2014年江苏高考数学试题
数学Ⅰ试题
参考公式:
圆柱的侧面积公式:S圆柱=cl,其中c是圆柱底面的周长，l为母线长.
圆柱的体积公式:V圆柱=Sh,其中S是圆柱的底面积，h为高.1．已知集合，，则．
【答案】
2．已知复数(i为虚数单位)，则z的实部为．
【答案】21
3．右图是一个算法流程图，则输出的n的值是．
【答案】5
4．从这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的
概率是．
【答案】
5．已知函数与，它们的图象有一个横坐标为
的交点，则的值是．
【答案】
6．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有株
树木的底部周长小于100cm．
【答案】24
7．在各项均为正数的等比数列中，若，，
则的值是．
【答案】4
8．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为，体积分别为，若它们的侧面积相等，且，则的值是．
【答案】
9．在平面直角坐标系xOy中，直线被圆截得的弦长为．
【答案】
10．已知函数，若对任意，都有成立，则实数m的取值范围是．
【答案】
11．在平面直角坐标系xOy中，若曲线(为常数)过点，且该曲线在点P处的切线与直线平行，则的值是．
【答案】
12．如图，在平行四边形ABCD中，已知，，，则的
值是．
【答案】22
13．已知是定义在R上且周期为3的函数，当时，．若函数在区间上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是．
【答案】
14．若的内角满足，则的最小值是．
【答案】
二、解答题：本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(本小题满分14分)，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】本小题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差及二倍角的公式，考查运算求解能
力.满分14分.
（1）∵，
∴
；
（2）∵
∴．
16．(本小题满分14分)中，分别为棱的中点．已知．
（1）求证：直线PA∥平面DEF；
（2）平面BDE⊥平面ABC．
【答案】本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，
考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.
（1）∵为中点∴DE∥PA
∵平面DEF，DE平面DEF∴PA∥平面DEF
（2）∵为中点∴
∵为中点∴
∴∴，∴DE⊥EF
∵，∴
∵∴DE⊥平面ABC
∵DE平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．
17．(本小题满分14分)分别是椭圆的左、右焦点，顶点B的坐标为，连结并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连结．
（1）若点C的坐标为，且，求椭圆的方程；
（2）若，求椭圆离心率e的值．
【答案】本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运
算求解能力.满分14分.
（1）∵，∴
∵，∴，∴
∴椭圆方程为
（2）设焦点
∵关于x轴对称，∴
∵三点共线，∴，即①
∵，∴，即②
①②联立方程组，解得∴
∵C在椭圆上，∴，
化简得，∴,故离心率为
18．(本小题满分1分)．
（1）求新桥BC的长；
（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？
解：本小题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形等基础知识，考查建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力.满分16分.
解法一：
如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy.
由条件知A(0,60)，C(170,0)，
直线BC的斜率kBC=－tan∠BCO=－.
又因为AB⊥BC，所以直线AB的斜率kAB=.
设点B的坐标为(a,b)，则kBC=
kAB=
解得a=80，b=120.所以BC=.
因此新桥BC的长是150m.
(2)设保护区的边界圆M的半径为rm,OM=dm,(0≤d≤60).
由条件知，直线BC的方程为，即
由于圆M与直线BC相切，故点M(0，d)到直线BC的距离是r，
即.
因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m,
所以即解得
故当d=10时,最大，即圆面积最大.
所以当OM=10m时，圆形保护区的面积最大.
解法二:(1)如图，延长OA,CB交于点F.
因为tan∠BCO=.所以sin∠FCO=，cos∠FCO=.
因为OA=60,OC=170，所以OF=OCtan∠FCO=.
CF=,从而.
因为OA⊥OC，所以cos∠AFB=sin∠FCO==，
又因为AB⊥BC，所以BF=AFcos∠AFB==，从而BC=CF－BF=150.
因此新桥BC的长是150m.
(2)设保护区的边界圆M与BC的切点为D，连接MD，则MD⊥BC，且MD是圆M的半
径，并设MD=rm，OM=dm(0≤d≤60).
因为OA⊥OC，所以sin∠CFO=cos∠FCO，
故由(1)知，sin∠CFO=所以.
因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m,
所以即解得
故当d=10时,最大，即圆面积最大.
所以当OM=10m时，圆形保护区的面积最大.
19．(本小题满分1分)其中e是自然对数的底数．
（1）证明：是上的偶函数；
（2）若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围；
（3）已知正数a满足：存在，使得成立．试比较与的大小，并证明你的结论．
【答案】本小题主要考查初等函数的基本性质、导数的应用等基础知识，考查综合运用数学思想
方法分析与解决问题的能力.满分16分.
（1），，∴是上的偶函数
（2）由题意，，即
∵，∴，即对恒成立
令，则对任意恒成立
∵，当且仅当时等号成立
∴
（3），当时，∴在上单调增
令，
∵，∴，即在上单调减
∵存在，使得，∴，即
∵
设，则
当时，，单调增；
当时，，单调减
因此至多有两个零点，而
∴当时，，；
当时，，；
当时，，．
20．(本小题满分1分)的前n项和为．若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得，则称是“H数列”．
（1）若数列的前n项和，证明：是“H数列”；
（2）设是等差数列，其首项，公差．若是“H数列”，求d的值；
（3）证明：对任意的等差数列，总存在两个“H数列”和，使得成立．
【答案】本小题主要考查数列的概念、等差数列等基础知识，考查探究能力及推理论证能力,满分16分.
（1）当时，
当时，
∴时，，当时，
∴是“H数列”
（2）
对，使，即
取得，
∵，∴，又，∴，∴
（3）设的公差为d
令，对，
，对，
则，且为等差数列
的前n项和，令，则
当时；
当时；
当时，由于n与奇偶性不同，即非负偶数，
因此对，都可找到，使成立，即为“H数列”．
的前ｎ项和，令，则
∵对，是非负偶数，∴
即对，都可找到，使得成立，即为“H数列”
因此命题得证.
数学Ⅱ(附加题)
21.【选做题本题包括A,B,C,D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
，，向量，为实数，若，求的值．
【答案】本小题主要考查矩阵的乘法等基础知识，考查运算求解能力.满分10分.
，，由得解得
C.【选修4-4:坐标系与参数方程】(本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与抛物线交于两点，求线段AB的长．
【答案】本小题主要考查直线的参数方程、抛物线的标准方程等基础知识，考查运算求解能力.满分10分.
直线l：代入抛物线方程并整理得
∴交点，，故
D.【选修4-5:不等式选讲】(本小题满分10分)
已知x>0,y>0,证明：(1+x+y2)(1+x2+y)≥9xy.
本小题主要考查算术一几何平均不等式.考查推理论证能力.满分10分.
证明：因为x>0,y>0,所以1+x+y2≥，1+x2+y≥，
所以(1+x+y2)(1+x2+y)≥=9xy.
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
，随机变量X表示中的最大数，求X的概率分布和数学期望．
22.【必做题】本小题主要考查排列与组合、离散型随机变量的均值等基础知识，考查运算求解能力.满分10分.
（1）一次取2个球共有种可能情况，2个球颜色相同共有种可能情况
∴取出的2个球颜色相同的概率
（2）X的所有可能取值为，则
∴X的概率分布列为
X 2 3 4 P 故X的数学期望
23．(本小题满分10分)
已知函数，设为的导数，．
（1）求的值；
（2）证明：对任意的，等式成立．
23.【必做题】本题主要考查简单的复合函数的导数，考查探究能力及运用数学归纳法的推理论证能力.满分10分.
(1)解：由已知，得
于是
所以
故
(2)证明：由已知，得等式两边分别对x求导，得，
即，类似可得
，
，
.
下面用数学归纳法证明等式对所有的都成立.
(i)当n=1时，由上可知等式成立.
(ii)假设当n=k时等式成立,即.
因为
，
所以.
所以当n=k+1时,等式也成立.
综合(i),(ii)可知等式对所有的都成立.
令，可得().
所以().
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