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俺写了那么“精彩”的数学科普没人看，却让不是搞数学的人写的数学占了上风，杯具啊，实在是杯具。是俺的数学水平太高还是你们的数学欣赏水平太低？亦或俺写的太专业？这回来点不专业的。 唐老师用输液过程解释卷积的确有点意思，比较容易让人接受，老邪的方法更简明易懂，不过老邪的方法可以解释怎么定义卷积，却不能说明为什么要定义卷积。 如果我没有记错，卷积最早来自于信号系统理论，后来被数学家们发扬光大了，而且其威力已经远远超出了发明者的初衷。 先来看信号处理中如何出现卷积的。假设B是一个系统，其t时刻的输入为x(t)，输出为y(t)，系统的响应函数为h(t)，按理说，输出与输入的关系应该为 Y(t)=h(t)x(t)， 然而，实际的情况是，系统的输出不仅与系统在t时刻的响应有关，还与它在t时刻之前的响应有关，不过系统有个衰减过程，所以t1（<t）时刻的输入对输出的影响通常可以表示为x(t)h(t-t1)，这个过程可能是离散的，也可能是连续的，所以t时刻的输出应该为t时刻之前系统响应函数在各个时刻响应的叠加，这就是卷积，用数学公式表示就是 y(s)=∫x(t)h(s-t)dt， 离散情况下就是级数了。 我对信号处理一知半解，胡言乱语一番可别揪我的小辫子。我们知道积分变换可以把卷积运算变成通常的乘积运算，积分变换的物理意义在于通过这种变换可以把时间域上的函数变成频率域上的函数，这个过程是可逆的。上述卷积经过积分变换后变成了 Y(u)=X(u)H(u) 其中Y，X，H分别为y,x,h的积分变换。信号处理中人们关心的是Y(u)，但X(u)与H(u)往往并不那么容易求出来，而x(t)与h(t)是比较容易得到的（真的？），为了找到Y(u)与y(t)的对应关系从而得到Y(u)，人们发明了卷积。 信号处理专家们，我说的对吗？至于卷积在数学上的作用，说起来就话长了，容后再表。 |
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