一门折腾人的学科、一只蜘蛛，和一个“吃嫩草”的数学家

数与形

从此不再分居人类认知的两端

上个星期超模君讲了下极限，没想到各位模友反应如此热烈！受宠若惊之余，超模君决定，今天来讲讲一个同样让人爱恨交加的名词——解析几何的故事。

提到解析几何，估计大家脑袋里想起的都是这些表达式：

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）

x^2/a^2-y^2/b^2=1（a>0,b>0）

（分别对应的几何图形为圆、椭圆和双曲线）

以及被这些表达式支配的恐惧……（超模君当年也没少被折腾）

饱受折腾之余，或许大家还会有一个疑问：好好的几何图形，为什么非要和代数凑在一起，弄出这些折腾人的玩意儿？

其实，解析几何的出现，并非是某些数学家一时的“异想天开”，而是一种必然——顺应当时社会发展的必然。

解析几何诞生的时间是处于文艺复兴时期的17世纪。在这个特殊的时间段里，天神的宫殿已然倒塌，人们的思想得以解放，一些原本已经发展成熟的学科，因为时代的变迁而面临新的挑战。

以欧氏几何为主要内容的几何学，就是其中之一。

欧氏几何创始人：欧几里得

在文艺复兴时期，哥白尼的“日心说”、伽利略对物体运动的研究，使得人们着迷于认识天体的运动轨迹和规律。而当时的几何学，只能够帮助人们“静态”地认识天体的运动轨迹——即知道天体运动出来的轨迹大概是个什么图形。

比如说，人们只知道地球运动的轨迹只是一个椭圆，可太阳和地球之间的相对位置是如何变化的，太阳在地球运行轨道的哪个点上等等问题，都没有确切的答案。

只知道轨迹的图形，很难谈得上认识天体的运动规律。于是，一种不同于欧氏几何的、能够以“动态”的视点描述几何图形的几何学，就开始进入人们的设想中。

欧几里得：帮不上忙怪我咯……

可是光有这样的想法还不够，要知道，现在我们熟悉的解析几何，是建立在两个基础之上的——代数就是其中之一。缺少了代数，解析几何就无从谈起。

万幸的是，文艺复兴时期的人们，从来不缺乏令人惊喜的创造。

在欧氏几何显现出局限性的同时，代数却在文艺复兴这片沃土上茁壮成长。1591年，法国数学家韦达开始在代数运算中系统地使用字母。他不仅把字母用来表示未知数（这个在他之前已经有人做了），而且还用来表示已知数，包括方程中的系数和常数。

韦达：创立解析几何的小伙子们，是不是应该谢谢我

如此一来，一种用“动态”视点来描述几何图形的几何学的创立方向似乎已经有了：以方程的形式，将变量和常量结合起来。变量的任意性，就是这种几何学“动态”视点的体现。

只是，到底该如何用一个方程来表示一个图形？

对于这个问题，率先给出答案的，并不是专业的数学家，而是一个业余数学爱好者。（估计有人已经猜到是谁了……）

费马（没错又是他）在1630年写了一本小册子，名字叫《平面与立体轨迹引论》。在这本书里，费马建立了一个坐标系——后来被称为“费马坐标系”，将几种几何图形“翻译”成了代数的语言——方程。

费马：不好意思又是我

费马的坐标系跟后来笛卡尔的直角坐标系略微有点不一样，它是一个斜坐标，而且没有Y轴。

如下图中，费马取一条水平的直线作为轴，以任意的一个点作为原点O。对于任意曲线上的某一点M，用A、E两个字母来表示。A表示从原点O到Z的距离，E表示从M到Z的距离，ZM与轴线成固定的角α。

费马创立的坐标系示意图

而在费马给出答案7年以后，笛卡尔正式提出沿用至今的“直角坐标系”（又称笛卡尔坐标系）。这个将几何图形和代数方程联系在一起的创造，却有一个有趣的故事：

1619年，笛卡儿参军，在多瑙河德国南部的一座小城——诺伊堡的军营中生活。他终日沉迷在深思中，考虑数学和哲学问题。

1619年11月10日，笛卡儿生病了，遵照医生的嘱咐，躺在床上休息。突然，他眼睛一亮，原来正在天花板上爬来爬去的一只蜘蛛引起了他的注意。

这只蜘蛛正忙着在天花板靠近墙角的地方结网，它忽而沿着墙面爬上爬下，忽而顺着吐出丝的方向在空中缓缓移动。

笛卡儿对这只蜘蛛感兴趣，是因为他这时正思索着如何用代数的方法来表示几何的点。晚上，他心中充满极大的兴奋，带着愉快而又焦急的心情去入睡，使得他接连做噩梦，头脑久久不能平静。

凌晨，想着这只悬在半空中的蜘蛛，沉思中的笛卡儿豁然开朗：能不能用两面墙的交线及墙与天花板的交线，来确定它的空间位置呢？

他一骨碌从床上爬起来，在纸上画了三条互相垂直的直线，分别表示两墙面的交线和墙与天花板的交线，用一个点表示空间中的蜘蛛，蜘蛛到三面墙的距离是可以测量的，如果用这三个距离来组成一个坐标，那么它在空中的位置就可以准确地标出来了。

正因为这个经历，让笛卡尔决定离开军队，并在之后提出了解析几何的完整理论。

笛卡尔：不管你信不信这个故事，反正我是不太信的了

当然这只是民间流传的轶事，真实性有待验证。不过笛卡尔本人在正式提出“直角坐标系”的著作《几何》中，提到了自己这项创造的灵感来源——一个由数学家帕普斯提出的问题。

帕普斯的问题是这样的：

设给定四条直线AB、AD、EF、GH，然后从某点C引直线CB、CD、CF、CH，各与一条所给定的直线构成已知角CBA、CDA、CFE、CHG，要求满足

CB·CF=CD·CH的点的轨迹（如下图）

笛卡尔在解决这个问题时写到：

我可以先把事情简化，即考虑给定直线中的一条和所引直线段中的一条（例如AB和BC）作为主线，对其余各线我将参考它们去做。称直线AB在A和B之间的线段为x，称BC为y……

这里将AB设为x，BC设为y，并以此来作为其余线段的参照的做法，恰恰是解析几何中用坐标系来表示曲线上的点的雏形。

然而真正让笛卡尔“闻名世界”的，并非是他创立的直角坐标系，而是与另一个坐标系有关的“旖旎情事”。

传说晚年的笛卡尔，因为教授瑞典公主克里斯汀数学，而与年轻的公主坠入爱河。但是这份爱情遭到了国王的反对，笛卡尔被逐出宫廷，无法再与公主相见。

在不能相见的日子里，笛卡尔不断地给公主写信，但是国王都把信件扣了下来。直到笛卡尔染上黑死病，奄奄一息时，他寄出的最后一封信终于到了公主手里，上面只有短短的一行：r＝a（1—sinθ）。公主在极坐标系上画出这个函数的图像，赫然发现是一个心形。

笛卡尔的“心形曲线”

聪明的模友应该都知道，这个故事只是一个被人编出来的谣言。而实际上，这个故事里面出现的另一个坐标系——极坐标系，也并非笛卡尔所创。一般认为极坐标系的创始人为格雷瓜·德·圣-万桑特和博纳文图拉·卡瓦列里，这两个人分别独立地创立了极坐标系。

而第一个将极坐标系用于确定平面上任意一点的人，是大名鼎鼎的牛顿——他还“顺手”验证了极坐标系和其他坐标系的转换关系。（有兴趣的模友可以去自行了解一下）

可以看到，在解析几何的创建过程中，坐标系的建立尤为重要。不难想象，如果没有坐标系，那么代数与图形，依旧是被分隔开来的状态，更不用谈什么用方程来描述几何图形了。

至于笛卡尔等人的努力，我们也必须感激。或许解析几何出现是迟早的事情，但是没有他们的努力，我们现在，也许只能看着头顶上的星星，想象着它们应该是怎么运动，而不是真真正正地对它们的轨迹，了然于胸。