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原创 2017-03-29 高邮赞化 段广猛 广猛文摘 广猛文摘
不定期分享一些本人原创文章、说题短文或者专家系列讲座，主要对象针对初中学生，尤其是初三学生，对于解题研究展开系列探究！ 模型介绍  “将军饮马”模型 1.异侧型： 问题1：如图1-1，在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB最小.  解决方案：如图1-2，连接AB，与定直线l的交点Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，PA+PB最小，且最小值等于AB. 原理及分析：本质原理是“两点之间，线段最短”；也可以看成“三角形任意两边之和大于第三边”；还可以用“折大于直”思想看待. 在这个最基本也是最简单的问题中，同学们还需认真分析这个问题中哪些是“定”的？哪些是“动”的？“动”的东西在什么上动？只有认真思考了这三个问题，才能真正把握问题本质，尤其是在后续的逐渐变式拓展中，更需搞懂这些内涵，把握“动静”，才能正确运用. 点A、点B是两个定点，直线l是一条定直线，这是问题的“不变的”背景；只有一个动点P在定直线l上运动，目标是动点P到两个定点的距离之和最小值，即这是一个“两定一动型”最值问题，利用“两点之间，线段最短”，直接连接两定点即可解决问题. 2.同侧型：（转化为“异侧型”解决） 问题2：如图2-1，在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB最小.  解决方案：如图2-2，作出定点B关于定直线l的对称点C，点C也是一个定点，从而可以将“同侧型”最值问题顺利转化为上面的“异侧型”最值问题； 连接AC，与定直线l的交点Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，PA+PB最小，且最小值等于AC. 原理及分析：本质原理依然是“两点之间，线段最短”；也可以看成“三角形任意两边之和大于第三边”；还可以用“折大于直”思想看待. 这个模型就是同学们耳熟能详的“将军饮马”模型，通过上面的解法可以看出，解决这个模型的关键是：“对称转化”，即通过作其中一个定点关于定直线的对称定点，转化上面已解决的简单模型. 此外，同学们仍然需认真分析“将军饮马”模型中哪些是“定”的？哪些是“动”的？“动”的东西在什么上动？只有认真思考了这三个问题，才能真正把握问题本质；只有把握“动静”，才能搞懂“内涵”，最终才能运用自如，不至于“闹笑话”，这一点会在后续“例题实战”中体现出来. 在“将军饮马”模型中，点A、点B是两个定点，直线l是一条定直线，这是问题的“不变的”背景；只有一个动点P在定直线l上运动，目标是动点P到两个定点的距离之和最小值，即这仍是一个“两定一动型”最值问题. 特别提醒：“将军饮马”模型是一个“两定一动型”最值问题，“两定一动型”最值问题，“两定一动型”最值问题！重要的事情说三遍！而非“两动一定型”最值问题，“两动一定型”最值问题，“两动一定型”最值问题，或其他类型！
平移后“将军饮马”模型 1.异侧型： 问题3：如图3-1，已知A、B是两个定点，在定直线l上找两个动点M与N，且MN等于定长d（动点M位于动点N左侧），使AM+MN+NB最小.  解决方案：先分析目标问题，要求的是三条线段AM+MN+NB最小值，而且这三条线段恰好构成一条折线，第一想法是运用“折大于直”思想，连接AB即为最小值；但再去画图分析，就会发现不对劲，AB与l只有一个交点，这个交点是M呢？还是N呢？看来都不是！ 直线l上需要找两个动点M与N，但这两个动点是相互牵制、相互约束、彼此影响地，即始终保持MN等于定长d，且动点M位于动点N左侧；当动点M确定下来，动点N也会随之向右平移d个单位确定下来； 很明显这已经不是我们前面介绍的“将军饮马”模型了，而变成了一个“两定两动型”最值问题，那这个问题如何解决呢？ 解决的关键还是在“平移”上下文章：要求三条动线段AM+MN+NB最小值，其中MN的长度为d确定，问题自然可以转化为两条动线段AM+NB最小值，动线段的数量上减少了1， 这是解决这个问题的第一步“转化”； 虽然转化后，动线段的数量减少了，但动点的个数还是没有变化，依然是一个“两定两动型”最值问题，即A、B为定点，M、N为动点； 可不可以将动点个数减少，将“两定两动型”最值问题转化为“两定一动型”最值问题呢？如果转化成功，那就有可能变为前面的“将军饮马”模型啊！这就是此问题的关键点也是难点！ 如图3-2，将定点A沿着定直线l的方向向右平移d个距离得到点C，点C也是一个定点，构造出平行四边形ACNM，从而有AM+NB=CN+NB，要求AM+NB的最小值，只需求CN+NB的最小值，顺利将本问题转化为了前面的问题1； 如图3-3，连接CB，与定直线l的交点N即为所要寻找的点N，而点M只需将点N向左平移d个单位即可找到，此时AM+MN+NB的最小值等于d+CB. 原理及分析：本模型的解决方案最关键的是平移思想的妙用，抓住整个运动过程中的不变量MN=d，即动线段MN的长度始终保持不变，“狠抓这个变化中不变的量”，将一个定点沿着定直线的方向平移d个距离，从而将问题顺利转化为前文中“异侧型将军饮马模型”，所以此模型不妨将之称为异侧型平移后“将军饮马”模型！ 在这个异侧型平移后“将军饮马”模型中，同学们需认真分析哪些是“定”的？哪些是“动”的？“动”的东西在什么上动？只有认真思考了这三个问题，才能真正把握问题本质，尤其是在后续的逐渐变式拓展中，更需搞懂这些内涵，把握“动静”，才能正确运用：点A、点B是两个定点，直线l是一条定直线，还有动线段MN的长度为d不变，这是问题的“不变的”背景；有两个动点M、N在定直线l上运动，但始终保持MN=d不变，即M、N之间相互制约；目标是一条折线A-M-N-B的最小值，这是一个“两定两动型”最值问题.解决此模型问题的关键是先抓住“MN=d不变”，将三条动线段最值问题转化为两条动线段最值问题；然后还是抓住“MN=d不变”，将其中一个定点按照MN的方向平移d个单位，将“两定两动型”平移后“将军饮马”模型问题转化为“两定一动型”“将军饮马”模型问题！ 看，问题的关键还是“抓不变量”（还有“平移思想”）！这就是我想表达的“思想决定高度”，即站在一定高度的数学思想方法上，用一个高视角重新审视问题，那么很多问题就不再是问题了！ 2.同侧型： 问题4：如图4-1，已知A、B是两个定点，在定直线l上找两个动点M与N，且MN等于定长d（动点M位于动点N左侧），使AM+MN+NB最小.  解决方案：先分析目标问题，要求的是三条线段AM+MN+NB最小值，而且这三条线段恰好构成一条折线，第一想法是运用“折大于直”思想，连接AB即为最小值；但再去画图分析，就会发现不对劲，AB与l只有一个交点，这个交点是M呢？还是N呢？看来都不是！ 其实这个问题可以同刚刚的问题3一样去分析转化解决，还是不赘述了，同学们结合下面的图形自行分析解决.  在图4-4中，点M、N即为所要找的点，d+CD的值即为所求最小值. 原理及分析：对于这个问题的解决，上面的解法中主要是在图4-2中，把定点B关于定直线l的对称定点C作出来，然后问题就自然转化成了问题3，即“同侧型”问题通过对称变换转化为“异侧型”模型解决，这就是数学里极其重要的化归思想，将目前正在解决的问题，通过适当的变换或者变形，巧妙转化为刚刚已经解决的问题，或者自己以前解决过的问题等，化未知为已知. 学习本身就是一种转化”，化“未知的领域”为“已知的领域”，化“今天的新知”为“昨天的旧知”，化难为易，化繁为简，化抽象为具体等等！总而言之，学生解题需要时刻怀揣转化意识，读已知条件，想想能得到什么，读结论所求，想想怎么得到它，转化无处不在，心有转化，则万物皆可转化，心无转化，则思维必将停滞不前. 化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式。所谓的化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法。一般总是将复杂问题通过变换转化为简单问题；将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题；将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。总之，化归在数学解题中几乎无处不在，化归的基本功能是：生疏化成熟悉，复杂化成简单，抽象化成直观，含糊化成明朗。说到底，化归的实质就是以运动变化发展的观点，以及事物之间相互联系，相互制约的观点看待问题，善于对所要解决的问题进行变换转化，使问题得以解决，化归的实质是不断变更问题！ 上面对于问题4的解决，主要是两个步骤，先是“对称转化”，再是“平移转化”！其实，问题4也可以先进行“平移转化”，即先将点A平移至点D处，从而将问题先转化成DN+BN最小，而转化后的问题就是一个同侧型“将军饮马”模型；再借助“对称转化”解决即可！ 因而这个模型不妨称之为同侧型平移后“将军饮马”模型！ 3.变式1： 问题5：如图5-1，已知A、B是两个定点，两条平行直线l与m之间的距离为定值d，在定直线l上找一动点M，在定直线m上找一动点N，且MN始终垂直于定直线l（或m），使AM+MN+NB最小.  解决方案：这个问题解决的关键，还是平移思想的妙用，狠狠抓住整个运动过程中的不变量MN=d，即动线段MN的长度始终保持不变，而且还是需要“抓两次”； 一抓“不变量MN=d”：要求AM+MN+NB的最小值，只需求AM+NB的最小值，将三条动线段最值问题转化为两条动线段最值问题，减少动线段的数量，尽管动点的数量依然没有减少，还是两个动点； 二抓“不变量MN=d”：如图5-2，将定点A沿着MN的方向向下平移d个距离得到点C，点C也是一个定点，构造出平行四边形ACNM，从而有AM+NB=CN+NB，要求AM+NB的最小值，只需求CN+NB的最小值，顺利将本问题转化为了最初始的问题1，即把“两定两动型”最值问题转化为“两定一动型”“将军饮马”问题！ 如图5-3，连接CB，与定直线m的交点N即为所要寻找的点N，过点N作直线l的垂线，垂足即为所要找的点M，此时AM+MN+NB最小，且等于d+CB. 原理及分析：对于这个问题的解决，依然主要是抓不变量MN的方向及长度，将其中一定点沿着这个不变的方向平移这个不变的长度，顺利将问题转化为“将军饮马”模型！ 有老师称这个模型为“过街天桥”模型，我还是喜欢称之为平移后“将军饮马”模型，这个名称将其解决方法体现地更明确些！总而言之，名称都不是回事，关键还是理解，所谓名称也是“仁者见仁智者见智”，便于记忆、理解罢了！
4.变式2： 其实只要MN的方向、长度确定，相应模型都可以类似解决，方向未必水平或者竖直，也可以是“斜方向”. 问题6：如图6-1，已知A、B是两个定点，在定直线l上找一动点M，在平面内找一动点N，MN的方向确定，即MN与直线l右侧部分相交所得的锐角为α ，且MN等于定长d，使AN+NM+MB最小.  解决方案：这个问题的解决方法，同变式1； 一抓“不变量MN=d”：要求AN+NM+MB的最小值，只需求AN+MB的最小值，将三条动线段最值问题转化为两条动线段最值问题，减少动线段的数量，尽管动点的数量依然没有减少，还是两个动点； 二抓“不变量MN=d”：如图6-2，将定点A沿着NM的方向，向左下方平移d个距离得到点C，点C也是一个定点，构造出平行四边形ACMN，从而有AN+MB=CM+MB，要求AN+MB的最小值，只需求CM+MB的最小值，顺利将本问题转化为了最初始的问题1，即把“两定两动型”最值问题转化为“两定一动型”“将军饮马”问题！ 如图6-3，连接CB，与定直线l的交点M即为所要寻找的点M，再将点M作相应平移即可找到点N，此时AN+NM+MB最小，且等于d+CB. 变式2依然可称为平移后“将军饮马”模型，趣味十足！  今天我们重点讲解了平移后“将军饮马”模型的介绍及解决方案，敬请期待明天的实战分析！搞懂了模型，做题就如“顺水推舟”，你一定会“怡然自得”、“谈笑风生”！模型研究，非常有趣，值得同学们认真思考模型的演变过程及解决方案、思维方法的不变性！  （本文完！） 敬请各位朋友关注本人公众号，若能帮忙宣传，则不胜感激，旨在服务于更多的学子还有更多喜欢钻研的同仁们！ 点赞是一种美德，打赏是一种认可
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