一、学习目标
通过本章的学习，力求达到如下目标：
领会基本活动经验的含义，能够例举中小学数学课程教学中的一些基本活动经验；识记基本活动经验与相关概念之间的关系，能够识别基本活动经验的主要成分和主要功能； 领会基本活动经验的功能和教育价值，并能识别基本活动经验在中小学数学课程教材中的具体体现；领会基本活动经验的主要类别，能结合中小学数学课程内容不同领域的特点，在数学日常教学中，应用有关的知识技能，帮助学生形成和积累基本活动经验。
在此基础上，运用基本活动经验的有关理论，分析和处理初中数学的问题。
二、内容提要
基本活动经验是近年来在《全日制义务教育数学课程标准》的修订过程中提出的新观点、新概念，目前已经变成支撑我国初中数学课程的“四基”之一，即基础知识、基本技能、基本活动经验和基本思想。
本章主要分析基本活动经验的含义、主要成分和主要功能，讨论基本活动经验的功能和教育价值，识别基本活动经验在中小学数学课程教学中的具体体现，进而揭示基本活动经验在初中数学不同领域中的具体表现形式，以便于将来能在初中数学教学中主动培养学生的基本活动经验。
三、 学法指导
基本活动经验是近年来才出现在义务教育阶段数学课程教学中的新概念，但是，业已成为义务教育数学课程的四个基本内容之一，即基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，成为义务教育阶段数学课程教学的核心概念和需要培养的核心目标之一。
建议学习者结合本章列举的大量案例，反思小学、初中数学课程教学实际，尤其是典型的初中数学课堂教学案例以及数学教科书典型案例，揣摩基本活动经验在小学、初中数学课程中的具体体现形式，进而建构读者自己的理解和认识。
第一节 基本活动经验的基本概念
一、如何里理解“经验”的基本含义？
在通常意义下，所谓经验，就是按照事实原样而感知到的内容。哲学中的“经验”通常有两种解释，即来源于感官、知觉的观念，和来源于反思的（即我们由内省而知道的）那些观念。《全日制义务教育数学课程标准》（修订稿）指出，“义务教育数学课程的目标在于，获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。”这里的基本活动经验，实际上是指“学生亲自或间接经历了活动过程而获得的经验”。
二、 如何理解基本活动经验的含义？
对于学生而言，所谓数学的基本活动经验，是指，围绕特定的数学课程教学目标，学生经历了与数学课程教学内容密切相关的数学活动之后，所留下的、有关数学活动的直接感受、体验和个人感悟。
基本活动经验是经验的一种，属于学习数学课程过程中，学生与数学学习活动相互作用的结果。由于经验的层次、水平（特别是，由于经验获得者的抽象、概括和反思的水平）所限，个体之间的数学活动经验有较大差异，即使在同一个活动中，不同的个体所获得的基本活动经验也会有所不同，这往往取决于个体对活动的感知水平与反思能力。
学生的基本活动经验包含三类基本内容：
1 ．一种体验性的内容
这种经验成分更多地表现为，学生在经历了活动之后在自己的情感、意志世界所形成的有关数学学科活动的、稳定的心理倾向。
在初中数据统计活动初步中，《课程标准》（实验稿）明确提出：“（ 1 ）能按照给定的标准或选择某个标准（如数量、形状、颜色）对物体进行比较、排列和分类；在比较、排列、分类的活动中，体验活动结果在同一标准下的一致性、不同标准下的多样性。（ 2 ）对数据的收集、整理、描述和分析过程有所体验．”，在这里，体验性的内容一方面包含在“体验活动结果在同一标准下的一致性、不同标准下的多样性”，另一方面表现在“体验数据的收集、整理、描述和分析过程”。
作为“基本活动经验”的一个重要成分，“体验性的内容”属于一种典型的情感、意志成分，有时甚至带有个人的人格色彩。其主体是个体对于相应活动而感觉、知觉到的直接内容（属于直接经验），部分属于直接经验基础之上经过初步体验及其简单加工的结果。
在初中“概率”的学习中，需要学生“体验事件发生的等可能性以及游戏规则的公平性，会求一些简单事件发生的可能性”，而在“调查两支球队以往比赛的胜负情况，预测下场比赛谁获胜的可能性大，并说明自己的理由”的活动中，具有典型的体验性色彩。
在初中课题学习中，需要学生积累“综合运用数与运算、空间与图形、统计与概率等相关知识解决一些简单实际问题的成功体验”，进而“初步树立运用数学解决问题的自信心”。
2 ．一种方法性内容
即学生获得了这种活动经验之后，积累了开展类似活动的一种或几种基本的方法。这种策略既有方法学知识的意味，更有学生对这些策略、方法的自我诠释、自我解读。它属于典型的 个体知识，而不是作为严格的数学学科知识出现的一般知识。
例如，在下面的活动活动中，不同的学生活的方法性的经验彼此往往不同：
搭 1个 正方体需要 4根小棒（如图 9-1所示）。按照图示的方式，搭 2个正方形需要多少根小棒？搭三个正方形需要几根小棒？搭 x根，需要几根小棒？
有的学生是这样思考的：
搭第一个正方形需要 4根，一个每搭一个需要 3根，因而，搭 x个需要 4+3（ x-1）根。
而有的学生是这样思考的：
将图形中的小棒看作三排：第一排有 x个正方形的每个最上面的边（横者排的），共 x条边；第二排是 x个正方形的边（竖者排的，左右的），共 x+1条边；第三排有 x个正方形的每个最下面的边（横者排的），共 x条边。因而，共 x+（ x+1） +x条。
而有的学生是这样思考的：
先放 1根小棒，每搭一个正方形需要 3根，因而，搭 x个需要 1+3x根。
也有的学生是这样思考的：
每个正方形需要 4根小棒，每两个这个正方形之间重复一根，因而，重复了 x-1根，从而，总共有 4x-（ x-1）根。
显然，在这里，不同的学生其经历这种活动之后所留下的方法性的经验是有所差异的，有的善于想象（例如，第四种做法），有的善于分类（例如，第二种），而有的善于将总结共性规律，如第一种、第三种方法。几种思考方法有一个共性的特点，这就是，必须从具体的单元分析，寻找出规律性的内容。
3 ．一种模式性、策略性的内容
这种内容与第二类类似，都是在学生获得了这种活动的初步经验之后，经过个人反省而提升出来的、开展类似活动的一种或几种基本模式、基本策略。它仍属于典型的 个体知识。
例如，下表是某月的月历：
（ 1 ）彩色方框中的 9 个数之和与该方框正中间的数有什么关系？
（ 2 ）这个关系对其它方框成立吗？你能用代数式表示这个关系吗？
（ 3 ）这个关系对任何一个月的月历都成立吗？为什么？
（ 4 ）你还能提出哪些问题？
在解决上面的问题过程中，几乎所有的学生都会有一种惊奇，这就是，几乎天天见到的月历中竟然有这样奇妙的规律，这种经验属于“体验性内容”，而计算彩色方框中的 9 个数之和时，由于九个数字的平均数是最中间的数字，因而，可以直接用这个数字乘以九，就得到九个数字的和。而在解决类似问题时，也需要先思考，找到规律，再动手解决问题，而不需要贸然动手计算，那样话往往事倍功半，这种经验就是基本活动经验的第三成份，即“方法性策略性的内容”。
例如，在月历中选择两行两列的四个数字，四个数字交叉相乘的积再做减法，就得到一个固定的数字 7 ，譬如， 1 、 2 、 8 、 9 ，交叉相乘再作差的结果是 2 × 8 － 1 × 9 ，即 7 。而更一般的规律是，对于两行两列的四个数 a 、 a+1 、 a+7 、 a+8 ，交叉相乘再作差的结果是 (a+1) × (a+7) － a × (a+8) ，即 7 ，与 a 无关。
从哲学上讲，在数学学科教、学中，让学生获得数学的基本活动经验，本质上是让学生获得数学学科直观，这是学生获得数学发展的源泉。无论是作为普适性方法而出现的经验，还是作为模式性、策略性内容出现的经验，都是建立在直接的、感性的经验基础之上，经过个体的自我反省（反思）而形成的，它们带有明显的“再抽象”、再加工痕迹，都是基于个体对活动过程的再现所致。因而，数学学习必须诱发学生主动参与，积极思考，教师的使命和责任在于帮助学生建构其数学理解。
三、关于基本活动经验的有关理论（学说）
20 世纪 80 年代初期 , 美国组织行为学教授科尔比在总结杜威、勒温、皮亚杰关于经验学习研究理论的基础上提出的经验学习理论在学习领域中有着广泛的应用。它的基本观点是 :
知识是经验的构成与再构成 , 学习是“始于经验、然后回归于经验”、“改造或者转化经验、创造知识”的过程。在这个过程中 , 学习从经验的“领悟”和“转化”两个相互独立的维度而展开 : 通过参与具体活动直接领悟、创造活动经验获得具体经验 , 然后对所经历的活动通过回顾、反思等内在的思考 , 内化为能够理解的合乎逻辑的、抽象的经验 , 并将之在新情境中进行证实和运用 , 重新领悟和创造新的经验 , 在这样不断循环往复的连续过程中实现经验的创造、领悟与转化。处于理想状态的经验至少要经过这样四阶段 ( 具体经验 , 反思性观察 , 抽象概括 , 主动实践 ) 的循环过程才能完成。其中 , 各个阶段经验的获得或者转化过程又受到学习者学习风格的影响。经验学习理论中四阶段的依次循环往复的目的既是强化和提升获得的经验 , 也是方便学习者能够根据各种学习情境灵活做出“选择” , 以适应于学习环境 , 并在各种学习风格领域都得到均衡的发展 ( 如图 1 科尔比“经验学习过程”环形图 ) 。
“经验之塔”理论是关于个体经验获得与发展的理论研究和实践经验总结相结合的一种关于学习经验分类的理论模型 , 同时也是一种具有很强实用性的教学操作指南。
20 世纪上半叶 , 戴尔等提出了关于视听教育的“经验之塔”理论 , 并在 20 世纪 60 年代末进一步完善了该理论。他认为，经验就是学习的途径 , 一切学习应“从经验中学习” , 最好是从直接参与的动作性经验学习开始 , 以获得直接经验。当直接经验无法获得时 , 应该寻求观察的经验作为“替代性经验”以弥补、替代直接经验的不足。戴尔进一步指出 , 学习应当尽可能始于具体经验 , 但不能止于具体经验 , 教师应当启发和引导学生把具体经验向抽象的、概念性的经验转化 , 使其获得和发展抽象经验。从而 , 戴尔着眼于研究提供给学生刺激物的特性 , 依据学习经验和教育媒体呈现的基本形态按照从具体到抽象、从实物到印像和符号的思路 , 把人们获取经验的途径按照从实际操作出发 , 到采用视听教具、视听方法直至抽象符号的抽象程度的层级变化和发展走向的顺序 , 形象地描述成一个从塔的底部向上累积的具有十二个层次的“塔”的模型 , 并称之为“经验之塔”。在塔的不同层级 , 学生获得经验的方式不同 : 从塔底向上的方向 , 在塔的一、二、三层 , 学生是实际经验的参与者 , 从“做中学”获得直接经验 ； 四、五、六层 , 学生作为实际事件的观察者 ； 七、八、九、十层 , 学生作为实际事件的印像性表象的观察者 , 学生从四层到十层获得观察的经验 ； 到十一、十二层时 , 学生作为符号世界的参与者和观察者 , 获得抽象形态的经验 ( 如图 9.1-9 所示 ) 。该模型中 , 越是靠近“塔”底的经验越具体 , 越是靠近“塔”顶的经验越“抽象概念化”。著名心理学家布鲁纳 (J. S. Bruner) 十分肯定戴尔关于有效的学习应该尽可能从直接经验的学习开始但又应向抽象的、概念性的经验提升的观点 , 他进一步认为学生接触各种学习材料的顺序对达成学习目标有直接的影响 , 并坚持“教学的过程首先应从直接经验入手 , 然后是经验的映像性表象 , 再过渡到经验的符号性表象”的观点。他着眼于学生的心理操作特性 , 把戴尔的“经验之塔”中十多个不同层次的学习经验进一步浓缩为三个类别 , 并从教学活动的角度设计了一个与戴尔“经验之塔”平行的说明性图解 ( 如图 9.1-10 所示 ) 。
首先 , 他将各种教学活动归纳为动作性、映像性和抽象性三个类别 , 塔的最下层是动作性学习 , 包括各种直接的、参与性的学习活动 , 学生必须亲身经历去获得真实的感受 ; 塔的中间层次是映像性学习 , 是指用直观表象操作代替实物操作的学习 , 包括各种形象直观、声音直观等可用多媒体技术表现出的视听材料的学习 ; 顶层是抽象性学习 , 它包括“经验之塔”中最上面两层所涉及的媒体。
科尔比的经验学习理论表明 , 经验学习是指学习者通过经历各种情境获得经验 , 并将其融入自身的经验之中进行概括化 , 然后再将其应用于新的实践再获得新经验的过程。新经验获得的关键不仅是通过全身心地投入到活动中搜集信息获得具体经验 , 更重要的是对这些具体经验的评价、反省和再应用。但是 , 在通常的教学中 , 经验的教学常常并没有经过上述的完整四阶段 : 有时我们只是让学生经历了某些活动 , 却没有及时对活动进行回顾、观察、反思和提炼 , 学生并没有真正从自己经历的活动中领悟到应该获得的经验 ; 有时即使学生对活动过程进行了及时的反思和总结 , 却对活动的内容又没有达到理解的程度 , 也很少主动在新情境中去验证和应用。因此 , 学生获得的经验常常是欠缺的、不完整的。科尔比经验学习理论的不足是 , 过分强调了学习者个体的认知作用 , 相对忽视了活动中的社会因素比如师生关系、生生关系以及学习共同体的相互影响 , 无形之中将获得经验的主体绝对化了。反过来看 , 这种不足 , 也启发我们在教学中要积极创造条件 , 充分发挥社会因素和环境因素在学生获得经验过程中的积极作用。
戴尔“经验之塔”理论对各个层次经验的特性和获得途径以及视觉媒体、视觉教具的分类、视觉教材的使用的分析、尤其是布鲁纳从学生掌握经验的心理特性出发对该模型进行的简化 , 对教师在操作层面上如何选择教学媒体的策略和方法具有很强的指导意义。随着现代计算机技术、多媒体教学手段在基础教育中的广泛应用 , “经验之塔”理论强调的为学生提供直观、生动、十分接近学生生活现实的多样化情境、提供丰富的“替代性经验”等观点 , 越来越受到教育者尤其是素以较强抽象性著称的数学学科的教学工作者的重视。
第二节 基本活动经验与相关概念的关系
作为基础教育数学课程教学中的重要概念，基本活动经验已经成为数学课程教学中的核心概念，并于其他核心概念一起发挥着主导作用。为此，理清基本活动经验与相关概念的关联，十分必要。
一、 如何理解基本活动经验与数学活动、基础知识、基本技能和基本思想的关系？
在数学学习中，基本活动经验是对有关数学活动过程的个体反映，是个体针对相关数学活动过程的直接感知及其之上的自我反省的结果。 数学课程教学不仅要教给学生知识，更要帮助学生形成智慧。知识的主要载体是书本，智慧则形成于经验的形成和积累的过程之中，形成于经历的数学活动之中，诸如教师为学生创造的思考的过程、探究的过程、抽象的过程、预测的过程、推理的过程、反思的过程等。智慧形成于学生应用所学的各类知识，发现问题、提出数学问题并加以分析和解决问题的各种教育教学实践活动之中。
因而，数学的基本活动经验直接来源于数学活动之中。 在经历同一个数学活动过程之中，不同的人所获得的基本活动经验往往有所不同，往往存在着个体差异。这些差异，一方面来自于个体的感觉、知觉的水平差异，另一方面，这些差异与个体针对感觉、知觉到的内容的自我反省的水平和深广度密切相关。与其同时，这些差异也与个体参与活动的参与程度有着必然的关联。
只有学生亲身参与数学活动，不仅有行为参与，而且有认知参与，更有情感参与，学生才能活动深刻的基本活动经验。
二、如何理解基本活动经验与活动过程的关系？
基本活动经验是对有关数学活动过程的个体反映，是个体针对相关数学活动过程的直接感知及其之上的自我反省的结果。
从培养创新型人才的角度说，数学课程教学不仅要教给学生知识，更要帮助学生形成智慧。知识的主要载体是书本，智慧则形成于经验的形成和积累的过程之中，形成于经历的数学活动之中，诸如教师为学生创造的思考的过程、探究的过程、抽象的过程、预测的过程、推理的过程、反思的过程等。智慧形成于学生应用所学的各类知识，发现问题、提出数学问题并加以分析和解决问题的各种教育教学实践活动之中。
在经历同一个数学活动过程之中，不同的人所获得的基本活动经验往往有所不同，往往存在着个体差异。这些差异，一方面来自于个体的感觉、知觉的水平差异，另一方面，这些差异与个体针对感觉、知觉到的内容的自我反省的水平和深广度密切相关。与其同时，这些差异也与个体参与活动的参与程度有着必然的关联。而高层次的参与，既包含着行为参与，也包含着认知参与（思维参与）、情感参与，高层次的参与总与高水平的思维活动相伴。
在这里， 行为参与指学生在数学教学中的行为努力程度，它包括了课堂表现（努力和钻研两个变量）和时间参与（每天完成作业时间和每周补充学习时间）两个方面；认知参与是指学生在数学教学过程中反映其思维水平的学习策略，它分为深层次、浅层次和依赖策略的三种变量；情感参与是学生在数学教学中的情感体验，它分为乐趣感、成功感、焦虑感和厌倦感四个变量。
三、如何理解经历、体验、经验的区别和联系？
基本活动经验与经历、体验密切相关，而彼此又有一些区别和关联。
人的经历可以分两种，即直接经历与和间接经历，其中，前者是主体亲身见过、做过或遭遇过某事件的过程而获得的经历，后者是主体从他人处听说或从其他媒介得到他人的经历。
而体验是一种感受经历的过程，是通过主体亲身体验事件发生的过程，从而获得经历，让主体在实践中实现自我领域的充实，感受经历的产生，领悟经历产生的意义，并在反思中进行情感的升华，因而，体验必须从直接经历中得到。
体验具有很强的、个体的情感色彩，停留在经历本身的感性的层面。
为了提高到认知层面，形成主体自己的新的认知结构，尚需要主体对体验、亲身感受，进行抽象、去粗取精，提升为具有一般意义的 “模式 ”，这就得到了直接经验，亦即，直接经验是从体验、经历中总结而来，是理性的、可以推广、迁移或类比的模式，而间接经验是主体以他人的间接体验和经历为抽象对象而获得的经验。因而，经验既可以从直接经历中获得也可以从间接经历中获得。
经历是为了进行体验，而体验不是目的，是为了获得直接的经验和感受，增强对知识、技能的理解，实现主体在情感、态度、价值观上的升华和发展，同时，能够对知识技能的理解和认识予以强化。然而，并不是所有的体验都会抽象提升为经验，若没有对体验抽象提取，也可能只是将情感升华为信念。主体在情感升华过程中，会和其对事件的原有兴趣进行对比，如果情感升华与原有兴趣一致，那么，其信念将会被强化，反之，则会被弱化。也就是说，体验其实也不是万能的。
第三节 基本活动经验的教育价值与基本功能
经验是课程设计的基础和内容来源，是学生构建理解的直接素材。 在人的可持续发展中，直观能力和思维水平起主要作用。而只有将“先天的存在与后天的经验”有机结合才能形成人的直观能力，进而实现可持续发展。这里的“先天的存在”主要是指学生身心的原有的物质基础，而“后天的经验”则是指学生在生活中和数学学习中所获得的生活经验和数学活动经验。
因而， 让学生获得必要的基本活动经验，就成为基础教育课程的重要目标之一，也是学生获得终生可持续发展的基本源泉。
一、如何理解基本活动经验的基本功能？
正如前文所分析的，基本活动经验是数学学习的重要目标，也是数学学习的阶段性目标。获得基本活动经验，不仅是学生数学学习的重要目标之一，而且，对于基础知识、基本技能和基本思想的达成，也具有十分重要的影响。这正是基本活动经验的基本功能的具体体现。
（一）有些经验的获得可以强化对有关知识、技能的理解，个体的基本活动经验是构建个人理解、形成理解性掌握不可缺少的重要素材
在数学学习过程中，基本活动经验是学生对于数学活动内容、活动形式进行抽象概括的结果，这是构建个人理解、形成理解性掌握不可缺少的重要素材。
一方面，基本活动经验的获得，时常可以促进、强化有关知识的理解和掌握。
例如，“利用一张纸，折出一组相互平行的折痕”的折纸活动，可以深化对于平行、垂直概念的理解和认识：如图 9.3-1，将一张矩形的纸对折，得到一个折痕 AB；在折痕上分别取点 C，点 D，过这点 C、点 D分别将纸对折，使得第一条折痕 AB位于点 C、点 D两侧的部分重合；打开并将其铺平。
此时，纸上的过点 C、 D的两条折痕就是一组平行线。
事实上，第一条折痕 AB是一条直线段，沿其上的点 C将折痕对折，等价于将过平角 ∠ACD二等分，也就是，过点 C的折痕相交成 90 0角，从而两条折痕互相垂直；同理，过 D点的折痕也互相垂直。进而，第二条、第三条折痕互相平行。从初中数学课堂教学实际来说，有的学生很有可能说“不用折叠了，最初的纸的两条相对的边缘线就是相互平行”，但是，此时的他很难说出其充分的理由。事实上，仅仅说“相邻的两条边缘线构成 90度角”是不够的，这里的“ 90度角 ”仅仅依靠目测是无法确认其真实性的。这也意味着，虽然不同的学生采用不同的操作方式方法，但是，作为数学教师，我们必须清楚，不同的操作方式其背后的数学含量往往是不同的。
无论如何，具有这种方式的折纸的直接经验，对于形成有关“垂直”、平角与直角之间的关系的深刻理解，往往起到明显的促进作用。
另一方面，基本活动经验是数学活动的派生物，对于那些技能性的学习内容而言，技能性的操作活动本身就可以积淀一些经验，而这些经验往往与相应的技能密不可分。例如，“利用一根绳子、一个粉笔头和一个图钉，在黑板上画出一个圆”的活动，可以深化对于圆的画图技能的理解和把握，其中，活动经验起主要作用。事实上，在积累“画圆”经验的过程中，最为核心的内容就是“要保持粉笔头与图钉之间的距离保持不变”，这恰恰是画圆技能的核心。
（二）基本活动经验可以强化动机、情感、态度、价值观，而有些学科的基本活动经验有助于净化心灵、完善人格
基本活动经验之中含有体验性成分，而这些体验性的经验，对于个体从事相关的活动具有重要的诱导和指向作用，如果个体对于发现新知所形成的经验和体验已经凝聚成稳定的情绪特征（如，兴趣、爱好），那么，这些情绪特征对于进一步开展类似的活动具有导向作用。因而，让学生经历科学研究的基本过程，“重走科学家走过的发现之路”，这种经验的积累，对于培养中小学生的创新素养具有不可替代的作用，这正如一个论断所表明的观点，“一个人在 18岁之前从来没有独立地发现一个问题、提出一个学科问题，进而深刻地思考过一个问题，这个人在成人阶段成为创新人才是不可能的”。
不仅如此，不同学科的基本活动经验，对于学生良好的人格塑造具有不可替代作用——数学的基本活动经验有助于学生形成严谨、务实的思维习惯，定性思考、定量把握往往成为数学活动经验积淀和升华的结果之一；哲学思考的活动经验，往往可以诱发学生慎思、明事理，辩证地处理问题；…。因而，引导学生积累活动经验并进行及时的积淀升华，就成为基础教育课程教学的重要目标之一，而不同学科的基本活动经验的均衡发展，才有可能实现学生的全面发展。
二、如何理解基本活动经验的课程教学价值？
人类的一切知识都是从直观开始的，从那里进到概念，而以理念结束。直观能力的存在是先天的，但一个好的直观能力的养成却是依赖于经验的积累。直观的培养更依赖本人参与其中的活动，包括观察、思考、判断等等。如此，积累活动经验就成为学校教育的一个更加直接的目标和追 求。
（一）获得必要的学科活动经验和与学科学习有关的生活经验，是进行科学建构、实现学生在学科上的全面发展的基本前提。
一般说来，数学知识的形成依赖于直观，数学知识的确立依赖于推理 ②。不仅仅是数学，在许多学科中，对于结果的预测和对于原因的探究，起步阶段依赖的都是直观，而数学 直观能力的培养依赖于数学活动经验的积累。
因而，让学生获得必要的数学活动经验，以及与数学学习有关的生活经验，是建构理解、进而实现学生在数学学科上的全面发展的基本前提。这些经验，不仅是概念、定理、定律等基本内容建构的原始素材，而且也是学生数学直观能力发展的土壤，而其中的基本活动经验的全面性、准确性，对于学生形成有关数学学科的基本素养、能力，具有十分重要的影响。 无论是有意义接受式学习，还是探究发现式学习，已有的经验和知识基础，对于新知的形成都是十分重要的，而教师的作用恰恰体现在搭建“起点是学生已有经验（已知）、终点是学习目标（未知）”的一座桥梁，其间，学生原有的策略性、方法性的经验、原有的认知
风格等等，对于自我建构起主要作用，而用于建构理解的那些素材性经验的多寡优劣，对于学生学习的效率起重要影响。
（二）一定数量的基本活动经验，是实现过程与方法目标的基本载体
自实施基础教育新课程以来，人们对于“知识与技能”、“过程与方法”、“情感、态度价值观”三维目标的认识，基本上停留在这样的理解，即， “过程与方法 ”突出的是让学生 “学会学习 ”，使学生获得知识的过程同时成为获得学习方法和能力发展的过程。
这种理解并没有错误，但是，这种理解的深度是不够的。我们认为，“过程与方法”的确突出“学会学习”，但是，达到“学会学习” 最直接的学习结果就是让学生积累基本的活动经验，获得学习方法和能力发展。其中，有些活动经验进一步发展为学科思维方式、思考模式，有些活动经验积淀为策略性知识、学科的基本思想，而有些活动经验则积淀为学科智慧、学科能力。
与其同时，在积累活动经验的过程中，学生所掌握的学习方法也往往依附于活动经验而存在，至少具有典型的个性化特征，具有学生对于这些方法的个人诠释的特征，而这种诠释往往与活动经验交织在一起。因而，学生是课程实施中的主体，他们在这一过程中的亲身体验和活动经验，本身就是一笔财富，将会对其未来发展起到十分重要的作用。
（三）获得基本活动经验，是“实践与综合”领域的基本目标之一
众所周知，各科课程标准将本学科内的“实践与综合”领域，以及作为一门课程出现的“综合实践”的课程目标定位在“综合运用所学知识分析问题、解决问题”，因而，多数人士认为，这个领域仅仅是“综合应用”而已。
其实不然，这个领域除了 “综合应用 ”之外，一个十分重要的课程目标就是 “获得基本活动经验 ”，这种经验就是发现问题、提出（学科）问题，进而分析问题、解决问题的直接经验，其中，往往既包括了归纳式（即合情推理式）的经验，也包含了逻辑、演绎推理式的经验。前者往往体现在将 “现实问题学科化 ”的过程之中，这种建立模型的思维过程积淀下归纳、抽象的经验；而后者体现在将已经建立的模型、已经发现的问题，运用本学科的有关原理、方法加以解决的过程，这个过程通常是演绎式的，是从一般到特殊的过程。
在初中数学中，“ 参与 综合实践活动，积累综合运用数学知识、技能和方法等解决简单问题的数学活动经验”；不仅如此，初中数学教学还需要根据具体的数学教学内容，注意使学生在获得间接经验的同时，也能够有机会获得直接经验，即从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流等，获得数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，促使学生主动地、富有个性地学习 ,不断提高发现问题和提出数学问题的能力，以及分析问题和解决问题的能力。
（四）获得基本活动经验，是情感态度价值观目标实现的必要前提，也有助于知识技能目标的实现
人的思维过程其实是认知、情感、意志相伴的过程，是“情知对称”的过程。正如美国学者 B.S.布卢姆指出的，“在一门学程中，每个情感目标都伴随着一个认知目标”。而基本活动经验之中含有体验性的成分，这些成分与学习情感、意志密不可分。不仅如此，基本活动经验既包含着学生进行知识技能学习过程中“思考的经验”和体验，也包含着学生对于知识技能的自我诠释。因而，获得基本活动经验，就成为情感态度价值观目标实现的必要前提。
从本质上来说，学生的数学学习过程是一个自主构建自己对数学知识的理解的过程：他们带着自己原有的知识背景、活动经验和理解走进学习活动，并通过自己的自主与主动的活动，包括独立思考，与他人交流和反思等，去建构对数学的理解。 因此，学生数学学习的过程可以说是一种再创造过程，而且是真正意义上的再创造（指主观意义上，非客观意义上）：学生从事对数学知识的提炼和组织 ---通过对低层次活动本身的分析，把低层次的知识变为高一级层次的常识，再经过提炼和组织而形成更高一级的知识，如此循环往复；再把数学放到现实中去加以使用。在这活动过程之中，获得数学活动经验，对数学活动经验的分析与理解，和对获得过程以及活动方式的反思（元认知），至关重要。
（五）有些经验直接派生出智慧、方法、思维模式，特别是，积累学生全面的学科活动经验，有助于全面提高学生的思维水平，更好地培养创新性人才
由思考的经验、亲身探究的经验，有可能派生出一种思维模式、思维方法。事实上，基本活动经验之中含有策略性的成分、方法模式性的成分，这些成分对于学生开展创新性活动具有十分重要的奠基作用，特别是，个体已有的关于归纳的活动经验，对于发现真理具有重要启迪作用。相比之下，如果个体已有经验之中不具备归纳的经验，那么，他只能习惯于演绎思维方式（即演绎思维的经验在发挥作用），让其发现新知几乎是不可能的，真理的发现毕竟靠归纳思维，而演绎思维的作用在于验证真理，通常所说的 “一个人 18岁之前没有独立思考过一个问题，没有经历发现问题、提出问题进而分析解决问题的全过程，长大以后成为创新人才几乎是不可能的 ”，正是说明 “思考的经验 ”的作用和策略性经验的价值。
从学理上说，一个人创新能力的形成依赖于知识的掌握、思维的训练和经验的积累。因而，有计划地使学生获得有关归纳思维、演绎思维的基本活动经验，是培养创新人才所必需的，特别地，全面积累学生的基本活动经验，将有助于培养和提高学生的归纳思维、演绎思维的水平，进而，提高中小学人才培养的整体水平。
将基本活动经验确立为基础教育课程教学的基本目标之一，是对于我国课程理论的进一步完善和现代发展。
第四节 基本活动经验的成分与类别
我们大体上可以把经验分为感性经验和逻辑经验。感性经验也依赖思考，但更多的是依赖观察；逻辑经验也依赖观察，但更多的是依赖思考。这是关于活动经验的最基本的分类。
一、如何理解基本活动经验的“基本”的含义及其具体表现？
基本活动经验是一个学科、一门课程之中从事相应的学科活动所积淀的经验，虽然属于个体知识（即广义的知识），具有个体特征，但是，这些经验属于个体对于这类学科活动的自我诠释，就群体而言，这些经验能够比较全面地反映相应学科活动最基本的活动特征。因而，这里的“基本”是相对于具体的学科而言的，一般而言，每个学科的基本活动经验都包括 基本的操作经验、 本学科特有的思维活动经验、 综合运用本学科内容进行问题解决的经验、 思考的经验等类型。
在义务教育阶段数学课程中，数学的基本活动经验具体表现在，基本的几何操作经验，基本的数学思维活动经验（包括代数归纳的经验，数据分析、统计推断的经验，几何推理的经验，类比的经验等等），发现、提出、分析、解决问题的经验，以及思考的经验等若干方面。
（一）基本的操作经验
基本的操作经验是数学学科所特有的活动经验的重要组成部分，其核心内容在于，体现本学科基本思维特征，全面反映数学学科的思维方式和学科属性。
在义务教育数学课程中，基本的几何操作经验，诸如解代数方程的直接操作经验等等，就是义务教育阶段基本的操作经验之一。
图 8.4-1
例如，学生在经历了案例 9-1“图画还原 ”活动之后，可以获得有关图形的平移、旋转、轴对称等图形运动的活动经验。
例 1 打乱由四块积木或者图画构成的平面画面，请学生还
原并利用平移和旋转记录还原步骤，尝试寻找步骤最少的还原方案。
在这里，问题中的积木块相当于方格纸的作用，通过实际操作，
进一步理解平移、旋转，不仅能增加问题的趣味性，还可以让学生感悟几何运动也是可以记录的，体验选取最佳方案的过程，获得有关图形运动、变换的基本活动经验。
特别地，恰当的问题情境往往是引发学生主动获取操作经验的催化剂。例如，在案例 9-1中，在实际教学中，如果设计如下的问题情境，往往可以实现更深刻的操作和体验，进而获得更深刻的操作经验：
还原的步骤一定要从简单到复杂，如先打乱四块积木中的上面两块，让学生尝试思考的过程 ——先想再操作；可以分小组进行。为了记录准确，事先要确定代表符号；小组活动时，可以先讨论，确定一个大概的还原路线，然后操作验证；小组呈现并操作结果，进行讨论，比较。
在初中数学课程教学中，基本的操作经验，不仅体现在图形与几何的学习中，而且，也体现在统计与概率、实践与综合等之中，甚至在数与代数的学习中，也需要基本的操作经验。
特别地，九年 义务教育阶段的学生认识空间与图形，是从空间到平面、再到空间的过程，其学习内容不能仅仅局限于二维的平面图形，有相当一部分内容应当是直观几何、实验几何。与演绎几何相比，直观几何、实验几何更贴近学生的现实生活和日常经验，更有利于把空间与图形学习变成一种有趣的、充满想象和富有推理的活动。为此，必须追求恰当的问题情景，积累学生直接的操作经验，让学生认识到多姿多彩的图形，对于他们形成对图形的完整而广泛的认识有良好的促进作用。在初中数学课程实施中，不仅可以通过传统的几何学习内容丰富学生的操作经验，而且，也可以通过专题的形式，学生了解更多的与图形相关的知识。
（二）数学学科特有的思维活动经验
每个学科都有其特有的思维活动，这些思维活动集中反映了本学科的学科属性，体现本学科研究的侧重点和研究手法。使学生获得更为丰富的学科思维活动经验，是实现学生在本学科上的全面、可持续发展的关键。
在义务教育阶段数学课程中，最具代表性的数学学科思维活动经验，主要包括代数归纳的经验，数据分析、统计推断的经验，以及几何推理的经验。
1 ．代数归纳的经验
在义务教育阶段的数学课程内容中，数与代数领域具有突出的特点，这就是代数思维，其中，代数归纳的表现尤为突出，例如，
例 2 代数归纳经验的一次获得过程
在代数计算中，学生思考如下系列问题时会积累一些代数归纳的经验：
比较下列每组算式的计算结果，能发现什么规律？能用只含一个字母的式子表达这个规律吗？能证明你的规律吗？
上面这个过程，恰恰是由具体数值计算到符号公式表达的过程，即由特殊到一般的过程。
让学生亲身经历这个过程，学生就可以获得相应的代数归纳经验，即对于有些问题，可以通过特殊情况归纳发现的规律，而后再通过一般性的证明验证自己的发现，进而感悟数学的严谨性，增强数学学习的兴趣。
有关这种思维方式的基本经验，不仅是学生数学学习所必需的，也是学生终生可持续发展所必需的。
2. 数据分析、统计推断的经验
“统计与概率”是义务教育阶段数学课程的重要内容之一，是不同于其他数学内容的“不确定性的数学内容”。其中，经历数据分析、统计推断的过程，获得相应的直接经验，进而发展其数据分析观念，是统计与概率学习的核心目标，对于学生获得数学上的全面发展，具有其他数学内容所不能替代的作用。
让学生体验和掌握数据分析观念的最有效方法，就是让他们真正投入到产生和发展数据分析观念的活动之中，使学生在收集、整理和描述数据的活动中，探索如何以简单而直观的形式最大限度地描述数据，理解加权平均数、极差、方差、频数分布等内容，并据此做出合理的判断。正是经历了猜测、收集、描述和分析处理数据的全过程，能够在新的问题情境中，特别是在具有现实背景的问题情境中，进行数据分析，进而做出统计推断，学生才能真正掌握统计的有关内容。
显然，在这种活动中，学生在具体的现实问题解决中，能够体会到统计的思维方式和活动特点，确实积累统计活动的直接经验，进而极大地促进了数据分析意识和能力的形成。
3. 几何推理的经验
几何推理是几何课程内容的核心内容之一，学生是否获得了几何推理的活动经验，对于掌握几何推理的技能、形成推理能力，具有十分重要的促进作用。
这里的推理包含两部分，一是归纳推理（即包括归纳、类比、猜想等在内的推理，也称之为合情推理），一个是演绎推理。
演绎推理又称三段论推理，是由两个前提和一个结论组成，大前提是一般原理（规律），即抽象得出一般性、统一性的成果；小前提是指个别对象，这是从一般到个别的推理，从这个推理，然后得出结论。演绎推理又称从规律到现象的推理，是从普通回到特殊再回到个别。演绎推理正确的条件：若大小前提正确，则结论正确；若大前提或小前提错误，则结论错误。
所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理。一般地，根据前提所考察对象范围的不同，把归纳推理分为完全归纳推理和不完全归纳推理。完全归纳推理考察了某类事物的全部对象，不完全归纳推理则仅仅考察了某类事物的部分对象。更进一步，还可以根据前提是否揭示对象与其属性间的因果联系，把不完全归纳推理分为简单枚举归纳推理和科学归纳推理。现代归纳逻辑则主要研究概率推理和统计推理。归纳推理的前提是其结论的必要条件：首先，归纳推理的前提必须是真实的，否则，归纳就失去了意义。其次，归纳推理的前提是真实的，但结论却未必真实，而可能为假。
在当前的初中数学课程教学中，通常有三种推理方式，即，
典型的不完全归纳推理，其结论仍是“猜想”，这种推理常常用来佐证、猜想；
借助图形直观的操作（图形运动），有时可以用来进行不严格意义下的证明，在某些条件下也可以用来进行严格的证明，这种推理形式常常用来说理；
而第三种属于典型的演绎证明。
三种活动的直接经验，对于获得的有关推理的理解程度是截然不同的，是否经历过这种推理活动，对于学生关于推理的掌握程度有着显著影响。
不完全归纳推理是根据某类事物部分对象都具有某种属性，从而推出该类事物都具有该种属性的结论。不完全归纳推理包括简单枚举归纳推理、科学归纳推理。在一类事物中，根据已观察到的部分对象都具有某种属性，并且没有遇到任何反例，从而推出该类事物都具有该种属性的结论，这就是简单枚举归纳推理。
在中小学数学课程中，许多公式、法则的导入都是通过不完全归纳推理获得的，例如，小学加法交换率 a+b=b+a，就是通过有限组算式，每一组都是形如“ a+b”与“ b+a”，通过分别计算各自的结果，最后发现二者的结果总是相同的，由此，就获得一个有用的法则。这里运用的就是不完全归纳推理。
与其同时，许多小学数学教师为了让学生确信无疑，往往通过具体的数字，在左手中拿 a个物体，而右手中拿 b个物体，问学生一共有多少个物体（列算式计算）？结果是，多数学生列出了的算式 a+b，这是从左向右数的结果，而有的学生列出了算式 b+a，这是从右向左数的结果，而“加”就是将两者的数量合在一起，于是，学生们往往确信无疑。其实，这里运用的就是利用实物的说理、佐证。
例 3 下表是某月的月历：
（ 1）彩色方框中的 9个数之和与该方框正中间的数有什么关系？
（ 2）这个关系对其它方框成立吗？你能用代数式表示这个关系吗？
（ 3）这个关系对任何一个月的月历都成立吗？为什么？
在上面的问题中，教师引导学生对月历中的一个三行三列的九个数组成的方框中的九个数进行分析，发现九个数的和恰好等于最中间的那个数字的 9倍；换另外一个方框，重新验证，结论还是这样；再换一个方框，结论与第一次的仍然相同。于是，可以做出这样的猜想：是不是月历中的所有方框都具有这样的属性呢？
为此，必须进行一般性的分析、论证。在月历中任取一个三行三列的九个数组成的方框，为方便，将第二行第二列的数设为 a,根据同一周前后两天日期的关系，以及相邻两周的同一个星期 X的日期数的关系，我们可以依次发现，其它的八个数分别为 a-8,a-7,a-6,a-1,a+1,a+6,a+7,a+8，从而，九个数组成下表所示的规律表：
从而，九个数的和是：
（ a-8） +（ a-7） +（ a-6） +（ a-1） +a+（ a+1） +（ a+6） + （ a+7） +（ a+8） = 9a.
也就是说，九个数的和是第二行第二列的那个数字 a的九倍。
由此可见，合情推理与演绎推理是相辅相成的两种推理形式，都是研究图形性质、代数问题的有效工具。让学生经历从不完全的归纳或佐证、说理，到严格演绎证明的过程，就是让学生获得数学推理的直接经验，这对于学生的终生可持续发展，具有十分重要的意义。
（三）综合运用数学学科内容进行数学问题解决的经验、思考的经验
这部分内容主要包含两层含义：一方面，综合运用数学学科内容发现问题、提出学科问题，并加以分析和解决的经验。这是问题解决在本学科中的综合体现；二是作为各个学科所共有的思维方法层面的经验，诸如类比的经验、思考的经验（作思维试验的经验等等）。
1 ．发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的直接经验
“一个人在 18岁之前没有独立思考过一个问题，没有经历发现问题、提出问题进而分析解决问题的全过程，长大以后成为创新人才，几乎是不可能的 ”，这是有道理的。其中的核心问题在于，让中小学生亲身经历发现问题、提出问题进而加以分析、解决的全过程，获得直接的经验和体验，这是培养创新人才所必须的。
正如文 ①中所分析的，分析问题与解决问题能力的培养作为中小学教育的基本目标要求，经历了多年的历史验证，无疑是合适的、正确的，但从逻辑层次和难易程度分析，在中小学教学过程，分析问题与解决问题涉及的是已知，而发现问题、提出问题涉及的是未知。
因此，发现问题、提出问题，比分析问题、解决问题更重要，难度也更高。对中小学生来说，发现问题更多地是指发现了书本上不曾教过的新方法、新观点、新途径以及知道了以前不曾知道的新东西。这种发现对教师可能是微不足道的，但是对于学生却是难得的，因为这是一种自我超越，可以获得成功的体验和必要的经验。学生可以在这个发现的过程中领悟很多东西，可以逐渐积累创新和创造的经验。更重要的是，可以培养学生学习的兴趣，树立进步的信心，激发创造的激情。在发现问题的基础上提出问题，需要逻辑推理和理论抽象，需要精准的概括。在错综复杂的事物中能抓住问题的核心，进行条分缕析的陈述，并给出解决问题的建议，不是一件简单的事情。提出问题的关键是能够认清问题、概括问题。问题的提出必须进行深入思考和自我组织，因而，可以激发学生的智慧，调动学生的身心进入活动状态。提出问题需要找到疑难，发现疑难就要动脑思考，这与跟着教师去验证、推断既有的结论，是不同的思维方式。学生只有多次在这种思维方式训练下，才能逐渐形成创新意识、创新精神和创新能力。
2 ．类比的经验
类比（推理）是人们经常应用的一种推理方法，类比推理是一种由特殊到特殊的推理，即根据两个（或两类）事物的某些相同或相似的性质，判断它们在别的性质上也可能相同或相似。能否广泛而又恰当地运用类比推理，是衡量一个人创造性思维能力的标志之一，善于思考，举一反三，触类旁通，运用类比推理，是锻炼独立分析和解决问题能力的有效方式之一。类比作为一种重要的思考方式方法，对其的理解和掌握，仅仅依靠理论上的学习是不够的，往往需要亲身经历类比的过程，获得一定的类比经验，才能逐渐掌握这种思维方法。如，
例 4 分别思考下面的两个问题，学生所获得的经验相同吗？
（ 1）观察圆周上  个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦， 3个点可以连 3条弦， 4个点可以连 6条弦， 5个点可以连 10条弦，由此你可以看出什么规律？
（ 2）平面内有这样的结论：
如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，则必和另一条相交。如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行。
对于空间中的平面是否有类似的结论呢？如果有，应该是什么？你现有的知识和你的理解，你能证明你得到的结论么？
在上面的问题中，对于第（ 1）问题的思考过程，其实就是从 2点、 3点、 4点、…，逐点进行归纳的过程，而这个归纳的过程其实就是在寻找规律，由此猜想一般的结论，圆周上的 n个点可以连成  条弦，即  条弦。这个思维过程所获得的经验就是归纳的经验。
对于第（ 2）问题，其思考的过程核心在于类比推理，即从平面上的直线与直线之间的平行关系、垂直关系，类比到空间中的平面之间的平行关系、垂直关系，进而，获得诸如“如果一个平面和两个互相平行的平面中的一个相交，则必和另一个平面相交”、“如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行”的推断，而其中的第一个推断是正确的，而第二个推断却是错误的，而应该是“如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行或垂直”。
不难发现，两种思考过程，对于学生的思维的训练和启发，是不同的。
3 ．思考的经验
主要指在思维操作中开展活动而获得的经验，即，思维操作的经验。亦即，不借助任何直观材料而在头脑中进行归纳、类比、证明等思维活动而获得的经验。它既可以是直接经验，也可以是间接经验。
就人的理性而言，思维过程（特别是基于逻辑的思维过程）也能够积淀一种经验（这种经验就属于思考的经验）。直观不是一成不变的，随着经验的积累其功能可能逐渐加强。一个经历丰富并且善于反思的人，他的直观能力就必然会得到增强。
不仅如此，思考的经验既可以产生于逻辑地思考的过程，也可以产生于 `归纳地思考的过程，甚至于产生于某些实验过程之中。下面的案例虽然来自物理学，但是，却可以很好地体现包括数学学科在内的众多学科的“思考的经验”（其中，主要体现反证法的思考方式）。
例 5 伽利略的思维实验 传说中的伽利略先进行了“思考的实验”，而后才进行实际的抛球实验，亦即：伽利略所在的那个时代普遍的认识是“重的物体下落的速度更快一些”，对于物体 A、 B而言， A更重一些，于是，按照当时的观点， A下落的速度应该更快一些；如果将 A、 B两个物体绑在一起，成为一个新的物体 C，那么，这个物体比 A更重一些，从而， C下落的速度应该比 A下落的速度更快一些；从常理上说，一个速度快的物体绑上一个速度慢的物体，这个 “合成 ”的物体的速度应该比快的慢一些，而比慢的快一些，从而，物体 C的速度应该比 A的慢一些，而比 B的快一些。事实上，这两种分析方式都是 “合理 ”的，只有一种情况下，才不会产生矛盾，这就是 “将物体 A、 B绑在一起与不绑在一起，其下落的速度不受影响 ”，亦即，物体的下落速度与其重量无关。
正是基于这种“思考的实验”，伽利略已经从“思维实验”中预测到实验的结果，而后只需要在真实的实验中验证自己“思维实验”的结果，从而进行了真实的比萨斜塔实验——在比萨斜塔上将两个重量差异较大的铁球让其同时自由下落，可以看到二者几乎同时落地。
显然，在上面的两种实验中，前者的实验是在思维层面上进行的，而并没有依附实在的器材、真实的现实物体等，而是在个体的头脑中进行的；后者的实验是在真实的状态下进行的，是经过个体的直接操作而获得的。两种实验所获得的经验是不同的。相比之下，从真实的比萨斜塔实验获得更多的是体验性的经验（感性的成份更多一些），而从“思维实验”中获得的更多的是策略性、方法性的经验（理性的成份更多一些）。
对于听众来说，在听到上面的故事（案例 3）之后，经过自己的独立思考，也可以获得思考的经验（即一种策略性的经验），而相对于 “物体下落 ”这件事来说，获得经验是间接经验，而相对于经验本身来说，这种思考的经验又是直接的。
二、如何理解基本活动经验的类别
更进一步地，在开展活动中，人的活动可以区分为思维的操作活动和行为的操作活动，同时，由于活动对象与现实的距离有别、抽象程度的差异，而导致思维层次有高低之分。因而，可以将基本活动经验区分为更细致的若干层次、类别：
（一）（行为）操作的经验
这里的操作主要是指行为的操作，而不是指思维的操作。这种操作是进行抽象的直接素材，一般是直接经验。这种操作的直接价值取向不是问题的解决，而是获得第一手的直接感受、体验和经验，亦即，在实际的外显操作活动中来自感官、知觉的经验。如，
折纸活动的经验：如果一位学生亲身经历了如下活动，并且在活动中进行适当的反思、回味，那么，他对于“圆”概念的理解一定非常深刻：将一张较软的纸对折，再对折；而后，不断对折，从第三次对折开始，每次对折的折痕都经过第一次、第二次折痕的交点；直到对折不能进行为止。将折出的扇形的多余部分撕掉，保证将折叠的每层纸都撕到，而且撕口线尽可能平整。将剩余的部分打开铺平，就得到一个近似于圆形的纸片。
在日常的课程教学中，我们平时所说的“让学生亲身经历操作的过程”就是期望学生获得这种操作的经验（属于直接经验）。
（二）思考的经验
在思维操作中开展活动而获得的经验，即，思维操作的经验，比如，归纳的经验、类比的经验、证明的经验。它既可以是直接的经验，也可以是间接的经验。 就人的理性而言，思维过程（特别是基于逻辑的思维过程）也能够积淀出一种经验（这种经验就属于思考的经验），一个经历丰富并且善于反思的人，他的直观能力必然会随着经验的积累而增强。而直观能力也不是一成不变的，随着经验的积累其功能也可以逐渐加强或拓展。 不仅如此，思考的经验既可以产生于逻辑地思考的过程，也可以产生于归纳地思考的过程，甚至是产生于某些实验过程之中。
著名数学家华罗庚在《数学归纳法》一书中，对简单枚举归纳推理的或然性做了很好的说明，正好体现了思考的经验：
“从一个袋子里摸出来的第一个是红玻璃球，第二个是红玻璃球，甚至第三个，第四个，第五个都是红玻璃球时，我们立刻就会猜想：‘是不是袋子里所有的球都是红玻璃球’但是，当我们有一次摸出一个白玻璃球时，这个猜想失败了。这时，我们会出现另一个猜想：‘是不是袋里的东西全都是玻璃球’，当有一次摸出一个木球时，这个猜想又失败了。那时，我们又会出现第三个猜想：‘是不是袋里的东西都是球’，这个猜想对不对，还必须继续加以检验，要把袋里的东西全部摸出来，才能见个分晓”。
在上面的实验中，有的实验是在思维层面进行的，而没有依附实在的器材、现实的物体等，仅仅在头脑中进行的；而有的实验是在真实状态下进行的，是经过个体的直接操作而获得的。
相比之下，从真实的比萨斜塔实验中获得的更多的是体验性的经验（感性的成分更多一些），而从“思考的实验”中获得的更多的是策略性、方法性的经验（理性的成分更多一些）。
对于这个故事的听众来说，在经过自己的独立思考之后也可以获得思考的经验（即一种策略性的经验），而这种经验相对于抛球活动来说是间接经验。
（三）探究的经验
这里的“探究”指的是，立足已有的问题，围绕问题的解决而开展的活动，这里的活动既有外显行为的操作活动，也有思维层面的操作活动，但是，无论如何，这种操作活动并没有完全脱离行为操作，而是 融行为操作与思维操作于一体。同时，这种探究的直接价值取向是问题解决，而不仅仅为了获取第一手的直接感受、体验和经验，但是，探索所获得的经验一般是直接经验。
探究的经验不仅表现在某个具体的学科领域，而且也表现在，综合运用多学科知识解决一个综合的课题而获得的直接经验。这些经验既可以是在探索直接源于生活、社会中的活动而获得的经验，也可以是探索间接来源于生活、社会的活动中获得的经验；这里的活动，既可以是为了学生的学习而设计的纯粹的学科活动，也可以是源于学科本身的活动。但是，无论如何，在这里， 供探索的活动都有直接的活动材料、内容（情境一般比较真实，相对具体），而不是间接的、纯粹思维层面的活动。例如，
在高速公路上行驶的汽车中，如何估计汽车行驶的平均速度？对于这个问题的探究，就是一个很好的综合课题。对此，学生有很多种方案，如，借助自己脉搏的跳动次数，当汽车行驶到两个里程标志之间时，测量出自己的脉搏在其间跳动的次数，将其换算成时间，就可测算出汽车行驶的平均速度。如，平时自己的脉搏每分钟跳动 63次，而在第 352千米与 353千米之间行驶时，脉搏跳动了 32次，也就是说，在大约 30秒的时间内汽车行驶了 1千米，从而，车速大约是 2千米 /分钟，即 120千米 /小时。其间，不仅用到医学、物理学知识，也用到了估算等数学内容。
（四）复合的经验
指兼有上面所述的（行为）操作的经验、思考的经验、探究的经验等三种类型中的两种以上的经验。
在现实状态下，特别是教育教学活动中，活动经验既有可以是直接操作的经验，也可以是思考的经验、探究的经验，更有可能包含操作、探索、思考等多种成分在内。例如，在诸如购买物品、校园设计等直接的行为操作活动中，对大多数人来说，活动之初往往需要先进行思维上的深思熟虑而后再操作，这就是“思考的经验”产生的基础。在开展预测结果、探究成因等活动中，运用分析、归纳等方法开展活动有时也需要借助部分的实物操作而进行，因而，在一些思考的活动中所获得的经验，一般是思考的经验，有时也混杂着操作的经验。
总之，在基本活动经验中，“操作的经验”中的“操作”实际是广义的，凡是动手实践都可以理解成（行为）操作；而“思考的经验”中的“思考”，既可以是预测性的思考，也可以是反思性的思考，也可以是调查性的思考，只要是依据思维材料（而不是借助外在的实在物体）而获得的，都可以理解成思考的经验。
第五节 基本活动经验在课程教材中的地位和作用
随着基础教育课程改革研究的不断深入，课程教材的功能发生深刻变化，教科书不再仅仅承担输送基础知识、基本技能的任务，也承担着提供活动载体、让学生积累必要的基本活动经验的功能。
一、如何理解基本活动经验在课程教材中的地位和作用？
（一）使学生获取基本活动经验是问题驱动式教材呈现方式的基本目的之一
作为义务教育课程标准实验教科书的基本结构之一，“问题情境→建立模型→解释应用→拓展反思”成为问题驱动式教材呈现方式的具体表现形式。其中的问题情境乃至整个活动设计，旨在促进学生在独立思考、自主探索的过程之中真正理解和掌握相应的知识、技能、思想，同时获得广泛的基本活动经验。例如，某套数学课程标准实验教科书是这样呈现“周长”的内容的：
例 1周长的教科书呈现
Ⅰ．情境引入 ：教材首先通过“一个小蚂蚁爬树叶”、“一个枫叶的边缘线”两个情境，引入周长的概念，从学生的生活实际中寻找学生熟悉的例子，使学生对周长有了直观的认识。
Ⅱ．动手操作： 通过“描树叶的边线”以及“摸课桌面和数学书封面的边线”，让学生对周长有更加切身的感知，加深了对周长表象的感性认识，初步认识周长的意义。
Ⅲ .实践活动： 通过“量一量你的腰围、头围，并与同伴说一说”、“量一量一片树叶的周长，并与同伴”实践活动这个环节，让学生再次体验周长的意义，最主要的是通过学生的自主、合作、探究等学习方式，选择自己喜欢的测量方法，加深对周长概念的认识和理解。在这一环节中，最重要的是让学生亲身体验周长就在我们身边，周长的意义重大。
其中，通过从生活中的不规则图形中，教科书抽象出数学中的周长概念，试图给学生这样的认识：生活中的不规则图形有很多，不只是规则图形才有周长。另外，通过让学生测量周长，感受测量方法的多样性。如此，教科书更强调从一般性的角度引入周长的概念，体现知识的形成过程，关注学生直接操作经验和体验基础上的自我建构。即从任意图形（包括不规则图形）入手，使学生体会到周长是一个一般概念，避免学生产生“只有长方形、正方形、圆等规则图形才能求周长”的思维定势；与其同时，通过对一般图形周长求法的探索，使学生经历长、正方形周长求法的知识形成过程，为进一步学习周长的求法（周长公式）等内容作好铺垫。其中， 积累必要的操作经验，就成为“周长”内容呈现的主线和关键。
（二）基本活动经验是学生获得学科理解的催化剂和粘合剂
基本活动经验作为学生亲自或间接经历了活动过程而获得的经验，它是学生获得学科理解的重要载体，起到催化剂和粘合剂的作用。例如，
例 2 语文课上的“反对声”。 语文课上，教师正启发同学：“该用怎样的语气朗读《蚕姑娘》最后一段？”同学们回答：“应用高兴的语气。”坐在最后排的一位男生小声嘟哝了一句：“没什么可高兴的。”细心的教师听见了，只见她微微一顿，笑着说：“让我们听一听这位同学的想法。”“蚕姑娘产下卵后，就要死了，有什么可高兴的？还有，这时候还叫蚕姑娘不对，该叫蛾妈妈。”教师竖起大拇指：“你懂得真多，你是从哪里知道的？”这一下，其他同学也插话了：“老师，课外书上有，课文插图上也有。”教师充满情意地说：“是呀，同学们，蛾妈妈产下蚕卵后要死了。第二年春天，天气暖洋洋，蚕卵里又会钻出可爱的蚕宝宝。蛾妈妈给这个世界带来了蚕宝宝，还留下了漂亮的蚕茧，她心里怎样想的呢？”坐在最后排的一位男生若有所思地嚷道，“她对自己很满意。”班上的其他同学纷纷回答，“她觉得自己很能干”，“…”，此时，教师微笑着说，“让我们通过朗读，把她心里的想法读出来吧。”
正是在教师的循循善诱下，那位提“反对声”的小男生亲身经历了关于“蚕”认知的变化，这种变化既尊重了学生的自尊心，又引导学生从积极的视角审视“蚕”的一生，不仅这位同学获得新的认识，而且，全班的大部分同学都能获得类似的感受。正是这种思维的碰撞，才能真正促进学生思维水平的提高，而教师对于这种突发事件的随机应变恰恰反映了教师良好的专业素养和教学智慧。
（三）基本活动经验是过程性目标的内容之一
作为新课程的“知识与技能、过程与方法、情感态度价值观”三维目标之一，“过程与方法”一直未能得到很好的落实，其中的一个重要原因在于，与知识与技能目标相比，这个目标没有“抓手”，不便于课程实施中的实际把握。
事实上，过程与方法目标实际上体现了课程对于学生学科素养、学科能力的要求，而这些要求完全可以通过积累基本活动经验来完成。正如一位初中化学教师所体会到的：
例 3 化学实验中的一次意外 。 在蜡烛燃烧的实验，我注意引导学生观察反应前各物质的物理性质、反应过程中的变化，通过用白瓷板压火焰，续燃吹灭火焰白烟的走火现象以及送学生礼物“自制蜡烛盆景──勇攀科学高峰”，学生在这一系列的蜡烛变化中，不仅饶有趣味地学习知识，还初步形成了用化学的眼光看待眼前的物质世界，在亲身的经历中体验学习的乐趣，形成属于自己的心理品质。学生在学习体会中说到：“尝到当研究生的滋味，从实验中获得有趣的经验”“就连平时家里不起眼的蜡烛也成了化学家庭小实验的主要观察对象，没想到在这么短短的一节蜡烛中我们竟然能得到如此多的化学知识！”通过这些“活动与探究”，学生会慢慢地形成从色、态、味到光泽度、硬度、密度、溶解性、传热性、导电性、弹性的研究物质物理性质的一般思路，从看、闻、捏到加热、加水搅拌、试验导电性强弱等科学探究方法，更重要的是开启了探究学习的乐趣大门。
正如这位教师总结到的，“活动与探究”不仅让学生学到了一些知识，更重要的是，通过一次次的活动，学生学会了动手、动脑，并形成了一种情感、态度与价值观，养成了一种探求、思索的好习惯。
我们赞成他的观点，但是，让学生活动与探究， 获得基本活动经验也是其中的最重要目标之一，而且也是最直接的目的。以往的思考恰恰忽略了这个关键点。
二、如何结合初中数学的不同领域的内容特点，分别培养学生的基本活动经验？
积累学生的数学活动经验，需要教师精心设计，不仅需要深刻体会课程标准的有关规定要求，而且需要细心揣摩教科书的编写意图，在深刻了解学生原有的生活经验和数学活动经验的基础上，进行恰当的课堂教学设计。例如，在初中“生活中的轴对称现象”的教学中，可以设计如下教学设计：
I ．课题： 义务教育课程标准实验教科书数学（ 7-9年级，北京师范大学出版社）七年级下册第七章第 1节轴对称现象
II ．教学内容分析：
轴对称是现实生活中广泛存在的一种现象。它不仅是探索一些图形的性质，认识、描述物体的形状和空间位置关系的必要手段之一，而且也是解决现实世界中的具体问题，并进行交流的重要工具。学习生活中的轴对称，欣赏并体验轴对称在现实生活中的广泛应用，不仅可以领略数学抽象的过程，即“现实问题数学化”，而且，体会数学应用的过程，即“数学内容现实化”；认识和掌握“生活中的轴对称”，不仅是初中数学学习的重要目标之一，而且也是密切数学与现实之间必然联系的重要桥梁之一。
直接从生活的角度学习轴对称，是新课程标准实验教科数学“轴对称”教学内容设置的基本出发点，这不同于“变换几何”中的轴对称变换（即反射变换）。
教学重点：理解轴对称的概念。
教学难点：对轴对称有关活动的正确把握和基本定位
III ．教学目标分析
1. 在丰富的现实情景中，让学生经历观察、折叠、剪纸、“扎眼”、印墨迹以及欣赏与分析图形等数学活动过程，逐步发展学生的空间观念。
2. 通过丰富的生活实例认识轴对称现象及其共同特征，初步掌握轴对称图形、对称轴、两个图形成轴对称的基本含义，能够识别简单的轴对称图形极其对称轴。
3. 欣赏现实生活中的轴对称图形，体会轴对称在现实生活中的广泛存在性和丰富的文化价值。
4. 通过观察、折叠、剪纸、“扎眼”、印墨迹以及欣赏与分析图形等数学活动过程，培养合作、交流和反思的主动意识。
IV ． 教学过程设计
（ I）情景导入
1. 展现生活中的大量图片和录象片段
片段 1：古典建筑的设计过程、建造过程。
片段 2：山东潍坊风筝艺人正在扎制风筝，画外音介绍“风筝”的对称性。
片段 3：风筝在空中随风翩翩起舞，飞机在凌空翱翔，画外音“飞机、轮船的平衡”。
片段 4：一幅漂亮的山水倒影画，照镜子正好将镜子中的影子和人一块出现，章前图的主体图 ----北京某地高速公路所拍摄到的侧俯视图。
评注 ：为学生的学习提供多种思考途径，是教学设计所必需考虑的，尤其对于落实“不同的人学习不同的数学，不同的人在数学上获得不同的发展”来说尤其重要，当然，这也是学生学习个性化、数学学习地域化的基本要求。
（ II）学生思考、讨论
（ 1）从上面的片段你有什么收获？
（ 2）你能举出生活中的类似现象吗？
（反映了它反映了现代生活中非常普遍的轴对称现象）
（ III）分析、归纳、整理、抽象
1 ．教师 收集学生讨论中的图片，增加自己的图片（其中，有一幅是通过剪纸得到的 ----这个图案如果学生能提出，更好，否则，教师出示或提供一段录象“中国民间艺人正在剪纸，一剪下去，立即得到一幅漂亮的轴对称剪纸图案”），如，下面的一些图片
2 ．学生分组讨论 ：
- 上面这些图形有什么共同的特征？
- 有人用“轴对称”一词描述上面的这些现象，你认为这个词是什么含义？
- 你能将上图中的一些图案沿某条直线对折，使直线两旁的部分完全重合吗？
评注：在这里，不仅要展现对称（二维图形的对称和三维图形的对称）给人以视觉上的美感，而且也应当反映其中的一些科学道理（如飞机、轮船的对称能使飞机、轮船在航行中保持平衡；建筑上的对称多半是为了美观，但有时也考虑到使用上的方便和受力平衡等问题。
（ IV）明晰
教师 给出 轴对称图形的定义以及 对称轴的概念：
如果某个图形沿某条直线对折，图形在直线两旁的部分能完全
重合，那么，这样的图形称为轴对称图形 ，这条直线叫做对称轴。
注意 ：
1. 强调“如果对折” ----有时可能是假想的对折活动；左右匀
称、协调；左右在一定条件下能重合。
2. 讨论轴对称现象，有时并不需要真正的折叠。沿图中的每个图形上所画的直线直立放置一面镜子，在镜子所反映出来的一半正好把图补成完整的（和原来的图形一样）。你也可以按照镜子所示的方式验证前面的一些图形是轴对称图形。能说明其中的道理吗？
评注 ：采用不同于概念引入时的问题情境，强化学生对初步获得的概念的认识，是激发学生数学学习兴趣、深化认识的重要手段。
（ V）应用与深化
1 ．问题：“如何做出一个轴对称图案”
- 分组让学生先讨论做的方案，然后分别合作完成。
- 小组完成后，两个组之间分别交流。
- 大班交流各自的做法，尤其是，要讲明这种做法的道理，以及你的如何想到这样做的。
2 ．备用方案（万一学生不能按照上面的路子走，还可以使用如下方案 ：
下图是在一张质地较软、吸水性能较好的纸（如，报纸、餐巾纸）上滴一滴墨水，沿纸的中部将纸迅速对折、压平，并用手指压出清晰的折痕，将纸打开、铺平，所得到的图案。
（ 1）位于折痕两侧的墨水迹图案彼此之间有什么关系？与你的同学交流、讨论。
（ 2）取一张质地较硬的纸，将纸对折，并折出一条比较清晰的折痕，用剪刀沿折痕随意剪出一个图案（或用手撕出一个图案）。将你剪出的图案与图示中的墨水迹图案相比较，你能发现什么？
（ 3）如果想剪出图示的小人以及“十字”，你该怎样剪？你可以先想一想，并说明你设计的做法。也可以亲自动手剪一剪。
（ 4）有什么简单方法（即剪的刀数尽可能少）剪出每个图形吗？
（ 5）在教室里、学校里以及街道两旁 ，尽可能多地找出具有对称特征的物体和建筑物，与你的同学交流一下这些物体做成这种形状的优点。
评注 ： “制作出一个轴对称图形”，有的学生往往通过“在纸上滴一滴墨水，沿纸的中部将纸对折、压平、然后打开，通过对折得到一个墨迹” ,有的学生则是通过对折一张纸、用针扎眼的方式得到一张轴对称图案，也有的学生是通过将纸对折、利用手撕或剪刀剪等方式得到一个或偶数个轴对称的图案，在这里，不同的学生所依附的生活经验（墨迹、剪纸、扎眼）有所不同，他们对制作轴对称纸片的活动经验也有所差异。
实际的教学显示，不同的学生从不同的生活背景和生活阅历出发，都能得到轴对称图形，彼此之间的交流可以实现他们对轴对称图形关键特性的理解和认识，同时，大家在交流中都能获的理解、分享成功的快乐！在整个过程中，学生在自主探索和合作交流的过程中，经历了观察、实验、归纳、类比、直觉、数据处理等思维过程，而这样的过程能够促进学生对数学的真正理解和把握，从中不仅获得了数学知识、技能，而且经历了数学活动的过程，体验了数学活动的方法，同时，情感、态度、价值观都能得到很好的发展。
3. 教师选择上面做轴对称图形的几种分别方法，分别请一位同学在班上演示自己的做法。
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