高考数学专题讲解:三角函数(十)
第十七部分:三角函数的图像变化
【左右平移】
【左加右减规则】
1、
的图像水平向左平移
个单位得到:
;
2、
的图像水平向右平移
个单位得到:
;
3、
的图像水平向左平移
个单位得到:
;
4、
的图像水平向右平移
个单位得到:
;
5、
的图像水平向左平移
个单位得到:
;
6、
的图像水平向右平移
个单位得到:
;
【判断左右平移的方法】
1、
平移后得到:
计算:
的值;
(1)、当
时:图像水平向左平移
个单位;
(2)、当
时:图像水平向右平移
个单位;
2、
平移后得到:
计算:
的值;
(1)、当
时:图像水平向左平移
个单位;
(2)、当
时:图像水平向右平移
个单位;
3、
平移后得到:
计算:
的值;
(1)、当
时:图像水平向左平移
个单位;
(2)、当
时:图像水平向右平移
个单位;
【上下平移】
【上加下减规则】
1、
的图像水平向上平移
个单位得到:
;
2、
的图像水平向下平移
个单位得到:
;
3、
的图像水平向上平移
个单位得到:
;
4、
的图像水平向下平移
个单位得到:
;
5、
的图像水平向上平移
个单位得到:
;
6、
的图像水平向下平移
个单位得到:
;
【周期变化】
【周期变化规则】
1、
的图像横坐标边为原来
倍(纵坐标不变):
;
2、
的图像横坐标边为原来
倍(纵坐标不变):
;
3、
的图像横坐标边为原来
倍(纵坐标不变):
;
【振幅变化】
【振幅变化规则】
1、
的图像纵坐标边为原来
倍(横坐标不变):
;
2、
的图像纵坐标边为原来
倍(横坐标不变):
;
3、
的图像纵坐标边为原来
倍(横坐标不变):
;
【奇偶性】
【奇偶性规则】
1、
是奇函数;
2、
是偶函数;
3、
是奇函数。
【奇偶性题目】
1、
是奇函数得到:
;
2、
是偶函数得到:
;
3、
是奇函数得到:
;
4、
是偶函数得到:
;
5、
是奇函数得到:
;
【三角函数的图形变化的相关例题】
【例题一】:【2017年高考理科数学山东卷】设函数
,其中
。已知
。
(Ⅰ)求
;
(Ⅱ)将函数
的图像上各点的横坐标伸长为原来的
倍(纵坐标不变),再将得到的图像向左平移
个单位,得到函数
的图像,求
在
上的最小值。
【本题解析】:(Ⅰ)根据正弦函数的两角差公式得到:
;
根据三角函数的诱导公式得到:
;
。
根据三角函数的辅助角公式得到:
。
,
。
(Ⅱ)
;
的图像上各点的横坐标伸长为原来的
倍(纵坐标不变)得到:
;
的图像向左平移
个单位得到:
。
设:
;
如下图所示:

所以:

。
【本题答案】:(Ⅰ)
;(Ⅱ)
【例题二】:【2017年高考理科数学新课标Ⅰ卷】已知曲线
:
,
:
,则下面结论正确的是( )
A、把
上各点的横坐标伸长到原来的
倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移
个单位长度,得到曲线
B、把
上各点的横坐标伸长到原来的
倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移
个单位长度,得到曲线
C、把
上各点的横坐标缩短到原来的
倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移
个单位长度,得到曲线
D、把
上各点的横坐标缩短到原来的
倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移
个单位长度,得到曲线
【本题解析】:根据三角函数的诱导公式得到:
;
;
第一步:
各点的横坐标缩短到原来的
倍得到:
;
第二步:
向左平移
个单位长度得到:
。
【本题答案】:
【例题三】:【2016年高考理科数学北京卷第7题】将函数
图像上的点
向左平移
个单位长度得到点
,若
位于函数
的图像上,则( )
A、
,
的最小值为
B、
,
的最小值为
C、
,
的最小值为
D、
,
的最小值为
【本题解析】:
在函数
的图像上
;
向左平移
个单位长度得到点
的坐标为
。
在函数
的图像上
或者
,
。
【本题答案】:
,
【例题四】:【2016年高考文科数学山东卷第17题】设
。
(Ⅰ)求
单调递增区间;
(Ⅱ)把
的图像上所有点的横坐标伸长到原来的
倍(纵坐标不变),再把得到的图像向左平移
个单位,得到函数
的图像,求
的值。
【本题解析】:(Ⅰ)根据诱导公式得到:
;


。
当:
时:函数
单调递增;
所以:当
时:函数
单调递增。
(Ⅱ)
的图像上所有点的横坐标伸长到原来的
倍(纵坐标不变)得到:
的图像向左平移
个单位得到:
。
。
【本题答案】:(Ⅰ)当
时:函数
单调递增;(Ⅱ)
【例题五】:【2016年高考理科数学四川卷第3题】为了得到函数
的图像,只需把函数
的图像上所有的点( )
A、向左平行移动
个单位长度 B、向右平行移动
个单位长度
C、向左平行移动
个单位长度 D、向右平行移动
个单位长度
【本题解析】:
,
;
图像水平向左平移
个单位得到
。
【本题答案】:
【例题六】:【2016年高考文科数学四川卷第4题】为了得到函数
的图像,只需把函数
的图像上所有的点( )
A、向左平行移动
个单位长度 B、向右平行移动
个单位长度
C、向上平行移动
个单位长度 D、向下平行移动
个单位长度
【本题解析】:
,
;
的图像水平向左平移
个单位得到
。
【本题答案】:
【例题七】:【2016年高考文科数学全国Ⅰ卷第6题】将函数
的图像向右平移
个周期后,所得图像对应的函数为( )
A、
B、
C、
D、
【本题解析】:函数
最小正周期为
;
函数
的图像向右平移
个周期(
)得到:
。
【本题答案】:
【例题七】:【2016年高考理科数学全国Ⅱ卷第7题】若将函数
的图像向左平移
个单位长度,则平移后图像的对称轴为( )
A、
B、
C、
D、
【本题解析】:函数
的图像向左平移
个单位长度得到函数
;
对称轴:
(
)。
【本题答案】:对称轴:
(
)
【例题八】:【2016年高考理科数学新课标Ⅲ卷第14题】函数
的图像可由函数
的图像至少向右平移
个单位长度得到。
【本题解析】:根据辅助角公式得到:
;
根据辅助角公式得到:
;
水平向右平移
个单位得到函数
。
【本题答案】:
【例题九】:2016年高考文科数学新课标Ⅲ卷第14题】函数
的图像可由函数
的图像至少向右平移
个单位长度得到。
【本题解析】:根据三角函数辅助角公式得到:
;
;
水平向右平移
个单位得到函数
。
【本题答案】:
【三角函数的图形变化的跟踪训练】
【跟踪训练一】:【2015年高考文科数学福建卷】已知函数
。
(Ⅰ)求函数
的最小正周期;
(Ⅱ)将函数
的图像向右平移
个单位长度,再向下平移
(
)个单位长度后得到函数
的图像,且函数
的最大值为
。求函数
的解析式;
【本题解析】:
【跟踪训练二】:【2014年高考文科安徽卷】若将函数
的图像向右平移
个单位,所得图像关于
轴对称,则
的最小值是( )
A、
B、
C、
D、
【本题解析】:
【跟踪训练三】:【2014年高考文科数学福建卷】将函数
的图像向左平移
个单位,得到函数
的函数图像,则下列说法正确的是( )
A、
是奇函数
B、
的周期是
C、
的图像关于直线
对称 D、
的图像关于点
对称
【本题解析】:
【跟踪训练四】:【2014年高考理科数学辽宁卷】将函数
的图像向右平移
个单位长度,所得图像对应的函数( )
A、在区间
上单调递减
B、在区间
上单调递增
C、在区间
上单调递减
D、在区间
上单调递增
【本题解析】:
【跟踪训练五】:【2013年高考理科数学福建卷】已知函数
(
,
)的周期为
,图像的一个对称中心为
,将函数
图像上的所有点的横坐标伸长为原来的
倍(纵坐标不变),在将所得图像向右平移
个单位长度后得到函数
的图像。
(Ⅰ)求函数
与
的解析式;
【本题解析】:
【跟踪训练六】:【2013年高考理科数学上海卷】已知函数
,其中常数
。
(Ⅰ)若
在
上单调递增,求
的取值范围;
(Ⅱ)令
,将函数
的图像向左平移
个单位,再向上平移1个单位,得到函数
的图像,区间
(
且
)满足:
在
上至少含有
个零点,在所有满足上述条件的
中,求
的最小值。
【本题解析】:
【跟踪训练七】:【2013年高考理科数学湖北卷】将函数
(
)的图像向左平移
(
)个长度单位后,所得到的图像关于
轴对称,则
的最小值是( )
A、
B、
C、
D、
【本题解析】:
【跟踪训练八】:【2013年高考理科数学山东卷】将函数
的图像沿着
轴向左平移
个单位后,得到一个偶函数的图像,则
的一个可能取值为( )
A、
B、
C、
D、
【本题解析】:
【跟踪训练参考答案】
【跟踪训练一】:【2015年高考文科数学福建卷】已知函数
。
(Ⅰ)求函数
的最小正周期;
(Ⅱ)将函数
的图像向右平移
个单位长度,再向下平移
(
)个单位长度后得到函数
的图像,且函数
的最大值为
。求函数
的解析式;
【本题解析】:(Ⅰ)

。
函数
的最小正周期为:
。
(Ⅱ)将
的图像向右平移
个单位长度得到:
;
将
向下平移
(
)个单位长度后得到:
;
;
【本题答案】:(Ⅰ)
;(Ⅱ)
【跟踪训练二】:【2014年高考文科安徽卷】若将函数
的图像向右平移
个单位,所得图像关于
轴对称,则
的最小值是( )
A、
B、
C、
D、
【本题解析】:
。
的图像向右平移
个单位得到:
;
关于
轴对称得到:
,
,
。
【本题答案】:
【跟踪训练三】:【2014年高考文科数学福建卷】将函数
的图像向左平移
个单位,得到函数
的函数图像,则下列说法正确的是( )
B、
是奇函数
B、
的周期是
C、
的图像关于直线
对称 D、
的图像关于点
对称
【本题解析】:
的图像向左平移
个单位得到:
;
A选项:
是偶函数;
B选项:
的最小正周期:
;
C选项:
的对称轴:
,
;
D选项:
的中心对称点:
,
。
【本题答案】:
【跟踪训练四】:【2014年高考理科数学辽宁卷】将函数
的图像向右平移
个单位长度,所得图像对应的函数( )
B、在区间
上单调递减
B、在区间
上单调递增
C、在区间
上单调递减
D、在区间
上单调递增
【本题解析】:函数
的图像向右平移
个单位长度得到:
;
(1)、当
时:
函数
单调递增;
(2)、当
时:
函数
单调递减。
【本题答案】:
【跟踪训练五】:【2013年高考理科数学福建卷】已知函数
(
,
)的周期为
,图像的一个对称中心为
,将函数
图像上的所有点的横坐标伸长为原来的
倍(纵坐标不变),在将所得图像向右平移
个单位长度后得到函数
的图像。
(Ⅰ)求函数
与
的解析式;
【本题解析】:(Ⅰ)
;
图像的一个对称中心为
得到:
,
。
函数
图像上的所有点的横坐标伸长为原来的
倍(纵坐标不变)得到:
;
函数
图像向右平移
个单位长度后得到:
。
【本题答案】:
【跟踪训练六】:【2013年高考理科数学上海卷】已知函数
,其中常数
。
(Ⅰ)若
在
上单调递增,求
的取值范围;
(Ⅱ)令
,将函数
的图像向左平移
个单位,再向上平移1个单位,得到函数
的图像,区间
(
且
)满足:
在
上至少含有
个零点,在所有满足上述条件的
中,求
的最小值。
【本题解析】:(Ⅰ)
;
当
时:函数
单调递增;
且
且
,
。
(Ⅱ)
的图像向左平移
个单位得到:
的图像向上平移1个单位得到:
。
且
且
;
;
。
【本题答案】:(Ⅰ)
;(Ⅱ)
【跟踪训练七】:【2013年高考理科数学湖北卷】将函数
(
)的图像向左平移
(
)个长度单位后,所得到的图像关于
轴对称,则
的最小值是( )
A、
B、
C、
D、
【本题解析】:根据三角函数的诱导公式得到:
;
函数
图像向左平移
(
)个长度单位得到:
;
函数
的图像关于
轴对称得到:
,
。
【本题答案】:
【跟踪训练八】:【2013年高考理科数学山东卷】将函数
的图像沿着
轴向左平移
个单位后,得到一个偶函数的图像,则
的一个可能取值为( )
A、
B、
C、
D、
【本题解析】:函数
的图像沿着
轴向左平移
个单位后得到函数:
;
因为:
为偶函数;
所以:
。
【本题答案】: