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宋代的易学有一个大的“范式转移”，就是从汉代以来的义理派转向象数派。而邵雍则是这次“范式转移”的核心人物。他从象数学中发掘出易学的“数理派”为以后的“科学易”奠定了基础。邵雍终生治《易》，将汉代象数易和陈抟的道易相结合，并将其归纳到理学中，独创“百源学派”，著有《皇极经世书》、《渔樵问对》以及《先天图》等著作。他的象数学，宋、明、清有大批追随者，绵延不绝，颇具影响。 邵雍（1011-1077）字尧夫，北宋著名理学家、数学家、道士、诗人。北宋五子之一，另外四位分别是与周敦颐（1017-1073）、张载（1020-1077）、程颢（1032- 1085）、程颐（1033-1107）。此五子中只有邵雍具有“数学家”的称谓，其他四子则没有。 一、邵雍的学术背景 邵雍年少时其苦读用功，非常努力，目的是为了博取功名：“雍少时，自雄其才，慷慨欲树功名。”（《宋史·列传·邵雍》。在求学的过程中虽然未达头悬梁，锥刺股的地步，但也“于书无所不读，始为学，即坚苦刻厉，寒不炉，暑不扇，夜不就席者数年。”《（《宋史·列传·邵雍》）不难看出，他年少时就用功达此地步，难能可贵。除此之外，他还是不满意，尽在故纸堆里，却对当下的学问不知如何， “……昔人尚有于古，而吾独未及四方。” 《（《宋史·列传·邵雍》）于是便四处游学访问贤达，以了解当前的学术前沿。他跑了不少地方进行访问：“……渝河、汾，涉淮、汉，周齐、鲁、宋、郑之墟。”他跑这些地方花了很多时间，最后回到家里，说了句：“道在！” 《（《宋史·列传·邵雍》）从此就再也没出门游学了。 当时在共城（今河南新乡辉县市）做官的李之才见到邵雍如此刻苦，便找到他，和他谈谈学问上的事情：
李之才的学问也是有渊源的：“陈抟以先天图传种放，放传穆修，穆修传李之才，之才传邵雍”（《宋史·朱震传》）。尽管邵雍学有渊源，但他也有许多自己独到的见解，尤其是到老了之后，更是如此：
邵雍悟到了伏羲八卦中自带的先天因素，并因此写下数十万言的著作流传于世，说邵雍为 “先天之学”的集大成者并不为过。但由于他处于隐居状态，所以很少被世人所知。《宋史·列传·邵雍》这样记载：“遂衍宓羲先天之旨，着书十万余言，然世之知其道者鲜矣。”只是他到洛阳之后，才与司马光、富弼、王振拱、张载、程颢、程颐等官员和学者们结识，他的学识才得以显露。 除了他的文字作品如《皇极经世·内外篇》、《渔樵问对》等。更重要的是他所留下并传世的四幅易图：《伏羲八卦次序》、《伏羲八卦方位》、《伏羲先天六十四卦次序》和《伏羲先天六十四卦方位》。这几张图均载于南宋大儒朱熹（1130-1200）的《周易本义》卷首传世。法国来华传教士白晋（J.Bouvet, 1656-1730）曾把《伏羲先天六十四卦方位》寄给莱布尼茨（G.W. Leibniz，1646-1716）。莱布尼茨据此发现他的二进制算术与先天图的一致性。 二、邵雍的中心思想贡献和学术地位 邵雍有一个及其先进的思想贡献。在其《皇极经世·外篇》卷五中说：
他的这段话用现代语言来阐释，就是人脑中的思想等，可用语言表达，因之就将其这画出来，有了图像，就可以把心想的意思画出图像编成数字。那么反过来，数字就会还原成图像，图像又会转变成语言，语言就会还原本来的思想。要实现这种意、言、象、数的互变，需要依靠用特殊的工具“天根月窟”来实现。可以把“天根”视为1，“月窟”视为0，仅用1和0这两个数，反复叠加，无穷变幻，即能实现意、言、象、数的互变。可是这些变化都还停留在表层，“数”往下落则沦为“术”，往上升则达于“理”。这是邵雍先天之学的精髓，而他说的“理”，不是现代西方哲学“理性”，而是中国古代的“天理”。中国素有“理在事先”的道学传统。邵雍的这个思想与现代计算机科学和信息技术密切相关。古人能有如此超前的想法，令人叹为观止！ 邵雍和刘牧分别先天图与河图洛书两个方面研究易图，使得《周易》的符号体系达到逻辑和数学上的完美。尤其是邵雍，他在吸收了部分道家传统的基础上，托名伏羲，创造性地作伏羲八卦次序、伏羲八卦方位、伏羲六十四卦次序和伏羲六十四卦方位等图。它们蕴含着数学意义。此四图南宋朱熹录于所著《周易本义》，才得以传世。为易学进行数理研究奠定了基础，从而使易学从战国以来的哲理研究中开辟了一条数理研究的新路。 易学数理派侧重研究《易经》的符号体系，甚至不问卦爻辞。这派可以说邵雍为先兆，以莱布尼茨为初端。易学研究又延伸出“科学易”。上个世纪三四十年代出了一批成果。如周永暮的《孔子数理哲学初稿》、沈仲涛的《易卦与代数之定律》、薛学潜的《易与物质波量子力学》、丁超五的《科学的易》和刘子华的《八卦宇宙论与现代天文学》等。尤其是刘子华的《八卦宇宙论与现代天文学》还通过法国巴黎大学的博士学位论文答辩，而且还预测太阳系中有十大行星。这在当时都是相当了不起的贡献。现在国内外有不少学者从物理科学、生命科学、系统科学以及计算机科学等角度研究《周易》。可以称他们为易学的数理派了。[2] 三、八卦的序结构及其三维变换 《周易·系词上》第十一章有言：“……易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦……”从易学数理派的符号系统来表示这就话，就是两极图（图1）；四象图（图2）和八卦图（图3）： 《周易》中的易图称为文王后天图，邵雍的则称为伏羲先天图。当然“伏羲”是邵雍托古而来，实际上是他所创造。下面来看看邵雍是如何解说先天八卦的：
乾坤两卦为体，处于不动的地位，兑离巽和艮坎震这六卦为用，需要运动变化。前三者为阳，后三者为阴。两两相配而成万物。 无论是伏羲先天图还是文王的后天图，都是讲究序结构的。这一点再怎么强调也不过分。由于它们都强调序结构，才能为我们的工作奠定基础。只不过它们所强调不同而已，后天八卦图的序结构不同先天八卦图，所以就不能用后天八卦图，而只能用先天八卦图。下面来看一下这两张图的序结构的不同： 很明显，乾坤两卦在先天图和后天图中的次序是截然不同的。之所以不同是由于它们所强调的序结构分野完全不同，见图6： 通常，我们接触的易图，无论是先天的还是后天的，基本都是二维平面的。而我们则要要换个角度，从三维方向来看一下二维的八卦图，就会得到先天易图哈斯图，直接与格论接驳。 在先天易图哈斯图中，依然是乾坤为体，兑离巽和艮坎震为用。在我们的工作中，图7是非常关键的一张，该图好比一座桥梁，搭建在中西文化之间。与之接驳的西方典型的哈斯图如下： 现代归纳逻辑学家耶方斯（W. S. Jevons, 1835-1882）以布尔（George Boole, 1815-1864）的逻辑体系为基础，于1864年他出版了一本小书，名字是《纯逻辑，或数与量之间的逻辑》，但却摒除了他认为布尔代数错误的数学外衣。随后几年他致力于研究逻辑机器，正是这项研究，他知道给定逻辑前提，可以用机械模拟出来。1866年他发现了伟大且普遍的推理法则，并于1869年以《同类替代》为题描述了这个学说。其最简单的表达是：“同类必有同质”（Whatever is true of athing is true of its likes.），他还有其他的各样表达。例如，逻辑相似代入原理（logical principles of the substitutionof similars）可以在他1861年的另一封信中发现，也就是“哲学存在于发现事物的相似性”。 我们称图7为“先天八卦哈斯图”，而称图8为“三元素子集集合哈斯图图”。这两张图在形式上同构，也就是它们在直观上同类。具体表现为： 甫至图9，我们便得到“格同构直观特征图”。从图7到图9，我们从“事物”在序结构的“相似性”上，发现了中西方“逻辑哲学”的汇通之路！既然它们具有同构性，那么它们之间在逻辑和数学在本质上具有等价性。 莱布尼茨在收到白晋给他的《伏羲八卦方位图》后，发现与他的二进制算术是一致的。那么同样，我们则发现三维先天易图与在格论中与布尔代数同构。而且我们工作更具现实意义，因为现代的计算机用的算法是布尔代数，而非莱布尼茨的二进制算术。 四、格论与格 格论是结构数学的重要组成部分，结构数学是近些年来数学大家庭新出现的一个分支。格论属于结构数学研究的典型范例，最早可以溯源到戴德金（R. Dedekind, 1831-1916）的对偶群。但从其诞生伊始，并非像群、环、域那样受到重视。它的历史研究也相对薄弱。近年来由于格论的自身发展及其应用的逐步展开，人们开始越来越重视格论的研究了。从目前的研究看，格论与群论、环论的关系非常密切，相互作用明显。 格是一种特殊的偏序集，经过特殊化后可以得到分配格，在特殊化后可以得到布尔格，即布尔代数，是序结构的主体部分。它所考虑的是数学对象的元素之间具有某种顺序。这种顺序并非全序，即不是任意两个元素之间都能排序，而是在部分元素之间的一种顺序，即偏序（或半序）。偏序集和格便是研究顺序性质及作用而产生的概念和理论。具体来说，格是非空有限子集都有一个上确界（叫交）和一个下确界（叫并）的偏序集合，它的公理增减之后可得到全序集及偏序集。 若集合A上的二元关系≤具有 （1）a≤a； （自反性） （2）若a≤a且b≤a则a=b； （反对称性） （3）若a≤a且b≤a则a≤b； （传递性） 则称之为偏序， 若偏序集 在数学分支序理论中，哈斯图（Hasse diagram）用来表示有限偏序的一种数学图表。最重要的作用就是判断最大下界和最小上界。它是一种以图形形式的对偏序集的传递简约。 若 若
若b是一个下界且对每一个B的下界有b≤ b’,则称b为B的最大下界或下确界（记为glb）。 若b是一个上界且对每一个B的上界b有b’≤ b，则称b为B的最小上界或上确界（记为lub）。 设 设L1和L2是格，f：L1 → L2 若∀a,b∈ L有 f(a∧b) = f(a)∧f(b) f(a∨b) = f(a)∨f(b) 成立，则称f为格L1到L2的同态映射，简称格同态。格同态的有保序性。 设f是格L1到L2的映射，则 （1）若f为格同态映射，则f保序，即 （∀x,y∈L1）（x ≤ y → f（x）≤ f（y）） （2）若f为双射，则f为格同态映射，即格同构，当且仅当 序主体部分是布尔格，即布尔代数。它是格论中的一类特殊的格——有补分配格。图7和图8同构，都是有补分配格，因此它们都是布尔代数。有补分配格是一种特殊的格。其中涉及三个主要的格：分配格、有界格、有补格。 设 ∀a, b, c ∈L,有 a∧(b∨c) = (a∧b) ∨(a∧c) a∨(b∧c) = (a∨b) ∧(a∨c) 则L称为分配格。
判定分配格的两条基本原则： （1）元素小于五元的皆为分配格； （2）任何链都是分配格。 设L为格 若存在b∈L，使得∀x∈L有b ≤ x，则称元素b是格L的全下界。 若存在t∈L，使得∀x∈L有x ≤ t，则称元素t是格L的全上界。 此时格L称为有界格。格L的全下界记为0，全上界记为1，有界格一般记为 a∧0=0, a∨0, a∧1=a, a∨1=1 设 a∧b = 0 且 a∨ b = 1成立， 则称元素b是a的补元。 如果在一个有界格中，每个元素都至少有一个补元，则这个格为有补格。在有界格
由于每个元素都存在着唯一的补元，可以把求补元的运算视为布尔代数中的一元运算。把一个布尔代数标记为
设 若 * 和 o 运算满足 （1） （2） a * (b o c) = (a* b) o ( a * c ) a o (b * c) = (a ob) * (a oc) （3）存在 0,1 B，使得 a * 1 = a, a o 0= a （4）存在 a * a’ = 0, a o a’ = 1 （补元律） 则 图7和图8，作为桥头堡，将中西方的逻辑联系起来。从这个意义讲，我们已经成功地走出了第一步。以后的路还很漫长，但依然需要我们继续前行。国外学者对我国的《周易》的符号系统研究非常感兴趣。他们认为《周易》的符号系统才是中国所独有的。如何让中国独有的东西发挥当代的作用，就看我们后代对其传承与否了。我个人认为，如果总是跟着别人跑，是不容易超越的。一定要有自己独特的地方，才能在国际上得到尊重。
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