【课程】西南科大网教学院_数学分析34_9.6 函数的幂级数展开

9.6  函数的幂级数展开

掌握的幂级数展开，并会用它们将一些简单的函数间接展开成关于的幂级数。

9.6.1函数的幂级数展开式

定理9.6.1  若函数在区间内能展开成幂级数，即

则函数在区间内存在任意阶导数，且

                                (1)

 

其中．

定义9.6.1  若在处存在任意阶导数，则级数(2)称为函数在处的泰勒（Taylor）级数，记作

                                   (3)

其系数称为泰勒系数（时，为）．

    级数(2)中时，称为的马克劳林（Maclaurin）级数，记作

                                            (4)

定理9.6.2  若函数在内存在任意阶导数，且对内任意一点泰勒公式的余项，则

定理9.6.3  若函数在内存在任意阶导数，且存在正数M，对任意自然数，对内任意一点，有

则                                     (5)

9.6.2 初等函数的幂级数展开

典型例题：

例9.6.1  将函数展成马克劳林级数．

    解  由于，对于任意，均有

    根据定理10.6.3, 在内可展成幂级数．因为r是大于零的任意实数，所以，在上可展成幂级数，即

                                    (6)

    此题也可直接证明拉格朗日余项的极限为零．

例9.6.2  将函数展成马克劳林级数．

    解 由于，且，

据定理10.6.3, 函数可展成马克劳林级数．

因为，故

             (7)

同理

             (8)

例9.5.3  将函数展成马克劳林级数．

    解  当时，有

 

于是，的马克劳林级数是

                (9)

    由比式判别法可知：(9)式的收敛半径，下面在上考察它的柯西余项：

由比式判别法，级数在时收敛，故有                   .

又由于时，有，从而有

       

再当时，有，于是,.

    故当是与n无关的有界量；当时，也有同样结论.综上所述，当时，．故

 

               ,          (10)

    在端点处，(10)式是否成立与的取值有关，其结果如下

    (1) 当时，收敛域为；

    (2) 当时，收敛域为；

    (3) 当时，收敛域为．

    当(10)式中为正整数n时，右端只有n+1项，此时即为二项式定理．

    当时，就得到：

                  (11)

    若把，又得大家熟知的几何级数：

                        (12)

    当时，得到 

     (13)

其中通项可记为        ．

    当时，得到

                         (14)

    对于一般的函数而言，求其n阶导数的通项公式比较困难，而研究其泰勒公式的余项在某区间内趋于零的问题则更为复杂，因此，直接从定义出发求一般函数的泰勒级数是相当困难的．更多的情况是从已知的展开式出发，通过变量代换、四则运算或逐项求导、逐项积分等方法，间接地求得函数的幂级数展开式．

例9.6.4  求的马克劳林级数．

    解   因为　        (15)

所以，将(15)式从0到x逐项积分得

    (16)

同理,   

                    (17)

将(16)式减去(17)式得

               (18)

例9.6.5  将函数展成马克劳林级数．

解  因为，故逐项求导就有

 

 

例9.6.6  将函数处展成幂级数．

    解 先将，在利用，作变换，即得的幂级数展开式．故有

例9.6.7  求非初等函数的马克劳林级数．

    解 因为

逐项积分得：

.