专题11圆
一、选择题
1．（2017四川省南充市）如图，在RtABC中，AC=5cm，BC=12cm，ACB=90°，把RtABC所在的直线旋转一周得到一个几何体，则这个几何体的侧面积为（）
A．60πcm2B．65πcm2C．120πcm2D．130πcm2
【答案】．
考点：1．圆锥的计算；2．点、线、面、体2．（2017四川省广安市）如图，AB是O的直径，且经过弦CD的中点H，已知cosCDB=，BD=5，则OH的长度为（）
【答案】．
【解析】
试题分析：连接OD，如图所示：
AB是O的直径，且经过弦CD的中点H，AB⊥CD，OHD=∠BHD=90°，cos∠CDB==，BD=5，DH=4，BH==3，设OH=x，则OD=OB=x3，在RtODH中，由勾股定理得：x242=（x3）2，解得：x=，OH=；故选D．
考点：1．圆周角定理；2．解直角三角形3．（2017四川省眉山市）如图，在ABC中，A=66°，点I是内心，则BIC的大小为（）
A．114°B．122°C．123°D．132°
【答案】．
【解析】
试题分析：A=66°，ABC+∠ACB=114°，点I是内心，IBC=∠ABC，ICB=∠ACB，IBC+∠ICB=57°，BIC=180°﹣57°=123°，故选C．考点：4．（2017四川省绵阳市）“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动，如图所示是一个陀螺的立体结构图，已知底面圆的直径AB=8cm，圆柱体部分的高BC=6cm，圆锥体部分的高CD=3cm，则这个陀螺的表面积是（）
A．68πcm2B．74πcm2C．84πcm2D．100πcm2
【答案】．
【解析】
试题分析：底面圆的直径为8cm，高为3cm，母线长为5cm，其表面积=π4×5+42π+8π×6=84πcm2，故选C．
考点：1．圆锥的计算；2．几何体的表面积5．（2017四川省达州市）以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（）
B．C．D．
【答案】．
考点：6．（2017山东省枣庄市）如图，在网格（每个小正方形的边长均为1）中选取9个格点（格线的交点称为格点），如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为（）
【答案】．
【解析】
试题分析：给各点标上字母，如图所示．
AB=，AC=AD==，AE==，AF==，AG=AM=AN==5，时，以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内．故选B．
考点1．点与圆的位置关系；2．勾股定理；3．推理填空题7．（2017山东省济宁市）如图，在RtABC中，ACB=90°，AC=BC=1，将RtABC绕点A逆时针旋转30°后得到RtADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（）
A．B．
【答案】．
【解析】
试题分析：ACB=90°，AC=BC=1，AB=，S扇形ABD==．
又Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到RtADE，Rt△ADE≌Rt△ACB，S阴影部分=SADE+S扇形ABD﹣SABC=S扇形ABD=．故选A．
考点：1．扇形面积的计算；2．等腰直角三角形；3．旋转的性质8．（2017广东省）如图，四边形ABCD内接于O，DA=DC，CBE=50°，则DAC的大小为（）
A．130°B．100°C．65°D．50°
【答案】．
考点：9．（2017广西四市）如图，O是ABC的外接圆，BC=2，BAC=30°，则劣弧的长等于（）
B．C．D．
【答案】．
【解析】
试题分析：如图，连接OB、OC，BAC=30°，BOC=2∠BAC=60°，又OB=OC，OBC是等边三角形，BC=OB=OC=2，劣弧的长为：=．故选A．
考点：1．弧长的计算；2．圆周角定理10．（2017四川省眉山市）如图，AB是O的弦，半径OCAB于点D，且AB=8cm，DC=2cm，则OC=cm．
【答案】．
【解析】
试题分析：连接OA，OC⊥AB，AD=AB=4cm，设O的半径为R，由勾股定理得，OA2=AD2OD2，R2=42+（R﹣2）2，解得R=5OC=5cm．故答案为：5．
考点：1．垂径定理；2．勾股定理11．（2017四川省达州市）如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，将矩形沿AE翻折，使点B落在CD边F处，连接AF，在AF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作O与AD相切于点P．若AB=6，BC=，则下列结论：F是CD的中点；O的半径是2；AE=CE；．其中正确结论的序号是．
【答案】．
【解析】
试题分析：AF是AB翻折而来，AF=AB=6，AD=BC=，DF==3，F是CD中点；正确；
连接OP，O与AD相切于点P，OP⊥AD，AD⊥DC，OP∥CD，，设OP=OF=x，则，解得：x=2，正确；RT△ADF中，AF=6，DF=3，DAF=30°，AFD=60°，EAF=∠EAB=30°，AE=2EF；
AFE=90°，EFC=90°﹣AFD=30°，EF=2EC，AE=4CE，错误；
连接OG，作OHFG，AFD=60°，OF=OG，OFG为等边；同理OPG为等边；
POG=∠FOG=60°，OH=OG=，S扇形OPG=S扇形OGF，S阴影=（S矩形OPDH﹣S扇形OPG﹣SOGH）（S扇形OGF﹣SOFG）=S矩形OPDH﹣SOFG==．正确；故答案为：．
考点：1．切线的性质；2．矩形的性质；3．扇形面积的计算；4．翻折变换（折叠问题）；5．综合题12．（2017山东省枣庄市）如图，在ABCD中，AB为O的直径，O与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB=12，C=60°，则的长为．
【答案】π．
考点1．切线的性质；2．平行四边形的性质；3．弧长的计算13．（2017山东省济宁市）如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，它的六条对角线又围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2，如此继续下去，则正六边形A4B4C4D4E4F4的面积是．
【答案】．
考点：1．正多边形和圆；2．规律型；3．综合题14．（2017四川省南充市）如图，在RtABC中，ACB=90°，以AC为直径作O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F．
（1）求证：DE是O的切线；
（2）若CF=2，DF=4，求O直径的长．
【答案】．
【解析】
试题分析：（1）连接OD、CD，由AC为O的直径知BCD是直角三角形，结合E为BC的中点知CDE=∠DCE，由ODC=∠OCD且OCD+∠DCE=90°可得答案；
（2）设O的半径为r，由OD2DF2=OF2，即r242=（r2）2可得r=3，即可得出答案．
试题解析：（1）如图，连接OD、CDAC为O的直径，BCD是直角三角形，E为BC的中点，BE=CE=DE，CDE=∠DCE，OD=OC，ODC=∠OCD，ACB=90°，OCD+∠DCE=90°，ODC+∠CDE=90°，即ODDE，DE是O的切线；
（2）设O的半径为r，ODF=90°，OD2+DF2=OF2，即r242=（r2）2，解得：r=3，O的直径为6．
考点：15．（2017四川省广安市）如图，已知AB是O的直径，弦CD与直径AB相交于点F．点E在O外，做直线AE，且EAC=∠D．
（1）求证：直线AE是O的切线．
（2）若BAC=30°，BC=4，cosBAD=，CF=，求BF的长．
【答案】．
【解析】
试题分析：（1）由直径所对的圆周角是直角得：ADB=90°，则ADC+∠CDB=90°，所以EAC+∠BAC=90°，则直线AE是O的切线；
（2）分别计算AC和BD的长，证明DFB∽△AFC，列比例式得：，得出结论．
试题解析：（1）连接BD，AB是O的直径，ADB=90°，即ADC+∠CDB=90°，EAC=∠ADC，CDB=∠BAC，EAC+∠BAC=90°，即BAE=90°，直线AE是O的切线；
（2）AB是O的直径，ACB=90°，RtACB中，BAC=30°，AB=2BC=2×4=8，由勾股定理得：AC==，RtADB中，cosBAD==，=，AD=6，BD==，BDC=∠BAC，DFB=∠AFC，DFB∽△AFC，，，BF=．
考点：1．切线的判定与性质；2．解直角三角形16．（2017四川省绵阳市）如图，已知AB是圆O的直径，弦CDAB，垂足为H，与AC平行的圆O的一条切线交CD的延长线于点M，交AB的延长线于点E，切点为F，连接AF交CD于点N．
（1）求证：CA=CN；
（2）连接DF，若cosDFA=，AN=，求圆O的直径的长度．
【答案】．【解析】
试题分析：（1）连接OF，根据切线的性质结合四边形内角和为360°，即可得出M+∠FOH=180°，由三角形外角结合平行线的性质即可得出M=∠C=2∠OAF，再通过互余利用角的计算即可得出CAN=90°﹣OAF=∠ANC，由此即可证出CA=CN；
（2）连接OC，如图2所示．
cos∠DFA=，DFA=∠ACH，=．设CH=4a，则AC=5a，AH=3a，CA=CN，NH=a，AN===a=，a=2，AH=3a=6，CH=4a=8．
设圆的半径为r，则OH=r﹣6，在RtOCH中，OC=r，CH=8，OH=r﹣6，OC2=CH2+OH2，r2=82（r﹣6）2，解得：r=，圆O的直径的长度为2r=．
考点：1．切线的性质；2．勾股定理；3．圆周角定理；4．解直角三角形17．（2017四川省达州市）如图，ABC内接于O，CD平分ACB交O于D，过点D作PQAB分别交CA、CB延长线于P、Q，连接BD．
（1）求证：PQ是O的切线；
（2）求证：BD2=AC?BQ；
（3）若AC、BQ的长是关于x的方程的两实根，且tanPCD=，求O的半径．
【答案】．
【解析】
试题分析：（1）根据平行线的性质和圆周角定理得到ABD=∠BDQ=∠ACD，连接OB，OD，交AB于E，根据圆周角定理得到OBD=∠ODB，O=2∠DCB=2∠BDQ，根据三角形的内角和得到2ODB+2∠O=180°，于是得到ODB+∠O=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）证明：连接AD，根据等腰三角形的判定得到AD=BD，根据相似三角形的性质即可得到结论；
试题解析：（1）证明：PQ∥AB，ABD=∠BDQ=∠ACD，ACD=∠BCD，BDQ=∠ACD，如图1，连接OB，OD，交AB于E，则OBD=∠ODB，O=2∠DCB=2∠BDQ，在OBD中，OBD+∠ODB+∠O=180°，2∠ODB+2∠O=180°，ODB+∠O=90°，PQ是O的切线；
（2）证明：如图2，连接AD，由（1）知PQ是O的切线，BDQ=∠DCB=∠ACD=∠BCD=∠BAD，AD=BD，DBQ=∠ACD，BDQ∽△ACD，，BD2=AC?BQ；
（3）解：方程可化为x2﹣mx4=0，AC、BQ的长是关于x的方程的两实根，AC?BQ=4，由（2）得BD2=AC?BQ，BD2=4，BD=2，由（1）知PQ是O的切线，OD⊥PQ，PQ∥AB，OD⊥AB，由（1）得PCD=∠ABD，tan∠PCD=，tan∠ABD=，BE=3DE，DE2+（3DE）2=BD2=4，DE=，BE=，设OB=OD=R，OE=R﹣，OB2=OE2+BE2，R2=（R﹣）2（）2，解得：R=，O的半径为．
考点：1．相似三角形的判定与性质；2．分式方程的解；3．圆周角定理；4．切线的判定与性质；5．解直角三角形；6．压轴题18．（2017山东省枣庄市）如图，在ABC中，C=90°，BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F．
（1）试判断直线BC与O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD=，BF=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．
【答案】BC与O相切．
【解析】
试题分析：（1）连接OD，证明ODAC，即可证得ODB=90°，从而证得BC是圆的切线；
（2）设OF=OD=x，则OB=OFBF=x+2，由勾股定理得：OB2=OD2BD2，即（x2）2=x212，解得：x=2，即OD=OF=2，OB=2+2=4，Rt△ODB中，OD=OB，B=30°，DOB=60°，S扇形AOB==，则阴影部分的面积为SODB﹣S扇形DOF=2×﹣=．故阴影部分的面积为．
考点1．直线与圆的位置关系；2．扇形面积的计算；3．探究型19．（2017山东省济宁市）如图，已知O的直径AB=12，弦AC=10，D是的中点，过点D作DEAC，交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是O的切线；
（2）求AE的长．
【答案】．
【解析】
试题分析：（1）连接OD，由D为弧BC的中点，得到两条弧相等，进而得到两个同位角相等，确定出OD与AE平行，利用两直线平行同旁内角互补得到OD与DE垂直，即可得证；
（2）解：过点O作OFAC，AC=10，AF=CF=AC=5，OFE=∠DEF=∠ODE=90°，四边形OFED为矩形，FE=OD=AB，AB=12，FE=6，则AE=AFFE=5+6=11．
考点：1．切线的判定与性质；2．勾股定理；3．垂径定理20．（2017广东省）如图，AB是O的直径，AB=，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作CEOB，交O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，AFPC于点F，连接CB．
（1）求证：CB是ECP的平分线；
（2）求证：CF=CE；
（3）当时，求劣弧的长度（结果保留π）
【答案】．
【解析】
试题分析：（1）根据等角的余角相等证明即可；
（2）欲证明CF=CE，只要证明ACF≌△ACE即可；
（3）作BMPF于M．则CE=CM=CF，设CE=CM=CF=4a，PC=4a，PM=a，利用相似三角形的性质求出BM，求出tanBCM的值即可解决问题；
试题解析：（1）证明：OC=OB，OCB=∠OBC，PF是O的切线，CEAB，OCP=∠CEB=90°，PCB+∠OCB=90°，BCE+∠OBC=90°，BCE=∠BCP，BC平分PCE．
（2）证明：连接AC．
AB是直径，ACB=90°，BCP+∠ACF=90°，ACE+∠BCE=90°，BCP=∠BCE，ACF=∠ACE，F=∠AEC=90°，AC=AC，ACF≌△ACE，CF=CE．
（3）解：作BMPF于M．则CE=CM=CF，设CE=CM=CF=4a，PC=4a，PM=a，BMC∽△PMB，，BM2=CM?PM=3a2，BM=a，tan∠BCM=，BCM=30°，OCB=∠OBC=∠BOC=60°，的长==．
考点：1．相似三角形的判定与性质；2．垂径定理；3．切线的性质；4．弧长的计算21．（2017江苏省盐城市）如图，ABC是一块直角三角板，且C=90°，A=30°，现将圆心为点O的圆形纸片放置在三角板内部．
（1）如图，当圆形纸片与两直角边AC、BC都相切时，试用直尺与圆规作出射线CO；（不写作法与证明，保留作图痕迹）
（2）如图，将圆形纸片沿着三角板的内部边缘滚动1周，回到起点位置时停止，若BC=9，圆形纸片的半径为2，求圆心O运动的路径长．
【答案】．
【解析】
试题分析：（1）作ACB的平分线得出圆的一条弦，再作此弦的中垂线可得圆心O，作射线CO即可；
（2）添加如图所示辅助线，圆心O的运动路径长为，先求出ABC的三边长度，得出其周长，证四边形OEDO1、四边形O1O2HG、四边形OO2IF均为矩形、四边形OECF为正方形，得出OO1O2=60°=∠ABC、O1OO2=90°，从而知OO1O2∽△CBA，利用相似三角形的性质即可得出答案．
试题解析：（1）如图所示，射线OC即为所求；
（2）如图，圆心O的运动路径长为，过点O1作O1DBC、O1FAC、O1GAB，垂足分别为点D、F、G，过点O作OEBC，垂足为点E，连接O2B，过点O2作O2HAB，O2IAC，垂足分别为点H、I，在RtABC中，ACB=90°、A=30°，AC===，AB=2BC=18，ABC=60°，C△ABC=9++18=27+，O1D⊥BC、O1GAB，D、G为切点，BD=BG，在RtO1BD和RtO1BG中，，O1BD≌△O1BG（HL），O1BG=∠O1BD=30°，在RtO1BD中，O1DB=90°，O1BD=30°，BD===，OO1=9﹣2﹣=7﹣，O1D=OE=2，O1DBC，OEBC，O1D∥OE，且O1D=OE，四边形OEDO1为平行四边形，OED=90°，四边形OEDO1为矩形，同理四边形O1O2HG、四边形OO2IF、四边形OECF为矩形，又OE=OF，四边形OECF为正方形，O1GH=∠CDO1=90°，ABC=60°，GO1D=120°，又FO1D=∠O2O1G=90°，OO1O2=360°﹣90°﹣90°=60°=ABC，同理，O1OO2=90°，OO1O2∽△CBA，，即，=，即圆心O运动的路径长为．
考点：1．轨迹；2．切线的性质；3．作图—复杂作图；4．综合题22．（2017江苏省连云港市）如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A（﹣2，0）的直线交y轴正半轴于点B，将直线AB绕着点顺时针旋转90°后，分别与x轴、y轴交于点D．C．
（1）若OB=4，求直线AB的函数关系式；
（2）连接BD，若ABD的面积是5，求点B的运动路径长．
【答案】y=2x+4；（2）．
【解析】
试题分析：（1）依题意求出点B坐标，然后用待定系数法求解析式；
（2）设OB=m，则AD=m2，根据三角形面积公式得到关于m的方程，解方程求得m的值，然后根据弧长公式即可求得．
试题解析：（1）OB=4，B（0，4）A（﹣2，0），设直线AB的解析式为y=kxb，则解得，直线AB的解析式为y=2x4；
（2）设OB=m，则AD=m2，ABD的面积是5，AD?OB=5，（m2）?m=5，即，解得（舍去），BOD=90°，点B的运动路径长为：．
考点：1．一次函数图象与几何变换；2．轨迹；3．弧长的计算23．（2017河北省）如图，AB=16，O为AB中点，点C在线段OB上（不与点O，B重合），将OC绕点O逆时针旋转270°后得到扇形COD，AP，BQ分别切优弧于点P，Q，且点P，Q在AB异侧，连接OP．
（1）求证：AP=BQ；
（2）当BQ=时，求的长（结果保留π）；
（3）若APO的外心在扇形COD的内部，求OC的取值范围．
）解析；（）（）OC＜（2）Rt△APO≌Rt△BQO，AOP=∠BOQ，P、O、Q三点共线，在RtBOQ中，cosB=，B=30°，BOQ=60°，OQ=OB=4，COD=90°，QOD=90°+60°=150°，优弧的长==（3）APO的外心是OA的中点，OA=8，APO的外心在扇形COD的内部时，OC的取值范围为4OC＜8．
考点：1．切线的性质；2．弧长的计算；3．旋转的性质24．（2017河北省）ABCD中，AB=10，AD=15，tanA=．点P为AD边上任意一点，连接PB，将PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ．
（1）当∠DPQ=10°时，求∠APB的大小；
（2）当tan∠AtanA=3：2时，求点Q与点B间的距离（结果保留根号）；
（3）若点Q恰好落在ABCD的边所在的直线上，直接写出PB旋转到PQ所扫过的面积（结果保留）．
【答案】（1）或；（）（））点Q与点B和PD的位置关系分类讨论）△PBQ是等腰直角三角形，求的长，只需过点P作⊥AB于点H，BH，求得AH和BH，解直角△APH求PH，由勾股定理求（）如图，过点P作PH⊥AB于点H，连接BQ．
∵tan∠AtanA=，∴HB=3：2．
而AB=10，∴AH=6，HB=4．
在Rt△PHA中，PH=AH·tanA=8，∴PQ=PB=，∴在Rt△PQB中，QB=PB=．
（）点Q在AD上时，如图由tanA=，PB=AB·sinA=8∴扇形面积
②点A在CD上时，如图过点P作PH⊥AB于点H，交CD延长线于点K，由题意∠K=90°，∠KDP=∠A．
=x，则PH=AH·tanA=∵∠BPH=∠KQP=90°-∠KPQ，PB=QP，∴Rt△HPB≌Rt△KQP．∴KP=HB=10-x，∴AP=PD=，AD=15=，解得x=6．
∵扇形面积点Q在BC延长线上时，如图过点B作BM⊥AD于点M，由①得BM=8．
∠MPB=∠PBQ=45°，∴PB=∴扇形面积为扇形的面积为1．解直角三角形；2．勾股定理；3．扇形面积的计算；4．分类讨论；5．压轴题25．（2017浙江省丽水市）如图，在RtABC中，C=Rt∠，以BC为直径的O交AB于点D，切线DE交AC于点E．
（1）求证：A=∠ADE；
（2）若AD=16，DE=10，求BC的长．
【答案】．
【解析】
试题分析：（1）只要证明A+∠B=90°，ADE+∠B=90°即可解决问题；
（2）连接CD．
ADE=∠A，AE=DE，BC是O的直径，ACB=90°，EC是O的切线，ED=EC，AE=EC，DE=10，AC=2DE=20，在RtADC中，DC==12，设BD=x，在RtBDC中，BC2=x2122，在RtABC中，BC2=（x16）2﹣202，x2+122=（x16）2﹣202，解得x=9，BC==15．
考点：1．切线的性质；2．勾股定理26．（2017浙江省台州市）如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点（不与B，C重合），PE是ABP的外接圆O的直径．
（1）求证：APE是等腰直角三角形；
（2）若O的直径为2，求的值．
【答案】．
【解析】
试题分析：（1）只要证明AEP=∠ABP=45°，PAB=90°即可解决问题；
（2）作PMAC于M，PNAB于N，则四边形PMAN是矩形，PM=AN，PCM，PNB都是等腰直角三角形，PC=PM，PB=PN，======4．
考点：1．三角形的外接圆与外心；2．等腰直角三角形27．（2017湖北省襄阳市）如图，AB为O的直径，C、D为O上的两点，BAC=∠DAC，过点C做直线EFAD，交AD的延长线于点E，连接BC．
（1）求证：EF是O的切线；
（2）若DE=1，BC=2，求劣弧的长l．
【答案】．
【解析】
试题分析：（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到OAC=∠DAC，求得DAC=∠OCA，推出ADOC，得到OCF=∠AEC=90°，于是得到结论；
（2）连接OD，DC，DAC=∠DOC，OAC=∠BOC，DAC=∠OAC，ED=1，DC=2，sin∠ECD=，ECD=30°，OCD=60°，OC=OD，DOC是等边三角形，BOC=∠COD=60°，OC=2，l==．
考点：1．切线的判定与性质；2．弧长的计算
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