中考数学：2016甘肃兰州压轴题（比标准答案多1个）

题目：

如图1，二次函数的图像过点A（3，0），B（0，4）两点，动点P 从A 出发，在线段 AB 上沿A→B的方向以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD⊥y轴于点 D，交抛物线于点C。设运动时间为t（秒）。

1、求二次函数解析式；

2、连接BC，当t＝5/6时，求△BCP的面积；

3、如图2，动点P从A出发时，动点Q同时从O出发，在线段OA上沿O→A的方向以 1个单位长度的速度运动，当点P与B重合时，P、Q 两点同时停止运动，连接DQ、PQ ，将△DPQ沿直线 PC 折叠到△DPE。在运动过程中，设△DPE和△OAB重合部分的面积为S ，直接写出S 与t的函数关系式及t的取值范围。

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分析：

题目1：

二次函数解析式中仅有2个未知参数，代入点A和B的坐标，即可得到关于这2个未知参数的2个二元一次方程，联立解方程可得b=5/3，c=4。顺手求出对称轴x=5/6，与x轴另一个交点坐标（-4/3，0）；

题目2：

问：如何求△BCP的面积？

答：所有求三角形面积的题目，只有2种解题方向：

• 直接求：找一组底与高；

• 间接求：找其他已知或易知面积的图形，通过和或差得到待求三角形面积。

本题中，适合第一种方法（因为找不到其他已知或易知的相关图形面积）

问：选哪组底与高？

答：本题中，都可以。但选择BD作高、PC作底，计算量要小一些。

有如下条件

• PC=︱P的横坐标-C的横坐标︱，其中点P，点C坐标（表达式）均未知；

• BD=︱B的纵坐标-D的纵坐标︱，其中点D纵坐标（表达式）与点P，点C相同，横坐标为0。

（注：下述仅用于一般情况下分析思路使用，看似繁复。本题可代入t=5/6直接计算，减少计算量）

第一步：求点P的坐标

点P位于线段AB上，所以点P的坐标满足直线AB解析式：y=-4x/3+4。记点P坐标（p，y），则y=-4p/3+4。

第二步：求点C的坐标

P，C，D共线，且该直线与x轴平行，所以C，D的纵坐标都是-4p/3+4。C在抛物线上，将其纵坐标代入可得关于C横坐标的方程：

解方程可得C的横坐标

第三步：计算PC与BD

第四步：代入t=5/6，计算p的值以及△BCP的面积

当t=5/6时，AP=10/6。过P作x轴垂线PH，H为垂足。则p=OA-AH=3-1=2，所以P坐标（2，4/3），PC=3或2/3，BD=8/3。

• △BCP的面积=4，此时C在P左侧；

• △BCP的面积=8/9，此时C在P右侧（标准答案没有这个）；

题目3：

问：如何求S？

答：必须先明确△DPE和△OAB重合部分的形状。

问：如何明确？

答：因为DP始终在△OAB内，所以重合部分的形状取决于点E的位置（坐标）。

如图，点F是直线DE与AB的交点。

由此可知，只有2种情形：

• 当F在E上方时，E在△OAB内，重合部分为△DPE

• 当F在E下方时，E在△OAB外，重合部分为△DPF

所以，判断重合部分形状的关键是比较点E和点F的坐标。

第一步：求点E和点F的坐标（表达式）

• 点E：与Q关于DP对称，所以点E的横坐标与Q相同，点E的纵坐标是点P纵坐标的2倍。其中t时刻（求解过程略），P坐标（3-6t/5，8t/5），Q坐标（t，0）。所以E坐标（t，16t/5）；

• 点F：位于直线DE上，同时位于直线AB上。记F（x，y），则有

整理可得

第二步：分情况求解S

• F在E的上方（含重合）：S=△DPE的面积，其中底DP的高为E的纵坐标 - P的纵坐标。

• F在E的下方（不含重合）：S=△DPF的面积，其中底DP的高为F的纵坐标 - P的纵坐标。

注意到，动点Q和P满足：P从A开始运动，当P到达B时，Q同时停止运动。所以还有如下限制

• 0≤AP≤AB，即0≤2t≤5，整理得0≤t≤5/2

于是，S的表达式如下

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解题：

略

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回顾：

1、本题看似计算颇多，但条件较为清晰，干扰项较少；

2、题目2中，比标准答案多了1种情形。题设中如果说C是射线PD与抛物线的交点，则此种情形将不存在；

3、分析过程中省略了一些步骤，比如直线AB解析式的求解，比如H坐标的求解。确有阅读困难的，欢迎提意见，下次注意；

4、题目3的关键是确定重合部分的形状，否则无的放矢。关于E在F上方或下方的说法，其实不算是一种严谨的说辞：何为上，何为下？但在中学（包括高中）阶段的几何、解析几何中常用到这种不严谨的说法。大家思考一下：怎么描述就会更严谨一些？

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