极点极线及高中圆锥曲线必备公式

极点极线

定义 已知圆锥曲线С: Ax,+By,+Cx+Dy+E=0与一点P(x0,y0) [其中A,+B,?0,

x0+xy0+y点P不在曲线中心和渐近线上].则称点P和直线L: A?x0x+B?y0y+C?+D?(((((((((((((22+E=0是圆锥曲线С的一对极点和极线.

0+x0+yxy即在圆锥曲线方程中,以x0x替换x,，以替换x，以y0y替换y,,以替换22y则可得到极点P(x0,y0)的极线方程L.

特别地:

(1)对于圆(x-a),+(y-b),=r,,与点P(x0,y0)对应的极线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r, ;

0xy0yxx,y,(2)对于椭圆+=1，与点P(x0,y0)对应的极线方程为+=1 ; a,b,a,b,

x0xy0yx,y,(3)对于双曲线-=1，与点P(x0,y0)对应的极线方程为-=1 ; a,b,a,b,

2/45页

(4)对于抛物线y,=2px，与点P(x0,y0)对应的极线方程为y0y=p(x0+x) ;

性质 一般地,有如下性质[焦点所在区域为曲线内部]: (((((((((((

?若极点P在曲线С上,则极线L是曲线С在P点的切线;

?若极点P在曲线С外,则极线L是过极点P作曲线С的两条切线的切点连线;

?若极点P在曲线С内,则极线L在曲线С外且与以极点P为中点的弦平行[仅是斜率相等]( 若是圆,则此时中点弦的方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=

x0xy0yx0,y0,(x0-a),+(y0-b),;若是椭圆,则此时中点弦的方程为+=+;若是双曲a,b,a,b,

x0xy0yx0,y0,线,则此时中点弦的方程为-=-;若是抛物线,则此时中点弦的方程为a,b,a,b,

y0y-p(x0+x)=y0,-2px0);

3/45页

?当P(x0,y0)为圆锥曲线的焦点F(c,0)时，极线恰为该圆锥曲线的准线; ((

?极点极线的对偶性:

?.已知点P和直线L是关于曲线С的一对极点和极线,则L上任一点Pn对应的极线Ln必过点P,反之亦然,任意过点P的直线Ln对应的极点Pn必在直线L上[图(中点Pn与直线Ln是一对极点极线]; ((((((((((((((((

?.过点P作曲线C的两条割线L1、L2，L1交曲线C于AB，L2交曲线C于MN，则

BN的交点T，直线AN、BM的交点S必都落在点P关于曲线C的极线L直线AM、

上 [图中点P与直线ST是一对极点极线,点T与直线SP是一对极点极线] ; (((((((((((((((((((((((((((((((

4/45页

?. 点P是曲线C的极点，它对应的极线为L，则有:

，交L于Q，则OP?OQ=OR,1)若C为椭圆或双曲线，O是C的中心，直线OP交C与R

OPOR即 = OROQ

椭圆如图

双曲线如图

2) 若曲线为抛物线，过点P作对称轴的平行线交C于R，交L于Q，则PR=QR