专题4：图形的变换
一、选择题
1.(2017北京第5题)下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）
A．B．
C.D．
【答案】A.
考点：轴对称图形和中心对称图形的识别
2.(2017天津第3题)在一些美术字中，有的汉子是轴对称图形.下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）
【答案】C.
【解析】
试题分析：根据轴对称图形的定义可知，只有选项C是轴对称图形，故选C.
3.(2017福建第5题)下列关于图形对称性的命题，正确的是（）
A．圆既是轴对称性图形，又是中心对称图形
B．正三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形
C．线段是轴对称图形，但不是中心对称图形
D．菱形是中心对称图形，但不是轴对称图形
【答案】A
【解析】A，正确；B，正三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故错误；线段既是轴对称图形又是中心对称图形，故错误；D，菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故错误；故选A.
4.(2017福建第10题)如图，网格纸上正方形小格的边长为1．图中线段和点绕着同一个点做相同的旋转，分别得到线段和点，则点所在的单位正方形区域是（）
A．1区B．2区C．3区D．4区
【答案】D
【解析】如图，根据题意可得旋转中心O，旋转角是90°，旋转方向为逆时针，因此可知点P的对应点落在了4区，故选D.
5.（2017广东广州第2题）如图2，将正方形中的阴影三角形绕点顺时针旋转
【答案】A
【解析】
试题分析：顺时针90°后，AD转到AB边上，所以，选A。
考点：旋转的特征分别是的边上的点，，将四边形沿翻折，得到，交于点，则的周长为
A．6B．12C.18D．24
【答案】C
考点：平行线的性质
【答案】C
【解析】
试题分析：利用：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，可知
A既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不正确；
B是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不正确；
C既是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确；
D不是轴对称图形，但是中心对称图形，故不正确.
故选折叠，使顶点与边上的一点重合（不与端点重合），折痕交于点，交于点，边折叠后与边交于点，设正方形的周长为，的周长为，则的值为（）
A．B．C．D．随点位置的变化而变化
【答案】B
【解析】
试题分析：设正方形ABCD的边长为2a，正方形的周长为m=8a，
设CM=x，DE=y，则DM=2a-x，EM=2a-y，
∵∠EMG=90°，
∴∠DME+∠CMG=90°．
∵∠DME+∠DEM=90°，
∴∠DEM=∠CMG，
又∵∠D=∠C=90°△DEM∽△CMG，
∴,即
∴CG=
△CMG的周长为CM+CG+MG=
在Rt△DEM中，DM2+DE2=EM2
即（2a-x）2+y2=（2a-y）2
整理得4ax-x2=4ay
∴CM+MG+CG==n．
所以
【答案】A
考点：轴对称图形和中心对称图形的定义
10.（2017山东青岛第5题）如图，若将△ABC绕点O逆时针旋转90°则顶点B的对应点B1的坐标为（）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
试题分析：将△ABC绕点O逆时针旋转90°后，图形如下图
所以B1的坐标为
故选：B
11.(2017四川泸州第5题)已知点与点关于原点对称，则的值为（）
A．B．C．D．
【答案】C.
【解析】
试题分析：平面直角坐标系中任意一点P(x,y)，关于原点的对称点是(﹣x,﹣y),由此可得a=4，b=-1，所以a+b=3，故选C.
12.(2017山东日照第2题)剪纸是我国传统的民间艺术．下列剪纸作品既不是中心对称图形，也不是轴对称图形的是（）
A． B． C． D．
【答案】A．
考点：中心对称图形；轴对称图形．
13.(2017辽宁沈阳第6题)在平面直角坐标系中，点，点关于轴对称，点的坐标是，则点的坐标是（）
A. B. C. D.
【答案】A.
【解析】
试题分析：关于y轴对称点的坐标的特点是横坐标互为相反数，纵坐标不变，由此可得点B的坐标为（-2，-8），故选A.
考点：关于y轴对称点的坐标的特点.
二、填空题
1.(2017北京第15题)如图，在平面直角坐标系中，可以看作是经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一中由得到的过程：
【答案】将△COD绕点C顺时针旋转90°，再向左平移2个单位长度得到△AOB（答案不唯一）.
【解析】
试题分析：观察图形即可，将△COD绕点C顺时针旋转90°，再向左平移2个单位长度得到△AOB，注意是顺时针还是逆时针旋转.
考点：几何变换的类型
2.(2017河南第15题)如图，在中，，，，点，分别是边，上的动点，沿所在的直线折叠，使点的对应点始终落在边上.若为直角三角形，则的长为．
【答案】1或.
考点：折叠（翻折变换）.
3.（2017湖南长沙第16题）如图，三个顶点的坐标分别为，以原点为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到，已知点的坐标是，则点的坐标是．
【答案】（1，2）
【解析】
试题分析：根据位似变换的性质及位似比，可知A′的坐标为（1，2）.
故答案为2）
考点：位似变换
4.(2017山东滨州第15题)在平面直角坐标系中，点C、D的坐标分别为C(2，3)、D(1，0)．现以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点D的对应点B在x轴上且OB＝2，则点C的对应点A的坐标为_______．
【答案】（4，6）或（-4，-6）.
【解析】已知点D（1，0），点D的对应点B在x轴上，且OB=2，所以位似比为2，即可得点A的坐标为（2×2，3×2）或[2×（-2），3×（-2）],即点A的坐标为（4，6）或（-4，-6）.
5.(2017山东滨州第16题)如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在AB边上的E处，EQ与BC相交于点F．若AD＝8，AB＝6，AE＝4，则△EBF周长的大小为___________．
【答案】8.
6.(2017辽宁沈阳第16题)如图，在矩形中，,将矩形绕点按顺时针方向旋转得到矩形，点落在矩形的边上，连接，则的长是.
【答案】.
【解析】
试题分析：如图，过点C作MNBG，分别交BG、EF于点M、N，根据旋转的旋转可得AB=BG=EF=CD=5，AD=GF=3，在Rt△BCG中，根据勾股定理求得CG=4，再由,即可求得CM=,在Rt△BCM中，根据勾股定理求得BM=，根据已知条件和辅助线作法易知四边形BENMW为矩形，根据矩形的旋转可得BE=MN=3,BM=EN=,所以CN=MN-CM=3-=,在Rt△ECN中，根据勾股定理求得EC=.
考点：四边形与旋转的综合题.
7.（2017江苏苏州第18题）如图，在矩形中，将绕点按逆时针方向旋转一定角度后，的对应边交边于点．连接、，若，，，则（结果保留根号）．
【答案】.
【解析】
试题分析：连接AG,设DG=x,则
在中，，则
考点：旋转的性质，勾股定理.
8.(2017浙江舟山第7题)如图，在平面直角坐标系中，已知点.若平移点到点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是（）
A．向左平移1个单位，在向下平移1个单位
B．向左平移1个单位，在向上平移1个单位
C.向右平移个单位，在向上平移1个单位
D．向右平移1个单位，在向上平移1个单位
【答案】D.
考点：勾股定理，菱形的判定，平移的性质，坐标与图形变化-平移
9.(2017浙江舟山第9题)一张矩形纸片，已知，小明按下图步骤折叠纸片，则线段长为（）
A．B．C.1D．2
【答案】A.
【解析】
试题分析：由折叠可得，A''D=AD=A''E=2，则A''C''=A''C=1，则GC''是△DEA''的中位线，由勾股定理求得DE=，则GG=DE=，故选A.
考点：三角形中位线定理，翻折变换（折叠问题）.
10.(2017浙江舟山第16题)一副含和的三角板和叠合在一起，边与重合，（如图1），点为边的中点，边与相交于点，现将三角板绕点按顺时针方向旋转（如图2），在从到的变化过程中，观察点的位置变化，点相应移动的路径长为(结果保留根号)．
【答案】12-18.
【解析】
试题分析：如图2和图3，在∠CGF从0°到60°的变化过程中，点H先向AB方向移，在往BA方向移，直到H与F重合（下面证明此时∠CGF=60度），此时BH的值最大，如图3，当F与H重合时，连接CF，因为BG=CG=GF，所以∠BFC=90度，∵∠B=30度，∴∠BFC=60度，由CG=GF可得∠CGF=60度.∵BC=12cm，所以BF=BC=6；如图2，当GH⊥DF时，GH有最小值，则BH有最小值，且GF//AB，连接DG，交AB于点K，则DG⊥AB，∵DG=FG，∴∠DGH=45度，则KG=KH=GH=×（×6）=3，BK=KG=3，则BH=BK+KH=3+3则点Ｈ运动的总路程为6-（3+3）+[12（-1）-（3+3）]=12-18（cm）.
考点：旋转的性质.
三、解答题
1.(2017天津第24题)将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点.是边上的一点（点不与点重合），沿着折叠该纸片，得点的对应点.
（1）如图①，当点在第一象限，且满足时，求点的坐标；
（2）如图②，当为中点时，求的长；
（3）当时，求点的坐标（直接写出结果即可）.
【答案】（1）点A’的坐标为（，1）；（2）1；（3）或.
试题解析：（1）因点，点，
∴OA=,OB=1.
根据题意，由折叠的性质可得△A’OP≌△AOP.
∴OA’=OA=,
由，得∠A’BO=90°.
在Rt△A’OB中，,
∴点A’的坐标为（，1）.
(2)在Rt△AOB中，OA=,OB=1,
∵当为中点，
AP=BP=1,OP=AB=1.
∴OP=OB=BP,
∴△BOP是等边三角形
BOP=∠BPO=60°，
OPA=180°-∠BPO=120°.
由（1）知，△A’OP≌△AOP，
∴∠OPA’=∠OPA=120°，P’A=PA=1，
又OB=PA’=1，
∴四边形OPA’B是平行四边形.
∴A’B=OP=1.
(3)或.
2.(2017河南第22题)如图1，在中，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点.
（1）观察猜想
图1中，线段与的数量关系是，位置关系是；
（2）探究证明
把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸
把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值.
【答案】（1）PM=PN，；（2）等腰直角三角形，理由详见解析；（3）.
【解析】
试题分析：(1)已知点，，分别为，，的中点，根据三角形的中位线定理可得,,,根据平行线的性质可得∠DPM=∠DCE，∠NPD=∠ADC，在中，，，，可得BD=EC，∠DCE+∠ADC=90°，即可得PM=PN，∠DPM+∠NPD=90°，即；（2）是等腰直角三角形，根据旋转的性质易证△BAD≌△CAE，即可得BD=CE，∠ABD=∠ACE，根据三角形的中位线定理及平行线的性质（方法可类比（1）的方法）可得PM=PN,∠MPD=∠ECD，∠PNC=∠DBC，所以∠MPD=∠ECD=∠ACD+∠ACE=∠ACD+∠ABD，∠DPN=∠PNC+∠PCN=∠DBC+∠PCN，即可得∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠ACD+∠ABD+∠DBC+∠PCN=∠ABC+∠ACB=90°，即△PMN为等腰直角三角形；（3）把绕点旋转到如图的位置，此时PN=(AD+AB)=7,PM=(AE+AC)=7,且PN、PM的值最长，由（2）可知PM=PN，，所以面积的最大值为.
试题解析：
（1）PM=PN，；
（2）等腰直角三角形，理由如下：
由旋转可得∠BAD=∠CAE，
又AB=AC,AD=AE
∴△BAD≌△CAE
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，
∵点，分别为，的中点
∴PM是△DCE的中位线
∴PM=CE，且,
同理可证PN=BD，且
∴PM=PN,∠MPD=∠ECD，∠PNC=∠DBC，
∴∠MPD=∠ECD=∠ACD+∠ACE=∠ACD+∠ABD，
∠DPN=∠PNC+∠PCN=∠DBC+∠PCN，
∴∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠ACD+∠ABD+∠DBC+∠PCN=∠ABC+∠ACB=90°，
即△PMN为等腰直角三角形.
(3).
考点：旋转和三角形的综合题.
3.（2017山东临沂第25题）数学课上，张老师出示了问题：如图1，、是四边形的对角线，若，则线段，，三者之间有何等量关系？
经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长到，使，连接，证得，从而容易证明是等边三角形，故，所以.
小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将绕着点逆时针旋转，使与重合，从而容易证明是等比三角形，故，所以.
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图4，如果把“”改为“”，其它条件不变，那么线段，，三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明.
（2）小华提出：如图5，如果把“”改为“”，其它条件不变，那么线段，，三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明.
【答案】（1）BC+CD=AC（2）BC+CD=2AC?cosα
【解析】
试题分析：（1）先判断出ADE=∠ABC，即可得出ACE是等腰三角形，再得出AEC=45°，即可得出等腰直角三角形，即可；（判断ADE=∠ABC也可以先判断出点A，B，C，D四点共圆）
（2）先判断出ADE=∠ABC，即可得出ACE是等腰三角形，再用三角函数即可得出结论．（1）BCCD=AC；
理由：如图1，
延长CD至E，使DE=BC，
ABD=∠ADB=45°，
AB=AD，BAD=180°﹣ABD﹣ADB=90°，
ACB=∠ACD=45°，
ACB+∠ACD=45°，
BAD+∠BCD=180°，
ABC+∠ADC=180°，
ADC+∠ADE=180°，
ABC=∠ADE，
在ABC和ADE中，，
ABC≌△ADE（SAS），
ACB=∠AED=45°，AC=AE，
ACE是等腰直角三角形，
CE=AC，CE=CE+DE=CD+BC，
BC+CD=AC；
（2）BCCD=2AC?cosα．
理由：如图2，
延长CD至E，使DE=BC，
ABD=∠ADB=α，
AB=AD，BAD=180°﹣ABD﹣ADB=180°﹣2α，
ACB=∠ACD=α，
ACB+∠ACD=2α，
BAD+∠BCD=180°，
ABC+∠ADC=180°，
ADC+∠ADE=180°，
ABC=∠ADE，
在ABC和ADE中，，
ABC≌△ADE（SAS），
ACB=∠AED=α，AC=AE，
AEC=α，
过点A作AFCE于F，
CE=2CF，在RtACF中，ACD=α，CF=AC?cosACD=AC?cosα，
CE=2CF=2AC?cosα，
CE=CD+DE=CD+BC，
BC+CD=2AC?cosα．
几何变换综合题，全等三角形的判定，四边形的内角和，等腰三角形的判定和性质各顶点的坐标分别为．
(1)作出关于原点成中心对称的．
(2)作出点关于轴的对称点．若把点向右平移个单位长度后落在的内部（不包括顶点和边界）求的取值范围．
【答案】详见解析.
【解析】
试题分析：（1）分别作出点A、B、C关于圆点O对称的点，然后顺次连接即可；（2）作出点A关于X轴的对称点，再向右平移即可.
试题解析：（1）如下图：
（2）解：A′如图所示：
a的取值范围是4＜a＜6.
5.(2017浙江金华第23题)如图1，将纸片沿中位线折叠，使点的对称点落在边上，再将纸片分别沿等腰和等腰的底边上的高线，折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．
(1)将纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形，则操作形成的折痕分别是线段_____，_____；______.
(2)纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形，若，，求的长．
(3)如图4，四边形纸片满足．小明把该纸片折叠，得到叠合正方形．请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出的长．
【答案】（1）（1）AE；GF；1:2；（2）13；（3）按图1的折法，则AD=1，BC=7；按图2的折法，则AD=,BC=.
【解析】
试题分析：（1）由图2观察可得出答案为AE,GF,由折叠的轴对称性质可得出答案为1：2；（2）由EF和EH的长度根据勾股定理可求出FH的长度，再由折叠的轴对称性质易证△AEH≌△CGF；再根据全等三角形的性质可得出AD的长度；（3）由折叠的图可分别求出AD和BC的长度.
（3）解：本题有以下两种基本折法，如图1，图2所示.按图1的折法，则AD=1，BC=7.按图2的折法，则AD=,BC=.
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