【课程】西南科大网教学院_数学分析39_11.3 多元函数的泰勒公式与极值

11.3  多元函数的泰勒公式与极值

掌握二元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件。会求二元函数的极值。

 

定义11.3.1  设二元函数定义在区域上，是的内点，若存在有

 

则称函数在点取极大值(或取极小值)，称极大值(或极小值)，称为函数的极大点(或极小点)．

    极大值与极小值统称为极值，极大点与极小点统称为极值点．

    下面是函数在一点P取得极值的必要条件．

定理11.3.2  若函数在点存在两个偏导数，且在点取极值，则

定义11.3.2  方程组的解(平面上某些点)，称为函数的稳定点．

定理11.3.3  若函数在点的邻域内所有二阶偏导数连续，且是函数的稳定点，设,, ，则

    (1)  当时，函数在点取极值．

    1°当(或)时，函数在点取极小值．

    2°当(或)时，函数在点取极大值．

    (2)  当时，函数在点不取极值．

典型例题：

例11.3.1  求函数的极值．

    解

令      解之得

即点(1,0)是稳定点．

    又因，，则

故函数在(1,0)取极小值，其极小值为：

．

例11.3.2  某厂要用铁板做成一个体积为2立方米的长方体水箱，问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使得用料最省？

    解  设长，宽，高分别为，则，且长方体表面积为：

从而

令     解之得

又因

 

从而

由，故点是函数S的极大点，其极大值为：

即，当长，宽，高都等于时用料最省，一个水箱的最大用量(立方米)．

例11.3.3  设长方体内接于半径为的球内，问长方体的边长分别为何值时，其体积最大?

    解 取球心为原点，坐标平行于长方体的棱，是长方体在第一卦内的顶点坐标，则长方体体积为：

 

故          

其中

令    得

即函数在有唯一的稳定点而在的边界和上的值均为零．由实际问题知，此问题有最大值，故最值点必是稳定点．从而，当长，宽，高分别为时，体积最大，其最大值为

．