受迫振动的随机响应在重力坝抗震中的应用

受迫振动的随机响应在重力坝抗震中的应用

余华

（宜都市水利水电勘测设计院，湖北宜都443300）

［摘 要］文中为解决地震过程中重力坝的安全性问题，将随机微分方程理论引入到线性单自由度系统受迫振动的随机响应计算当中，提取质体初始位移和外界激励为随机变量，建立了基于受迫振动微分方程的随机微分方程模型，证明了其解过程为马尔可夫过程，并根据Fokker-Planck方程求解过程一阶联合概率密度。最后用实例验证了其方法在重力坝抗震中的有效性及可行性。

［关键词］线性；单自由度；受迫振动；随机响应；重力坝抗震

0 引言

如何提高大坝工程结构抗震能力，在国内外一直被作为研究重点。任意结构体在外力作用下会产生不同程度的响应，结构体对地震冲击荷载的响应可以看作吸收外界能量的过程，这种“消化”能力决定了结构体对抗地震的能力。结构体吸收的能量分别在宏观运动和微观结构中产生作用，而在微观结构中产生变化的一种表现就是应力—应变效应，甚至更严重会产生塑性变形。地震冲击荷载对结构体的影响是结构体在荷载作用下表现出来的综合弹塑性特征，将结构体看作一个具有某种阻尼特征和弹性特征的弹塑性系统，来宏观研究结构体对冲击荷载的响应就显得非常重要。

单自由度弹簧—质体体系的解可以很容易地沿用到分析弹塑性体系特征问题中[1，2]，帮助了解结构体的弹塑性特征。一般微分方程解法不考虑随机因素，而实际情况相较之下更为复杂，随机变化更多。因此，本文在概率论和随机微分方程的基础上，对单自由度弹簧体系，即线性单自由度系统，综合各种随机变量、随机过程以及随机初始条件进行最终随机响应的数学描述和分析，并用小例子验证了其方法在重力坝抗震中的可行性。为将来进一步研究结构体的弹塑性特征，提高大坝

工程结构抗震能力打下基础。

1 随机微分方程的建立

根据牛顿定律，对弹簧—质体体系进行受力分析，有阻尼线性单自由度受迫振动微分方程式如下所示：

引入变量，并加入初始条件，则有：

式中：

上述式中，m为质体质量；c为粘性阻尼系数；k为弹簧的刚度系数；Y(t)为系统任意时刻受到的外部激励。上述各变量以及函数在微分方程解法中均代表确定性变量，对现实中的复杂随机情况不能完全考察，最终求得的解只能是确定性情况下的质体位移函数X(t)。

为了能够更全面地考察包含各种不确定因素的系统响应特性，现对系统中含有的随机特性进行分析后，发现对系统有影响的随机过程为：

1）激励函数：系统所受到的外界激励是随机的，如：强迫振动、随机振动、自激振动和参数振动等等，这种所受激励的不确定会引起系统响应的不确定性。

2）质体初始位移：质体初始位置存在不确定性，并且对系统的随机响应有较大影响。

在对地震的研究中，白噪声模型、金井清模型和马尔可夫过滤有色噪声模型是地震动分析的常用模型[3]，最早用来模拟地震地面运动的随机过程模型为理想白噪声模型[4—6]，可见研究白噪声模型对地震研究有重要意义，因此本文着重研究白噪声激励下的结构体。

在结构随机振动中，一般来说线性体系在白噪声或过滤白噪声干扰下的运动方程通过变量代换能够化成随机微分方程，如下所示：

式中，

显然，的形式导数也是零均值的正态分布过程，有正态白噪声的性质。

2 随机响应的概率分布

将上述得出的方程写成积分方程的形式，如下所示：

式中，第一个积分是均方积分，第二个积分是伊藤积分。

首先，证明解过程是马尔可夫过程。当t≤u＜s＜t＜te时，由积分可加性，得出下式：已知，对任意s＜t≤te，定义如下迭代公式：

当

由积分方程的逐次逼近法，方程的解∞∞➝➝

显然，只依赖于X()s和一系列增量

当u＜s时，可表示为：

同理，只依赖于X0和一系列增量由初始条件，有独立于X0；由的增量独立性，有独立于dB()τ，所以以前的值无关，即：

由此可证，解过程是马尔可夫过程。因此，可由Fokker-Planck方程得X()t各分量的一阶联合概率密度函数

式中，a=|A|。其中，p（X,t）初始条件和边界条件分别为：

3 实例验证

依托某重力坝开展实例验证，当发生地震时，其水库水位为91.75 m。在坝基面施加地震加速时程，使大坝直接震动，采用逐步积分法对大坝反应求解，选用混凝土损伤塑性材料模型，考虑水平和竖向地震作用，水平向地震峰值加速度为0.474g，竖直向地震峰值加速度为0.312g，阻尼比为5%，重力坝第一阶振型圆频率18.865 rad/s。瑞丽阻尼系数β=2ξ1/ω1=0.005 929 ，分析结构的破坏情况。基于上述方法，根据典型的有限元计算分析过程步骤（定义参数，创建几何模型，划分网格，加载数据，求解，结果分析）进行了实例验证。计算结果见图1～图4。

根据计算可知，坝基面的绝对位移就是地震输入，坝顶绝对位移相对坝基面绝对位移有上下波动，波动即坝顶的相对位移，坝顶绝对位移减去坝基面绝对位移就可以得到坝顶的相对位移时程曲线。在地震作用下，大坝的损伤演化过程变化规律。大坝最先从坝踵和下游面折坡处发生损伤并向上游扩展，同时坝上游面也出现了损伤，上下游损伤区逐渐向坝体内部扩展，最终在坝体内部交汇形成贯穿性裂缝。

图1 坝顶相对位移时程曲线比较

（水平地震正向，ft=2.2MPa vs.fi=2.9MPa）

图2 均值随时间变化曲线

图3 标准差随时间变化曲线

图4 第4 s，8 s和10 s的概率密度曲线

由图2和图3可知，均值、标准差随时间变化曲线的波动情况均满足精度要求；图4中根据随机选取的第4 s、第8 s和第10 s3个时刻计算结果绘制了其演化过程的概率密度曲线。基于线性单自由度系统受迫振动随机响应理论方法，通过概率密度演化模拟地震动过程，展示了重力坝的随机地震反应，实现了重力坝抗震可靠度的精细化分析。

4 结语

基于概率论和随机微分方程，对线性单自由度系统受迫振动的微分方程进行变量代换，建立了其随机微分方程模型，在模型中将质体初始位移、外界的激励函数列为随机过程。在证明解过程为根据马尔可夫过程后，根据其性质得到解过程一阶联合概率密度所满足的Fokker-Planck方程。通过综合各种随机变量、随机过程以及随机初始条件进行最终随机响应的数学描述和分析，最后用实例进行了计算。得出如下结论：

1）实例验证了线性单自由度系统受迫振动随机响应在重力坝抗震中的可行性以及合理性，并结合概率密度演化方法进行了重力坝可靠度计算。

2）在进一步的研究当中，需要论证随机微分方程得到概率分布的科学性，并且和原微分方程通过传统解法得到的概率分布进行实例比较，还可开展对非线性多自由度系统等复杂因素在抗震中可行性的应用研究。

［参 考 文 献］

［1］崔扬，周丰峻，张伟.用Laplace法求单自由度线性系统动载下的响应［J］.山西建筑，2006（14）：4—5.

［2］李霞，张东兴，王维新，崔涛，汤明军.受迫振动深松机性能参数优化与试验［J］.农业工程学报，2015（21）：17—24.

［3］李鸿晶，孙广俊.结构平稳随机地震反应时域分析:方法［J］.震工程与工程振动，2005（04）：31—36.

［4］赖明，叶天义，李英民.地震动的双重过滤白噪声模型［J］.土木工程学报，1995（06）：60—66.

［5］姜树海.随机微分方程在泄洪风险分析中的运用［J］.水利学报，1994（03）：1—9.

［6］张炳根，赵玉芝.科学与工程中的随机微分方程［M］.北京：海洋出版社，1980.

［中图分类号］TV642.3；TV697.2+4

［文献标识码］B

［文章编号］1002—0624（2017）10—0063—03

［收稿日期]2017-04-26