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（2017·湖北黄石）如图，直线l：y=kx+b（k＜0）与函数y=4/x（x＞0）的图象相交于A、C两点，与x轴相交于T点，过A、C两点作x轴的垂线，垂足分别为B、D，过A、C两点作y轴的垂线，垂足分别为E、F；直线AE与CD相交于点P，连接DE，设A、C两点的坐标分别为（a，4/a）、（c，4/c），其中a＞c＞0． （1）如图①，求证：∠EDP=∠ACP； （2）如图②，若A、D、E、C四点在同一圆上，求k的值； （3）如图③，已知c=1，且点P在直线BF上，试问：在线段AT上是否存在点M，使得OM⊥AM？请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【思考】在第一小题中，要证明角度相等，经常用的是平行线或者三角形全等，但是题目中给的是线段长度的条件，由此可以想到利用三角形相似也可以证明角度相等。在第二小题中，由四点共圆可以想到对角互补，从而得到解题的条件。在第三小题中，首先要进行作图，而由垂直的条件想到与三角形面积相关，继而再求出答案。 【图文解析】 （1） 由P、E、D的坐标可表示出PA=a﹣c，EP=c，PC=4/c-4/a=4（a-c）/ac ,DP=4/a，可证明EP/PA=c/(a-c)=DP/PC且∠EPD=∠APC，由此得到△EPD∽△CPA，利用相似三角形的性质可证得结论；
（2） 由（1）可知DE∥AC， ∴∠DEC+∠ECA=180°， ∵A、D、E、C四点在同圆周上， ∴∠DEC+∠DAC=180°， ∴∠ECA=∠DAC， 可推出△AEC≌△CDA（AAS）， ∴CD=AE，即a=4/c，可得ac=4， 将A点C点坐标代入解析式，可以得到 解得k=（4/a-4/c）/(a-c)=-4/ac=-1 假设在线段AT上存在点M，使OM⊥AM，连接OM、OA，作MN⊥x轴于点N，可以求出C（1，4），F（0，4），P（1，4/a），B（a，0），设直线BF的解析式为y=k′x+4，将B点F点代入得到方程组，解得a=2，得到A（2，2），AP为△DCT的中位线. 再根据2＜12/5＜3，可以判定点M在线段AT上，即在线段AT上存在点M，使得OM⊥AM，M点的坐标为（12/5,6/5）． 【思考】此题综合性较强，不但考察同学们的运算能力，还考察了几何知识的综合运用。几年来参数运算的题目常常出现，中考也加大了对计算能力的考察，希望同学们都要多加练习。 【拓展训练】如图，点M、N在反比例函数y=k/x（k＞0）的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E、F．你发现MN与EF之间有着怎样的位置关系？说明你的理由． |
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