【清北学堂】物理联赛 今日一题 2017年12月14日

两个光学元件共轴放置，位置固定。每个元件都可能是薄透镜或平面反射镜。一小物体垂直于光轴。已知当小物位于两元件之间的任意位置时，由这光学系统成的像是有限多个，且两个最后的像大小相等，请对各种可能作分析，论证什么样的光学系统能满足上述要求，什么样的不能满足要求。

答案解析

分别考虑以下几种情况：

(1)两个平面反射镜相向放置。这时，对于两个平面镜之间的实物，系统可以形成无限多个像，不合题意。

(2)焦距为f的透镜L与平面反射镜的相距为D，如图(a)所示

物A向右发光经L成像，由

可得像的位置V₁为：

式中V₁表示L向右的距离，V₁>0表示像在L的右方，V₁<>

由物A向左发光经m成像在A^，（如图a）。反射光再向右经L成像，其像距离V₂为：

两个像的放大率分别为V₁/u₁和V₂/u₂，由题意两个像大小相等，故

即                     

    ①

式中若取“+”号，则2d=0，即d=0，这要求物位于一个特殊位置，不合题意。若式中取“-”，则          

                                                     D-d-f=-D-d+f

即D=f。这要求两个元件间距离等于透镜焦距。元件间距D>0,f>0，L为凸透镜，这种系统满足题目的调条件：

一反射镜和凸透镜，间距为焦距。

透镜对物成虚像，反射镜不再成像，谓之“最后的像”；而反射镜中的物体像位于透镜的两倍焦距以内，透镜成实像于系统之外，形成了“最后的像”。

（3）焦距分别为f₁和f₂的两个透镜L₁和L₂，见图（b）。

物A向右的光经L₁成像，像距

物A向左的光经L₂成像，像距为

式中V₂表示从L₂向左的距离，V₂<>₂右方，V₂>0, 表示像在L₂左方，同样利用两个像的放大率V₁/u₁和V₂/u₂，由题意两个像大小相等的条件

即                         

     ②

式中若取“+”号，则

这表示只有特殊位置才满足要求，不合题意。

若式中取“-”，则

按题意，上式应对两有u₁值均成立，必须有f₁=f₂=f,从而D=2f，由D>0，可知f>0，两个透镜为焦距相等的两个凸透镜，相距2f。这时，可保证物体放在其间的任意位置均能得到两个大小相等的像，且一个为虚像（物距小于焦距），在物的同侧，为实际光线的反向延长线会聚而成，不可能再次被另一个透镜成像，谓之“最后的像”；另一个实像在两透镜的外侧，也不可能再被成像，也为“最后的像”。

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