几何画板解析2017年四川自贡中考倒一（函数相关）

---

---

2017年四川自贡中考倒二（函数相关）

---

（2017·自贡）抛物线y=4x²﹣2ax+b与x轴相交于A（x₁，0），B（x₂，0）（0＜x₁＜x₂）两点，与y轴交于点C．

（1）设AB=2，tan∠ABC=4，求该抛物线的解析式；

（2）在（1）中，若点P为直线BC下方抛物线上一动点，当△BCP的面积最大时，求点P的坐标；

（3）是否存在整数a，b使得1＜x₁＜2和1＜x₂＜2同时成立，请证明你的结论．

---

图文解析：

（1）设A(t，0)，则B(t+2，0)，由tan∠ABC=4可得OC=4(t+2)，得C(0，4(t+2))，如下图示：

---

∴可设抛物线的解析式为：

 y=4（x﹣t）（x﹣t-2），

       把C(0，4(t+2))代入，……，得t=1，

      ∴y=4（x﹣1）（x﹣3），

      即y=4x²﹣16x+12.

（2）如下图示，

---

PH=(-4m+12)-(4m²-16m-12)=-4m²+12m.

S_△PBC=S_△PHC+S_△PHB=0.5PH·CD+0.5PH·BE

  　=0.5PH(CD+BE)=0.5PH·OB=1.5PH

    　　 =1.5(-4m²+12m)=-6(m-1.5)²+13.5.

      得到：当m=1.5时，△PBC面积最大， 

此时P（1.5，﹣3）．

(此题多种解法，这里提供的最简解法)

---

（3）先观察动画演示(动画自动演示)

---

       如下图示，

---

假设存在整数a，b使得1＜x₁＜2和1＜x₂＜2同时成立，则必须同时：满足当x分别为1和2时，函数值均大于0时；且抛物线必须与x轴相交于两点，抛物线的对称轴x=a/4必须满足1<><>，即须满足：

---

又∵a是整数，∴a=5 或6或7，

当a=5时，代入不等式组，不等式组无解．

当a=6时，代入不等式组，不等式组无解．

当a=7时，代入不等式组，不等式组无解．

       综上所述，不存在整数a、b，使得1＜x₁＜2和1＜x₂＜2同时成立．

反思：解题的关键是灵活运用二次函数的性质和不等式组解决问题，尤其要理解能使得“1＜x₁＜2和1＜x₂＜2同时成立”所必备的条件．

---

---