(2017·湖北咸宁)定义:数学活动课上,李老师给出如下定义:如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半,那么称三角形为“智慧三角形”. 理解: ⑴如图1,已知A,B是⊙O上两点,请在圆上找出满足条件的点C,使△ABC为“智慧三角形”(画出点C的位置,保留作图痕迹); ⑵如图2,在正方形ABCD中,E是BC的中点,F是CD上一点,且CF=1/4CD,试判断△AEF是否为“智慧三角形”,并说明理由; 运用: ⑶如图3,在平面直角坐标系xOy中,⊙O的半径为1,点Q是直线y=3上的一点,若在⊙O上存在一点P,使得△OPQ为“智慧三角形”,当其面积取得最小值时,直接写出此时点P的坐标. 【图文解析】 (1)如图,连接AO并延长交⊙O于点C1;连接BO并延长交⊙O于点C2. (2)设正方形边长为4a, 则CE=BE=2a,CF=a,DF=3a. 在Rt△ABE中,AE2=20a2, 在Rt△CEF中,EF2=5a2, 在Rt△ADF中,AF2=25a2, ∴AE2+ EF2= AF2,△AEF是直角三角形. ∵直角三角形斜边的中线等于斜边的一半, ∴△AEF是“智慧三角形”. 【反思】 由勾股定理的逆定理判定出△AEF是直角三角形,再由直角三角形的性质可得△AEF是“智慧三角形”. (3)由“智慧三角形”定义可知△OPQ为直角三角形,由题意,直角边OP=1,当斜边OQ最短时,另一直角边最短,即面积取得最小值. [插入动图:湖北咸宁] 如下图,过点P作PM⊥x轴交于点M, △QPO∽△OMP 【反思】 根据“智慧三角形”定义可知三角形为直角三角形,由相似三角形的性质及勾股定理分别求得P点的横、纵坐标. |
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