高考数学专题讲解：三角函数（十）
第十七部分：三角函数的图像变化
【左右平移】
【左加右减规则】
1、
的图像水平向左平移
个单位得到：
；
2、的图像水平向右平移个单位得到：
；
3、
的图像水平向左平移个单位得到：
；
4、的图像水平向右平移
个单位得到：；
5、的图像水平向左平移个单位得到：；
6、的图像水平向右平移个单位得到：；
【判断左右平移的方法】
1、平移后得到：
计算：的值；
（1）、当时：图像水平向左平移个单位；
（2）、当时：图像水平向右平移个单位；
2、平移后得到：
计算：的值；
（1）、当时：图像水平向左平移个单位；
（2）、当时：图像水平向右平移个单位；
3、平移后得到：
计算：的值；
（1）、当时：图像水平向左平移个单位；
（2）、当时：图像水平向右平移个单位；
【上下平移】
【上加下减规则】
1、的图像水平向上平移个单位得到：；
2、的图像水平向下平移个单位得到：；
3、的图像水平向上平移个单位得到：；
4、的图像水平向下平移个单位得到：；
5、的图像水平向上平移个单位得到：；
6、的图像水平向下平移个单位得到：；
【周期变化】
【周期变化规则】
1、的图像横坐标边为原来倍（纵坐标不变）：；
2、的图像横坐标边为原来倍（纵坐标不变）：；
3、的图像横坐标边为原来倍（纵坐标不变）：；
【振幅变化】
【振幅变化规则】
1、的图像纵坐标边为原来倍（横坐标不变）：；
2、的图像纵坐标边为原来倍（横坐标不变）：；
3、的图像纵坐标边为原来倍（横坐标不变）：；
【奇偶性】
【奇偶性规则】
1、是奇函数；
2、是偶函数；
3、是奇函数。
【奇偶性题目】
1、是奇函数得到：；
2、是偶函数得到：；
3、是奇函数得到：；
4、是偶函数得到：；
5、是奇函数得到：；
【三角函数的图形变化的相关例题】
【例题一】：【2017年高考理科数学山东卷】设函数，其中。已知。
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）将函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移个单位，得到函数的图像，求在上的最小值。
【本题解析】：（Ⅰ）根据正弦函数的两角差公式得到：
；
根据三角函数的诱导公式得到：；
。
根据三角函数的辅助角公式得到：
。
，。
（Ⅱ）；
的图像上各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变）得到：；
的图像向左平移个单位得到：。
设：；
如下图所示：
所以：
。
【本题答案】：（Ⅰ）；（Ⅱ）
【例题二】：【2017年高考理科数学新课标Ⅰ卷】已知曲线：，：，则下面结论正确的是（ ）
A、把上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
B、把上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
C、把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
D、把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
【本题解析】：根据三角函数的诱导公式得到：；；
第一步：各点的横坐标缩短到原来的倍得到：；
第二步：向左平移个单位长度得到：。
【本题答案】：
【例题三】：【2016年高考理科数学北京卷第7题】将函数图像上的点向左平移个单位长度得到点，若位于函数的图像上，则（ ）
A、，的最小值为
B、，的最小值为
C、，的最小值为
D、，的最小值为
【本题解析】：在函数的图像上；
向左平移个单位长度得到点的坐标为。
在函数的图像上
或者，。
【本题答案】：，
【例题四】：【2016年高考文科数学山东卷第17题】设。
（Ⅰ）求单调递增区间；
（Ⅱ）把的图像上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的图像向左平移个单位，得到函数的图像，求的值。
【本题解析】：（Ⅰ）根据诱导公式得到：；
。
当：时：函数单调递增；
所以：当时：函数单调递增。
（Ⅱ）的图像上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得到：
的图像向左平移
个单位得到：
。
。
【本题答案】：（Ⅰ）当
时：函数
单调递增；（Ⅱ）
【例题五】：【2016年高考理科数学四川卷第3题】为了得到函数
的图像，只需把函数
的图像上所有的点（ ）
A、向左平行移动个单位长度 B、向右平行移动个单位长度
C、向左平行移动
个单位长度 D、向右平行移动个单位长度
【本题解析】：
，
；
图像水平向左平移个单位得到。
【本题答案】：
【例题六】：【2016年高考文科数学四川卷第4题】为了得到函数
的图像，只需把函数
的图像上所有的点（ ）
A、向左平行移动个单位长度 B、向右平行移动个单位长度
C、向上平行移动个单位长度 D、向下平行移动个单位长度
【本题解析】：
，；
的图像水平向左平移个单位得到。
【本题答案】：
【例题七】：【2016年高考文科数学全国Ⅰ卷第6题】将函数
的图像向右平移
个周期后，所得图像对应的函数为（ ）
A、
B、
C、
D、
【本题解析】：函数最小正周期为
；
函数的图像向右平移个周期（
）得到：
。
【本题答案】：
【例题七】：【2016年高考理科数学全国Ⅱ卷第7题】若将函数
的图像向左平移
个单位长度，则平移后图像的对称轴为（ ）
A、
B、
C、
D、
【本题解析】：函数的图像向左平移个单位长度得到函数
；
对称轴：
（
）。
【本题答案】：对称轴：
（）
【例题八】：【2016年高考理科数学新课标Ⅲ卷第14题】函数
的图像可由函数
的图像至少向右平移
个单位长度得到。
【本题解析】：根据辅助角公式得到：
；
根据辅助角公式得到：
；
水平向右平移
个单位得到函数。
【本题答案】：
【例题九】：2016年高考文科数学新课标Ⅲ卷第14题】函数的图像可由函数
的图像至少向右平移
个单位长度得到。
【本题解析】：根据三角函数辅助角公式得到：
；
；
水平向右平移个单位得到函数。
【本题答案】：
【三角函数的图形变化的跟踪训练】
【跟踪训练一】：【2015年高考文科数学福建卷】已知函数
。
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）将函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移
（
）个单位长度后得到函数
的图像，且函数的最大值为
。求函数的解析式；
【本题解析】：
【跟踪训练二】：【2014年高考文科安徽卷】若将函数
的图像向右平移
个单位，所得图像关于
轴对称，则的最小值是（ ）
A、
B、
C、
D、
【本题解析】：
【跟踪训练三】：【2014年高考文科数学福建卷】将函数的图像向左平移
个单位，得到函数
的函数图像，则下列说法正确的是（ ）
A、是奇函数
B、的周期是
C、的图像关于直线
对称 D、的图像关于点
对称
【本题解析】：
【跟踪训练四】：【2014年高考理科数学辽宁卷】将函数
的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数（ ）
A、在区间
上单调递减
B、在区间上单调递增
C、在区间
上单调递减
D、在区间上单调递增
【本题解析】：
【跟踪训练五】：【2013年高考理科数学福建卷】已知函数
（
，
）的周期为，图像的一个对称中心为
，将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的倍(纵坐标不变),在将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像。
（Ⅰ）求函数与的解析式；
【本题解析】：
【跟踪训练六】：【2013年高考理科数学上海卷】已知函数
，其中常数。
（Ⅰ）若在
上单调递增,求
的取值范围；
（Ⅱ）令
,将函数的图像向左平移个单位,再向上平移1个单位，得到函数
的图像，区间
(
且
)满足：在上至少含有
个零点,在所有满足上述条件的中,求
的最小值。
【本题解析】：
【跟踪训练七】：【2013年高考理科数学湖北卷】将函数
（
）的图像向左平移
（
）个长度单位后，所得到的图像关于轴对称，则的最小值是（ ）
A、
B、
C、
D、
【本题解析】：
【跟踪训练八】：【2013年高考理科数学山东卷】将函数
的图像沿着
轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图像，则的一个可能取值为（ ）
A、
B、
C、
D、
【本题解析】：
【跟踪训练参考答案】
【跟踪训练一】：【2015年高考文科数学福建卷】已知函数。
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）将函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移（）个单位长度后得到函数的图像，且函数的最大值为。求函数的解析式；
【本题解析】：（Ⅰ）
。
函数
的最小正周期为：
。
（Ⅱ）将的图像向右平移个单位长度得到：
；
将
向下平移（）个单位长度后得到：
；
；
【本题答案】：（Ⅰ）
；（Ⅱ）
【跟踪训练二】：【2014年高考文科安徽卷】若将函数的图像向右平移个单位，所得图像关于轴对称，则的最小值是（ ）
A、
B、
C、
D、
【本题解析】：
。
的图像向右平移个单位得到：
；
关于轴对称得到：
，
，
。
【本题答案】：
【跟踪训练三】：【2014年高考文科数学福建卷】将函数的图像向左平移个单位，得到函数的函数图像，则下列说法正确的是（ ）
B、是奇函数
B、的周期是
C、的图像关于直线对称 D、的图像关于点对称
【本题解析】：的图像向左平移个单位得到：
；
A选项：
是偶函数；
B选项：的最小正周期：；
C选项：的对称轴：
，；
D选项：的中心对称点：
，。
【本题答案】：
【跟踪训练四】：【2014年高考理科数学辽宁卷】将函数的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数（ ）
B、在区间上单调递减
B、在区间上单调递增
C、在区间上单调递减
D、在区间上单调递增
【本题解析】：函数的图像向右平移个单位长度得到：
；
（1）、当
时：
函数
单调递增；
（2）、当
时：
函数单调递减。
【本题答案】：
【跟踪训练五】：【2013年高考理科数学福建卷】已知函数（，）的周期为，图像的一个对称中心为，将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的倍(纵坐标不变),在将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像。
（Ⅰ）求函数与的解析式；
【本题解析】：（Ⅰ）
；
图像的一个对称中心为得到：
，
。
函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的倍(纵坐标不变)得到：
；
函数
图像向右平移个单位长度后得到：
。
【本题答案】：
【跟踪训练六】：【2013年高考理科数学上海卷】已知函数，其中常数。
（Ⅰ）若在上单调递增,求的取值范围；
（Ⅱ）令,将函数的图像向左平移个单位,再向上平移1个单位，得到函数的图像，区间(且)满足：在上至少含有个零点,在所有满足上述条件的中,求的最小值。
【本题解析】：（Ⅰ）
；
当
时：函数单调递增；
且
且
，
。
（Ⅱ）
的图像向左平移个单位得到：
的图像向上平移1个单位得到：
。
且
且
；
；
。
【本题答案】：（Ⅰ）
；（Ⅱ）
【跟踪训练七】：【2013年高考理科数学湖北卷】将函数
（）的图像向左平移（）个长度单位后，所得到的图像关于轴对称，则的最小值是（ ）
A、
B、
C、
D、
【本题解析】：根据三角函数的诱导公式得到：
；
函数
图像向左平移（）个长度单位得到：
；
函数的图像关于轴对称得到：
，
。
【本题答案】：
【跟踪训练八】：【2013年高考理科数学山东卷】将函数的图像沿着轴向左平移
个单位后，得到一个偶函数的图像，则的一个可能取值为（ ）
A、
B、
C、
D、
【本题解析】：函数的图像沿着轴向左平移个单位后得到函数：
；
因为：
为偶函数；
所以：
。
【本题答案】：
