测度之伟大(I)--如何由几乎处处收敛做到一致收敛？

已有 15879 次阅读 2009-5-15 22:12 |个人分类:数学常识|系统分类:科普集锦

     本文所阐述的数学思想基本反映了实变函数的精髓，对于非数学专业人士而言，你如果读懂了此文，可以不必再去读专门的书籍。你认为有点夸张吗？嘿嘿，真的一点不夸张。为了读起来不那么费劲，我尽量避免复杂的数学符号与推导。

  

极限是微积分的灵魂，没有极限也就没有微积分。然而，微积分中与函数序列有关的很多问题的解决强烈依赖于收敛的方式，众所周知，一个连续的函数序列可以处处收敛到一个Riemann不可积函数（你能构造出这样的例子吗？），因此积分与极限的交换顺序问题在微积分里是一个非常复杂的问题，很多时候需要经过很繁复的推导来证明积分与极限能否交换顺序。函数项级数的收敛性问题也是这样。因此，在微积分中通常都是假定函数列或级数是一致收敛的，这样所有的问题都变得简单了。令人遗憾的是，上帝总是在故意刁难我们，大多数情况下，我们做不到一致收敛！

   

在微积分中有两种收敛概念：处处收敛与一致收敛，后者远强于前者。举个简单的例子：令

  

f_n(x)=xⁿ, x∈(0,1)，

  

f_n(x)在（0，1）上显然处处收敛到0，但不一致收敛到0。也许你会说，f_n(x)的积分是收敛到0的，积分与极限可以交换顺序啊，问题是这具有普遍性吗？修改一下上面的例子：

  

g_n(x)=(n+1)xⁿ,  x∈(0,1)，

  

你再试试，g_n(x)的积分与极限能否交换顺序？可是不难看出g_n(x)依然是处处收敛到0的！

  

上帝真残酷，给我们出了这么大个“难题”，别担心，毛主席教导我们：“人定胜天”。只要我们敢想，就没有克服不了的困难！尽管克服这个困难的人不是中国人，甚至他可能不认识毛主席。

  

函数极限的真正意义在于用“好”的或“简单”的函数去逼近“坏”的或“复杂”的函数。积分与极限交换顺序问题的本质也是如此，通过容易计算的函数积分去逼近一般函数的积分。多项式逼近连续函数的Weirstrass 定理以及三角级数逼近可测函数的Fourier分析都可归类为逼近问题。由于收敛概念有多种，所以函数逼近相应的也有多种含义；即“一致逼近”、“逐点（处处）逼近”、“几乎处处逼近”、“依测度逼近”，前两种逼近出现在微积分中，后两种逼近出现在“实变函数“中，什么叫“几乎处处逼近（收敛）”？即去掉一个零测度集后处处收敛。“依测度收敛”又称为“概收敛”，概率论中常使用这个概念，简单地说就是对任意正数ε，满足|f_n(x)-f(x)|>ε的点集的测度随着n越来越大而越来越小。这几种收敛概念依次由强到弱。

  

既然一致收敛在很多问题中起到了决定性作用，我们能不能在牺牲掉另外一些东西后保证一个处处收敛甚至几乎处处收敛的函数序列一致收敛呢？能从这个角度想问题本身就很了不起！我们先来看看上面的例子，f_n(x)为什么不能一致收敛到0？原因在于当x充分接近1时，xⁿ也接近到1（不管n有多大，只要它固定）。因此，如果x随着n变，xⁿ的极限有可能不等于零，事实上，如果令x_n=1-1/n，则f_n(x_n)=（1-1/n）ⁿ的极限为1/e。既然问题的关键就出在x不能离1“太近”，我们给x圈定个范围如何？这个范围与原来的区间（0，1）不能相差太大，否则可能对所要解决的问题毫无帮助。实际上，只要x小于任何给定的小于1的正数就可以，即对任意正数δ<1，f_n(x)与g_n(x)在（0，δ）上一定是一致收敛到0的。这是偶然的还是必然的？换句话说，任何一个处处收敛（几乎处处收敛）的函数列是不是都可以在挖掉一个“长度”充分小的集合后是一致收敛的？Egoroff（叶果洛夫）很了不起，他给出了这个问题的肯定回答，这就是著名的Egoroff定理。

   

定理（叶果洛夫（Egoroff））设E是Rⁿ中的可测集，且mE<+∞，{f_n(x)}是 上几乎处处有限的可测函数序列，f(x)是 上几乎处处有限的可测函数，则下列各命题等价。

 

（i）f_n(x)几乎处处收敛到f(x)；

 

（ii）对任意正数 ，存在E的可测子集E_δ，使得m(E-E_δ)<δ，而在E_δ 上，f_n(x)一致收敛到f(x)。

 

瞧，我们果真做到了一致收敛！问题到此就算解决了吗？在E_δ上由于函数列是一致收敛的，所以很多问题很容易得到解决，然而在E-E_δ上怎么办呢？例如，在（0，δ）上，前面提到的两个函数列f_n(x)与g_n(x)的积分肯定都收敛到零，也就是说，在（0，δ）上积分与极限可以交换顺序，可为什么在（0，1）上结论就不对呢？显然，问题出在剩下的区间（δ，1）上。因此仅仅有Egoroff定理是不够的，欲知详情如何，且看下回分解。