你相信吗,仅仅利用一张日落的照片,你就能得出地球的半径大小! Princeton 大学的 Robert Vanderbei 在他的一篇论文中对一张摄于密歇根湖的日落照片进行了分析,不但证实了地球是圆的,还依据照片上的内容对地球半径进行了估算。我把计算的大致过程向大家描述一下,供大家膜拜。 事情的起因就是上面这张很平常的日落照片,以及这样一个大家平时并没有太在意的问题:太阳露出水面的部分应该是一个标准的弓形,但为什么在日出日落时,我们所看到的太阳是一个橄榄球一样的形状?大家或许会很快想到,发光体的下半部分其实是日光反射在水面上造成的。随之产生的是另一个问题:为什么它的下半部分要比上半部分小一些呢? 这是因为——想到这个问题的答案并不容易——地球是圆的。上图就是人站在地球上看日出的一个比例夸张版示意图,其中 O 为地球的中心, A 为人眼的位置, AB 为视平线, B 点为水天交界处。由于太阳距离我们相当遥远,因此我们把太阳光看作是一束理想的平行光线。我们把直接射入人眼的太阳光与 AB 的夹角记为 α ,把经过水面上的一点 C 反射进入人眼的光线与 AB 的夹角记为 β 。从图上可见,视角 β 比 α 小,也就是说太阳在水面上的镜像比本身要小一些。 β 究竟比 α 小多少呢?对照片进行精确地测量,可知太阳的直径相当于照片中的 317 个像素,而露出水面的部分高 69 像素,水中的倒影则只有 29 像素。众所周知太阳的视直径(看太阳的视角)为 0.5 度,因此我们就得到 α = 0.5 * 69 / 317 ≈ 0.1088 度, β = 0.5 * 29 / 317 ≈ 0.0457 度。
一系列复杂的代数运算(省略数百字)最终告诉我们: 其中 γ = (α + β)/2 。代入已知的 α 、 β 和 h 可以得到,地球半径 r 大约为 7.29312 * 106米,也即 7293 千米。 这个估算的误差有多大呢?事实上,地球的半径大约为 6300 多千米,可见误差不是一般的大。不过,考虑到我们估算的依据仅仅是一张照片,能把数量级估对就已经相当牛 B 了。除了测量的精度之外,还有很多潜在的因素会导致误差。目前看来,误差的最主要来源似乎是不完全平静的水面——一点小小的波浪就会给 α 、 β 的值带来巨大的影响。 *文章选载自Matrix67的博客: The Aha Moments。 |
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