例1:在 中, ,求 的值。
分析:利用余弦函数的定义求解。 解:如图,在 中, ∴不妨设 ,由勾股定理可求, 为所求。 说明:已知锐角 的一个三角函数值,求角 的其余三角函数值,这类题目应熟练掌握。同时注意数形结合在题目中的应用,还可以让学生思考:此题是否有其他的解法? 例3:如图, 中, ,BC= ,AC=3,求 的值。
分析:本题综合考查勾股定理,正弦、余弦的定义和代数式的运算。即先用勾股定理求出第三边,然后根据锐角正弦、余弦的定义去求得。 解:由勾股定理得:
, , 。
说明:应先把边求出,再求锐角的正、余弦值,最后代入化简,当然若要求出A、B的度数,也是可以的,本例实际上 , 。 例4 ,在 中,若 , , 都是锐角,则 的度数是( ) (A) (B) (C) (D) 分析:此例是非负数的性质结合正、余弦函数知识应用的问题。在 中,要求 的度数,应先确定 、 的度数。 解: , 即 , 。 又 , , , , , ,故应选(C)。 说明:已知锐角 的三角函数值,求角 的值,这类题目也应熟练掌握,此类题目能很好的训练学生的逆向思维,同时也是以后高中学习解三角方程的基础。 例5 在 中,求证: 。 分析:要想证明 成立,只要证明 与 互余即可,而要证明 + = ,则要借助于三角形的内角和定理。 解:在 中,
。 说明:等式 成立是有条件的,即“在 中”如果把这个条件去掉,则等式就不一定成立了。类似地还可以证明 。 例6 如图,已知 中, ,AD是角平分线,且 ,求 的值。 分析:要求 ,由定义只要求 即可,但有困难,可考虑过D作AC的平行线交AB于点E,得Rt ,求出 ,即可。 解:作 交AB于点E。 则 。 , 。 。 , , ,在 中, 。 。 例7:在 , ,斜边 ,两直角边的长 是关于 的一元二次方程 的两个根,求 较小锐角的正弦值。(2002年北京市东城区中考试题) 解: 是方程 的两个根, , 在 ,由勾股定理得 而 , ,
即 解关于 的方程,得 , 是 的两条直角边的长,
因此 不合题意,舍去。
当 时,原方程为 解这个方程,得 , 。 不妨设 ,则 较小锐角的正弦值为 。
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来自: 百眼通 > 《10旧版数学-446》