答案：B答案：[0,3][答案]A第页返回导航数学基础知识导航考点典例领航智能提升返航课时规范训练第2课时命题及其关系、充分条件与必要条件判断真假真命题假命题充分必要充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要[例1](1)命题“若a＞b则a－1＞b－1”的否命题是()A．若a＞b，则a－1≤b－1 B．若a＞b，则a－1＜b－1C．若a≤b，则a－1≤b－1 D．若a＜b，则a－1＜b－1解析：根据否命题的定义可知，命题“若a＞b，则a－1＞b－1”的否命题应为“若a≤b，则a－1≤b－1”．答案：C(2)(2017·宁夏银川模拟)命题“若x2＋y2＝0，x，y∈R，则x＝y＝0”的逆否命题是()A．若x≠y≠0，x，y∈R，则x2＋y2＝0B．若x＝y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0C．若x≠0且y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0D．若x≠0或y≠0(x，y∈R)，则x2＋y2≠0解析：将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可．由x＝y＝0知x＝0且y＝0，其否定为x≠0或y≠0.答案：D答案：D1．原命题是“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc”，其逆否命题是________．解析：“当c＞0时”为大前提，其逆否命题为：当c＞0时，若ac≤bc，则a≤b.答案：当c＞0时，若ac≤bc，则a≤b答案：B解析：x2－3x＋2＝0，即(x－2)(x－1)＝0，∴x＝1或x＝2.∴当x＝1或x＝2时，x2－3x＋2＝0，∴“x2－3x＋2＝0”是“x＝1或x＝2”的充要条件，那么“x≠1且x≠2”是“x2－3x＋2≠0”的充要条件．答案：C答案：A[思想方法]
集合的关系与充分、必要条件“再牵手”
集合的运算常与充分、必要条件交汇，判断充分、必要条件时，可利用集合的包含关系．如果是根据充分、必要条件求参数问题，也可以转化为集合的包含关系求解．
1．命题
(1)命题的概念
用语言、符号或式子表达的，可以的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做，判断为假的语句叫做．
考点一四种命题及其关系命题点 1.命题的改写
2.命题的真假判定 (2)四种命题及相互关系
(3)四种命题的真假关系
两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．
2．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若pq，则p是q的条件，q是p的条件 p是q的条件 pq且qp p是q的条件 p/q且qp p是q的条件 pq p是q的条件 pq且qp
3.判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“x2＋2x－3＜0”是命题．(×)
(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．(×)
(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．(√)
(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(√)
(5)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．(√)
(6)q不是p的必要条件时，“pq”成立．(√)
(7)若一个命题是真命题，则其逆否命题是真命题．(√)
(8)若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件．(√)
(9)命题“若x2－1＝0，则x＝1或x＝－1”的否命题为：若x2－1≠0，则x≠1或x≠－1.(×)
(10)“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的必要不充分条件．(√)
(3)(2017·山东菏泽模拟)有以下命题：
“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
“面积相等的两个三角形全等”的否命题；
“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；
“若A∩B＝B，则AB”的逆否命题．
其中正确的命题为()
A．B．
C． D．
解析：“若x，y互为倒数，则xy＝1”是真命题；“面积不相等的三角形一定不全等”是真命题；若m≤1，Δ＝4－4m≥0，所以原命题为真命题，故其逆否命题也是真命题；由A∩B＝B，得BA，所以原命题为假命题，故其逆否命题也是假命题．故选D.
[方法引航]?1?在根据给出的命题构造其逆命题、否命题、逆否命题时，首先要把原命题的条件和结论弄清楚，这样逆命题就是把原命题的条件和结论交换了的命题，否命题就是把原命题中否定了的条件作条件、否定了的结论作结论的命题，逆否命题就是把原命题中否定了的结论作条件、否定了的条件作结论的命题.?2?当一个命题有大前提而需写出其他三种命题时，必须保留大前提不变.判定命题为真，必须进行推理证明；若说明为假，只需举出一个反例.互为逆否命题的两个命题是等价命题.2．下面是关于复数z＝的四个命题：
p1：|z|＝2，
p2：z2＝2i，
p3：z的共轭复数为1＋i，
p4：z的虚部为－1.
其中的真命题为()
A．p2，p3B．p1，p2
C．p2，p4D．p3，p4
解析：选C.z＝＝＝－1－i，
所以|z|＝，p1为假命题；z2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i，p2为真命题，＝－1＋i，p3为假命题；p4为真命题．故选C.考点二充分条件与必要条件的判断
命题点 1.定义法
2.等价命题法
3.集合法 [例2](1)“x＞1”是“log(x＋2)＜0”的()
A．充要条件B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件
解析：x＞1log(x＋2)＜0，log(x＋2)＜0x＋2＞1x＞－1，“x＞1”是“log(x＋2)＜0”的充分而不必要条件．
(2)(2017·天津调研)“x≠1且x≠2”是“x2－3x＋2≠0”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
(3)设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q成立的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
解析：P集合为(1,2)，q集合为(0，＋∞)，pq，故选A.
[方法引航]?1?定义法：根据pq，qp进行判断.?2?集合法：根据p，q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断.?3?等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题，常用的是逆否等价法.①綈q是綈p的充分不必要条件p是q的充分不必要条件；綈q是綈p的必要不充分条件p是q的必要不充分条件；綈q是綈p的充要条件p是q的充要条件.1．设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的()
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
解析：选A.y＝log2x(x＞0)为增函数，当a＞b＞1时，log2a＞log2b＞0；反之，若log2a＞log2b＞0，结合对数函数的图象易知a＞b＞1成立，故“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的充要条件．
2．若p是q的必要条件，s是q的充分条件，那么下列推理一定正确的是()
A．綈p綈sB．ps
C．綈p綈sD．綈s綈p
解析：选C.由已知得：qp，sq，则sp，由于原命题与逆否命题等价，所以sp等价于綈p綈s，故选C.
3．“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
解析：选B.由ln(x＋1)＜0得0＜x＋1＜1，－1＜x＜0即(－1,0)(－∞，0)，
“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的必要不充分条件．
考点三根据充分、必要条件求参数命题点 求条件或结论中的参数 [例3](1)(2017·江西南昌模拟)已知条件p：|x－4|≤6；条件q：(x－1)2－m2≤0(m＞0)，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是()
A．[21，＋∞)B．[9，＋∞)
C．[19，＋∞)D．(0，＋∞)
解析：条件p：－2≤x≤10，条件q：1－m≤x≤m＋1，又因为p是q的充分不必要条件，所以有
解得m≥9.
(2)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若xP是xS的必要条件，则m的取值范围为________．
解析：由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，
P＝{x|－2≤x≤10}，
由xP是xS的必要条件，知SP.
则0≤m≤3.
所以当0≤m≤3时，xP是xS的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．
[方法引航]由充分条件、必要条件求参数.解决此类问题常将充分、必要条件问题转化为集合间的子集关系求解.但是，在求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的验证，不等式中的等号是否能够取得，决定着端点的取值.1．本例(2)条件不变，问是否存在实数m，使xP是xS的充要条件．
解：若xP是xS的充要条件，则P＝S，
∴
即不存在实数m，使xP是xS的充要条件．
2．本例(2)条件不变，若綈P是綈S的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
解：由例(2)知P＝{x|－2≤x≤10}，
綈P是綈S的必要不充分条件，
P?S且SP.
∴PS
∴∴
∴m≥9.
[典例](2017·河南省实验中学模拟)设条件p：|x－2|＜3，条件q：0＜x＜a，其中a为正常数．若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是()
A．(0,5]B．(0,5)
C．[5，＋∞)D．(5，＋∞)
[解析]p：|x－2|<3，－3
设p＝(－1,5)，q＝(0，a)，p是q的必要不充分条件，
(0，a)(－1,5)，0
[高考真题体验]
1．(2015·高考山东卷)设mR，命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是()
A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0
B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0
C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0
D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0
解析：选D.命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”，故选D.
2．(2016·高考天津卷)设x＞0，yR，则“x＞y”是“x＞|y|”的()
A．充要条件B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件
解析：选C.令x＝1，y＝－2，满足x＞y，但不满足x＞|y|；又x＞|y|≥y，x＞y成立，故“x＞y”是“x＞|y|”的必要而不充分条件．3．(2016·高考四川卷)设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x＋y＞2，则p是q的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：选A.当x＞1且y＞1时，x＋y＞2，即pq所以充分性成立；
令x＝－1，y＝4，则x＋y＞2，但x＜1，即qp所以必要性不成立，所以p是q的充分不必要条件．故选A.
4．(2016·高考天津卷)设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n＜0”的()
A．充要条件B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件
解析：选C.a2n－1＋a2n＝a2n－1(1＋q)＝a1q2n－2(1＋q)＜0q＜－1q＜0，故必要性成立；而q＜0q＜－1，故充分性不成立．故选C.
5．(2016·高考四川卷)设p：实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2≤2，q：实数x，y满足则p是q的()
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：选A.如图，命题p表示圆心为(1,1)，半径为的圆及其内部，命题q表示的是图中的阴影区域，所以pq，qp.故选A.
6．(2016·高考山东卷)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：选A.若直线a，b相交，设交点为P，则Pa，Pb.又aα，bβ，所以Pα，Pβ，故α，β相交．反之，若α，β相交，则a，b可能相交，也可能异面或平行．故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．
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