Coursera机器学习笔记(二)

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一. 基本概念

这一节我们来学习单变量的线性回归模型, 首先了解基本概念.

1.1 训练集

由训练样例(training example)组成的集合就是训练集(training set), 如下图所示, 其中(x,y)$(x,y)$是一个训练样例, (x(i),y(i))$(x^{(i)},y^{(i)})$是第i$i$个训练样例.

1.2 假设函数

使用某种学习算法对训练集的数据进行训练, 我们可以得到假设函数(Hypothesis Function), 如下图所示. 在房价的例子中，假设函数就是一个房价关于房子面积的函数。有了这个假设函数之后, 给定一个房子的面积我们就可以预测它的价格了.

我们使用如下的形式表示假设函数, 为了方便hθ(x)$h_{\theta }(x)$也可以记作h(x)$h(x)$.

hθ(x)=θ0+θ1x$$h_{\theta }(x)={\theta }_0+{\theta }_{1}x$$
以上这个模型就叫做单变量的线性回归(Linear Regression with One Variable). (Linear regression with one variable = Univariate linear regression，univariate是one variable的装逼写法.)

二. 代价函数

2.1 什么是代价函数

只要我们知道了假设函数, 我们就可以进行预测了. 关键是, 假设函数中有两个未知的量θ0,θ1${\theta }_0,{\theta }_1$. 当选择不同的θ0${\theta }_0$和θ1${\theta }_1$时, 我们模型的效果肯定是不一样的. 如下图所示, 列举了三种不同的θ0${\theta }_0$和θ1${\theta }_1$下的假设函数.

现在的问题就是该如何选择这两个参数了. 我们的想法是选择某个
θ0${\theta }_0$和θ1${\theta }_1$，使得对于训练样例(x,y)$(x,y)$，hθ(x)$h_{\theta }(x)$最”接近”y$y$。越是接近, 代表这个假设函数越是准确, 这里我们选择均方误差来作为衡量标准, 即我们想要每个样例的估计值与真实值之间差的平方的均值最小。用公式表达为:

minimizeθ0,θ112mm∑i=0(hθ(x(i))−y(i))2$$\underset{{\theta }_0,{\theta }_1}{minimize}\frac{1}{2m}\sum _{i=0}^m{\left(h_{\theta }(x^{(i)})-y^{(i)}\right)}^2$$

(其中的1/2$1/2$只是为了后面计算的方便)我们记:

J(θ0,θ1)=12mm∑i=0(hθ(x(i))−y(i))2$$J({\theta }_0,{\theta }_1)=\frac{1}{2m}\sum _{i=0}^m{\left(h_{\theta }(x^{(i)})-y^{(i)}\right)}^2$$

这样就得到了我们的代价函数(cost function), 也就是我们的优化目标, 我们想要代价函数最小:

minimizeθ0,θ1J(θ0,θ1)$$\underset{{\theta }_0,{\theta }_1}{minimize}J({\theta }_0,{\theta }_1)$$

2.2 代价函数与假设函数

现在为了更方便地探究hθ(x)$h_{\theta }(x)$与J(θ0,θ1)$J({\theta }_0,{\theta }_1)$的关系, 先令θ0${\theta }_0$等于0, 得到了简化后的假设函数，有假设函数的定义可知此时的假设函数是经过原点的直线. 相应地也也得到简化的代价函数。如图所示:

简化之后，我们令θ1${\theta }_1$等于1, 就得到hθ(x)=x$h_{\theta }(x)=x$如下图左所示。图中三个红叉表示训练样例，通过代价函数的定义我们计算得出J(1)=0$J(1)=0$，对应下图右中的(1,0)$(1,0)$坐标。

重复上面的步骤，再令θ1=0.5${\theta }_1=0.5$，得到hθ(x)$h_{\theta }(x)$如下图左所示。通过计算得出J(0.5)=0.58$J(0.5)=0.58$，对应下图右中的(0.5,0.58)$(0.5,0.58)$坐标。

对于不同的θ1${\theta }_1$，对应着不同的假设函数hθ(x)$h_{\theta }(x)$，于是就有了不同的J(θ1)$J({\theta }_1)$的值。将这些点连接起来就可以得到J(θ1)$J({\theta }_1)$关于θ1${\theta }_1$的函数图像，如下图所示：

我们的目标就是找到一个θ$\theta$使得J(θ)$J(\theta )$最小, 通过上面的描点作图的方式, 我们可以从图中看出, 当θ1=1${\theta }_1=1$的时候, J(θ)$J(\theta )$取得最小值.

2.3 代价函数与假设函数II　　

在上一节中，我们令θ0${\theta }_0$等于0, 并且通过设置不同的θ1${\theta }_1$来描点作图得到J(θ1)$J({\theta }_1)$的曲线。这一节我们不再令θ0=0${\theta }_0=0$, 而是同时设置θ0${\theta }_0$和θ1${\theta }_1$的值, 然后再绘出J(θ0,θ1)$J({\theta }_0,{\theta }_1)$的图形. 因为此时有两个变量，很容易想到J(θ1)$J({\theta }_1)$应该是一个曲面, 如下图所示:

这个图是教授用matlab绘制的，由于3D图形不太方便我们研究，我们就使用二维的等高线(上图右上角教授写的contour plots/figures)，这样看上去比较清楚一些。如下图右，越靠近中心表示J(θ0,θ1)$J({\theta }_0,{\theta }_1)$的值越小(对应3D图中越靠近最低点的位置)。下图左表示当θ0=800${\theta }_0=800$, θ1=0.15${\theta }_1=0.15$的时候对应的hθ(x)$h_{\theta }(x)$，通过θ0${\theta }_0$, θ1${\theta }_1$的值可以找到下图右中J(θ0,θ1)$J({\theta }_0,{\theta }_1)$的值。

类似地：



我们不断尝试直到找到一个最佳的hθ(x)$h_{\theta }(x)$。是否有特定的算法能帮助我们找到最佳的hθ(x)$h_{\theta }(x)$呢? 下面我们就要介绍这个算法-梯度下降算法.

三. 梯度下降算法

3.1 梯度下降

梯度下降算法是一种优化算法, 它可以帮助我们找到一个函数的局部极小值点. 它不仅仅可以用在线性回归模型中, 在机器学习许多其他的模型中也可以使用它. 对于我们现在研究的单变量线性回归来说, 我们想要使用梯度下降来找到最优的θ0,θ1${\theta }_0,{\theta }_1$. 它的思想是, 首先随机选择两个θ0,θ1${\theta }_0,{\theta }_1$(例如, θ0=0,θ1=0${\theta }_0=0,{\theta }_1=0$), 不断地改变它们的值使得J(θ)$J(\theta )$变小, 最终找到J(θ)$J(\theta )$的最小值点.

可以把梯度下降的过程想象成下山坡, 如果想要尽可能快的下坡, 应该每次都往坡度最大的方向下山.

梯度下降算法得到的结果会受到初始状态的影响, 即当从不同的点开始时, 可能到达不同的局部极小值, 如下图:

下面具体看一下算法的过程, 如下图所示, 其中:=$:=$表示赋值，α$\alpha$叫做学习率用来控制下降的幅度，∂∂θjJ(θ0,θ1)$\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }{\theta }_j}J({\theta }_0,{\theta }_1)$叫做梯度。这里一定要注意的是，算法每次是同时(simultaneously)改变θ0${\theta }_0$和θ1${\theta }_1$的值，如图下图所示。

3.2 梯度和学习率

我们先来看看梯度下降算法的梯度是如何帮助我们找到最优解的. 为了研究问题的方便我们还是同样地令θ0${\theta }_0$等于0，假设一开始选取的θ1${\theta }_1$在最低点的右侧，此时的梯度(斜率)是一个正数。根据上面的算法更新θ1${\theta }_1$的时候，它的值会减小, 即靠近最低点。

类似地假设一开始选取的θ1${\theta }_1$在最低点的左侧，此时的梯度是一个负数，根据上面的算法更新θ1${\theta }_1$的时候，它的值会增大，也会靠近最低点.

如果一开始选取的θ1${\theta }_1$恰好在最适位置，那么更新θ1${\theta }_1$时，它的值不会发生变化。

学习率α$\alpha$会影响梯度下降的幅度。如果α$\alpha$太小, θ$\theta$的值每次会变化的很小，那么梯度下降就会非常慢；相反地，如果α$\alpha$过大，θ$\theta$的值每次会变化会很大，有可能直接越过最低点，可能导致永远没法到达最低点。

由于随着越来越接近最低点, 相应的梯度(绝对值)也会逐渐减小，所以每次下降程度就会越来越小, 我们并不需要减小α$\alpha$的值来减小下降程度。

3.3 计算梯度

根据定义, 梯度也就是代价函数对每个θ$\theta$的偏导:

我们将hθ(x(i))=θ0+θ1x(i)$h_{\theta }(x^{(i)})={\theta }_0+{\theta }_1{x}^{(i)}$带入到J(θ0,θ1)$J({\theta }_0,{\theta }_1)$中，并且分别对θ0${\theta }_0$和θ1${\theta }_1$求导得:

由此得到了完整的梯度下降算法:

还记得这个图吗, 前面说了梯度下降算法得到的结果会受初始状态的影响, 即初始状态不同, 结果可能是不同的局部最低点.

事实上，用于线性回归的代价函数总是一个凸函数(Convex Function)。这样的函数没有局部最优解，只有一个全局最优解。所以我们在使用梯度下降的时候，总会得到一个全局最优解。

下面我们来看一下梯度下降的运行过程：






迭代多次后，我们得到了最优解。现在我们可以用最优解对应的假设函数来对房价进行预测了。例如一个1,250平方英尺的房子大概能卖到250k$，如下图所示：