方法谈——《数学分析》精品课程组

更新时间:[2005-5-15]
我们平时在与学生的交流过程中,感觉到学生在学习数学分析中经常遇到的问题对其学习进程有很大的影响。
作为数学分析课程的教师，对待学生学习上的问题，处理问题的心态与学生本人有所不同，学生容易急燥，然而急燥是不解决问题的，必须要有科学的方式、方法和教育手段，引导学生解决数学分析课程学习中的问题。
数学分析课程有一个特点是重要、枯燥。重要是显而易见的，数学分析作为专业基础课程，对其它后继课程的学习至关重要；同时它又是枯燥乏味的，这似乎是一对矛盾，要处理这对矛盾，就要解决一个数学分析学习当中的技巧性问题和心理问题。当然不可能人人都能把数学分析学好，由于各人的性向不同，有的人倾向于人文学科，有的人倾向于逻辑思维，有的人倾向于空间思维，有的人则倾向于动手能力….各人的倾向性不一样，擅长的方面也各不相同，对数学分析能达到的层次也会参差不齐，但有一点，数学分析的一些基本要求一定要掌握，例如数学分析中的一些基本原理、数学分析的学习方法不能有半点马虎。因为无论将来我们从事什么行业，数学分析作为一种基本的处理事物的方法都非常重要。一般的学生只要通过正确的方法，正确的引导都能够达到。以下是我们强调的数学分析学习中的几项重要内容：

一.数学分析中关于概念的问题
　　· 概念的形成需要一个过程。与人生哲理等概念不同，数学分析概念具有叠加性，也就是说新概念是在旧概念叠加的基础上来认识的。概念是数学分析中的一个根本问题，不是靠背，而是在不断地运用中逐渐形成的，须经过比较、实践、摸索、总结、归纳等过程，最后建立一个完整的概念。这个过程甚至可以说是痛苦的，漫长的一个阶 段。
　　· 概念具有长期性。每个概念都有一个失败— 认识 —再失败的过程，伴随着你对这个概念的错误理解，在挫折中不断加深的。
　　· 概念是随着一个人知识的增加而不断深入的。学数学分析对一个人建立完整的思维方式很重要，随着对不同数学分析概念的深入理解，人们处理问题的方式可以越来越趋于严谨。
　　· 要建立一个数学分析的概念网。数学分析是一个个概念的点阵，所有的相关的、从属的概念要在头脑中形成一个网络。学概念要把不能纳入其中的或相关概念认识清楚。总概念中各相关概念是怎样发展的要有一个清晰的脉络。
　　· 从不同的层面上来理解一个数学概念。有比较才有认识，对于一个数学分析概念要擅于从正面、侧面、上面、下面等各个层面上来认识它。对于相似的、类似的概念或概念的内部关系认识不清，不利于理解概念，这说明数学分析末学深入。
二.运算能力：符号化、模式化是数学分析的一大特点，对这点我们应该有深刻的认识。
　　1. 模式化。数学分析的一些定理、原理、公理都有一定的模式，“因为……所以…”即最简单的一种模式，对各种数学模式的理解认识也是对人的逻辑思维能力的训练。
　　符号化。数学分析的符号与表达性符号不同，文学艺术中的表达性符号是需要我们仔细体会其中的含义的；而数学分析中的符号是一种替代性符号，它无需我们想其含义，作用就在于推导，它只是一个替身，帮助我们进行数学思维，所以我们不可以在它的含义上耗费太多的精力。数学就是符号游戏，我们对符号必须精通，才能进行迅速变形。
三.做题技巧。
　　· 从做题方式来分，平时作业可分为硬作业和软作业两种：硬作业是指每天需要认认真真做的作业，这类作业要按正规的步骤一丝不苟地做，旨在训练自己的笔头功夫和书写能力；软作业是指每日需抽出一定的时间来浏览若干习题，这类题主要是用来锻炼自己的思维能力的，具体做法是无需动笔，眼睛看着习题，大脑中迅速掠过这道题的思路、做法，整个过程有点类似空对空。所以在平日做题中两种方式要搭配使用，认真做的题和浏览的题要相济并用。
　　· 做题要有节奏，难易结合。做题要讲质量，不能把精力都放在做偏、难、怪的题型上，若平时将重心放在难题上，基础知识难免会偏失，所以平时适度地做一些中等难度的题即可，关键是要学好基础知识，循序渐进。
　　· 做题要留下体会，留下痕迹，学习分为三个过程：模仿、品味、迁移。模仿是初始阶段经常作用的一种方式，以老师或教科书为参照，按部就班地做。经过一次次地模仿，我们自己对这些记忆中的题型在大脑中进一步地加工、体会，形成自己对这类题的成型的理解。经过前两个阶段的积累，最后达到将原知识体系与现有知识的相互融合，就实现了对新、旧知识的最新体会。
四.数学分析学习方法。常见的数学方法有如下几种：
　　· 化归法。将复杂化问题化为若干个简单的问题的一种思想。　
　　· 注意经常对知识进行归纳、整理、总结，促进学过的知识更加系统化、条理化，解题时就能比较顺利地将内在关系理顺。
　　· 做题时应树立一种次序和关联的思想。数学的题干中各要素一般都是按一定的次序和关系排放的，做题前要审清题意，分先后，分主次，各个击破。