类型1 操作探究题
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，Rt△ABC绕点A顺时针旋转到Rt△ADE的位置，点E在斜边AB上，连接BD，过点D作DF⊥AC于点F.
(1)如图1，若点F与点A重合，求证：AC＝BC；
(2)若∠DAF＝∠DBA.
①如图2，当点F在线段CA的延长线上时，判断线段AF与线段BE的数量关系，并说明理由；
②当点F在线段CA上时，设BE＝x，请用含x的代数式表示线段AF.
解：(1)证明：由旋转得，∠BAC＝∠BAD，
∵DF⊥AC，
∴∠CAD＝90°.
∴∠BAC＝∠BAD＝45°.
∵∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝45°.
∴AC＝BC.
(2)①AF＝BE.理由：
由旋转得AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB.
∵∠DAF＝∠ABD，∴∠DAF＝∠ADB.
∴AF∥BD.∴∠BAC＝∠ABD.
∵∠ABD＝∠FAD，由旋转得∠BAC＝∠BAD.
∴∠FAD＝∠BAC＝∠BAD＝1/3×180°＝60°.
由旋转得，AB＝AD.∴△ABD是等边三角形．∴AD＝BD.
在△AFD和△BED中：1.∠F=.∠BED=90°；2.AD＝BD； 3.∠FAD＝∠EBD，∴△AFD≌△BED(AAS)．∴AF＝BE.
②如图
由旋转得∠BAC＝∠BAD.
∵∠ABD＝∠FAD＝∠BAC＋∠BAD＝2∠BAD，
由旋转得AD＝AB，
∴∠ABD＝∠ADB＝2∠BAD.
∵∠BAD＋∠ABD＋∠ADB＝180°，
∴∠BAD＋2∠BAD＋2∠BAD＝180°.∴∠BAD＝36°.
设BD＝a，作BG平分∠ABD，
∴∠BAD＝∠GBD＝36°.∴AG＝BG＝BD＝a.
∴DG＝AD－AG＝AD－BG＝AD－BD.
∵∠BDG＝∠ADB，∴△BDG∽△ADB.
∴BD/AD＝DG/DB.∴BD/AD＝(AD－BD)/BD∴AD/BD＝（1+根号5）/2。
∵∠FAD＝∠EBD，∠AFD＝∠BED，∴△AFD∽△BED.
∴BD/AD＝BE/AF.∴AF＝BD/AD·BE＝（1+根号5）/2*x.
2．如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG＝2OD，OE＝2OC，然后以OG，OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE.
(1)求证：DE⊥AG；
(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°＜α＜360°)得到正方形OE′F′G′，如图2.
①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；
②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．
解：(1)证明：延长ED交AG于点H，
∵点O是正方形ABCD两对角线的交点，
∴OA＝OD，OA⊥OD.
在△AOG和△DOE中，1.OA＝OD；2.∠AOG＝∠DOE＝90°；3.OG＝OE
∴△AOG≌△DOE.∴∠AGO＝∠DEO.
∵∠AGO＋∠GAO＝90°，∴∠GAO＋∠DEO＝90°.
∴∠AHE＝90°，即DE⊥AG.
(2)①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有两种情况：
(Ⅰ)α由0°增大到90°过程中，当∠OAG′＝90°时，
∵OA＝OD＝1/2*OG＝1/2*OG′，
∴在Rt△OAG′中，sin∠AG′O＝OA/OG′＝1/2
∴∠AG′O＝30°.
∵OA⊥OD，OA⊥AG′，∴OD∥AG′.
∴∠DOG′＝∠AG′O＝30°，即α＝30°.
(Ⅱ)α由90°增大到180°过程中，当∠OAG′＝90°时，
同理可求∠BOG′＝30°，∴α＝180°－30°＝150°.
综上所述，当∠OAG′＝90°时，α＝30°或150°.
②AF′的最大值为2分子根号2＋2，此时α＝315°.
提示：如图
当旋转到A，O，F′在一条直线上时，AF′的长最大，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴OA＝OD＝OC＝OB＝2分子根号2.
∵OG＝2OD，∴OG′＝OG＝.∴OF′＝2.
∴AF′＝AO＋OF′＝2分子根号2＋2.∵∠COE′＝45°，∴此时α＝315°.
3．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM.
(1)当AN平分∠MAB时，求DM的长；
(2)连接BN，当DM＝1时，求△ABN的面积；
(3)当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．
解：(1)由折叠可知△ANM≌△ADM，
∴∠MAN＝∠DAM.
∵AN平分∠MAB，
∴∠MAN＝∠NAB.
∴∠DAM＝∠MAN＝∠NAB.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°.∴∠DAM＝30°.
∴DM＝AD·tan∠DAM＝3×3分子根号3＝根号3。
(2)如图1，延长MN交AB延长线于点Q.
∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC.
∴∠DMA＝∠MAQ.
由折叠可知△ANM≌△ADM，
∴∠DMA＝∠AMQ，AN＝AD＝3，MN＝MD＝1.
∴∠MAQ＝∠AMQ.
∴MQ＝AQ.
设NQ＝x，则AQ＝MQ＝1＋x.
在Rt△ANQ中，AQ2＝AN平方＋NQ平方，
∴(x＋1)平方＝3的平方＋x的平方.解得x＝4.
∴NQ＝4，AQ＝5.
∵AB＝4，AQ＝5，
∴SΔNAB＝4/5*S，ΔNAQ＝4/5·1/2·AN·NQ＝24/5.
(3)如图2，过点A作AH⊥BF于点H，则△ABH∽△BFC，∴BH/AH＝CF/BC.
∵AH≤AN＝3，AB＝4，
∴当点N，H重合(即AH＝AN)时，DF最大．(AH最大，BH最小，CF最小，DF最大)
此时M，F重合，B，N，M三点共线，△ABH≌△BFC(如图3)，
∴DF的最大值为4－根号7
图1
类型2 动态探究题
4．(2016·自贡)已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．
(1)如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP，OP，OA.若△OCP与△PDA的面积比为1∶4，求边CD的长；
(2)如图2，在(1)的条件下，擦去折痕AO，线段OP，连接BP.动点M在线段AP上(点M与点P，A不重合)，动点N在线段AB的延长线上，且BN＝PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E.试问当动点M，N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律．若不变，求出线段EF的长度．
解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°.
∴∠APD＋∠DAP＝90°.
∵由折叠可得∠APO＝∠B＝90°，
∴∠APD＋∠CPO＝90°.∴∠CPO＝∠DAP.
又∵∠D＝∠C，∴△OCP∽△PDA.∵△OCP与△PDA的面积比为1∶4，
设OP＝x，则CO＝8－x.在Rt△PCO中，∠C＝90°，
由勾股定理得
，解得x＝5.∴AB＝AP＝2OP＝10.∴CD＝10.
(2)过点M作MQ∥AN，交PB于点Q.
∵AP＝AB，MQ∥AN，
∴∠APB＝∠ABP＝∠MQP.
∴MP＝MQ.∵BN＝PM，∴BN＝QM.∵MP＝MQ，ME⊥PQ，∴EQ＝0.5PQ.
∵MQ∥AN，∴∠QMF＝∠BNF.
在△MFQ和△NFB中，1.∠QFM＝∠NFB；2.∠QMF＝∠BNF；3.MQ＝BN
∴△MFQ≌△NFB(AAS)．∴QF＝BF＝0.5QB.
∴EF＝EQ＋QF＝0.5PQ＋0.5QB＝0.5PB.由(1)中的结论可得PC＝4，BC＝8，∠C＝90°，
∴在(1)的条件下，当点M，N在移动过程中，线段EF的长度不变，它的长度为2*根号5.
5．如图，在直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴正半轴上，点B的坐标是(5，2)，点P是CB边上一动点(不与点C，B重合)，连接OP，AP，过点O作射线OE交AP的延长线于点E，交CB边于点M，且∠AOP＝∠COM，令CP＝x，MP＝y.
(1)当x为何值时，OP⊥AP?
(2)求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(3)在点P的运动过程中，是否存在x，使△OCM的面积与△ABP的面积之和等于△EMP的面积．若存在，请求x的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)由题意知OA＝BC＝5，AB＝OC＝2，∠B＝∠OCM＝90°，BC∥OA.
∵OP⊥AP，
∴∠OPC＋∠APB＝∠APB＋∠PAB＝90°.
∴∠OPC＝∠PAB.
∴△OPC∽△PAB.
解得x1＝4，x2＝1(不合题意，舍去)．
∴当x＝4时，OP⊥AP.
(2)∵BC∥OA，∴∠CPO＝∠AOP.
∵∠AOP＝∠COM，∴∠COM＝∠CPO.
∵∠OCM＝∠PCO，∴△OCM∽△PCO.
∴y＝x－4/x(2<x<5)．
(3)存在x符合题意．过点E作ED⊥OA于点D，交MP于点F，则DF＝AB＝2.
∵△OCM与△ABP面积之和等于△EMP的面积，
∴S△EOA＝S矩形OABC＝2×5＝1/2·5ED.
∴ED＝4，EF＝2.
∵PM∥OA，∴△EMP∽△EOA.
解得y＝5/2.
6．如图1，矩形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与坐标原点O重合，且AD＝8，AB＝6.如图2，矩形ABCD沿O
B方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点P从A点出发也以每秒1个单位长度的速度沿矩形ABCD的边AB经过点B向点C运动，当点P到达点C时，矩形ABCD和点P同时停止运动，设点P的运动时间为t秒．
(1)当t＝5时，请直接写出点D，点P的坐标；
(2)当点P在线段AB或线段BC上运动时，求出△PBD的面积S关于t的函数关系式，并写出相应t的取值范围；
(3)点P在线段AB或线段BC上运动时，作
PE⊥x轴，垂足为点E，当△PEO与△BCD相似时，求出相应的t值．
解：(1)D(－4，3)，P(－12，8)．
(2)当点P在边AB上时，BP＝6－t.
∴S＝0.5BP·AD＝0.5(6－t)·8＝－4t＋24.
当点P在边BC上时，BP＝t－6.
∴S＝0.5BP·AB＝0.5(t－6)·6＝3t－18.
类型3 类比探究题
7．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于点F.
(1)求证：PC＝PE；
(2)求∠CPE的度数；
(3)如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
解：(1)证明：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，
在△ABP和△CBP中，1.AB=BC;2.PB＝PB;3.∠ABP＝∠CBP
∴△ABP≌△CBP(SAS)．∴PA＝PC.
又∵PA＝PE，∴PC＝PE.
(2)由(1)知，△ABP≌△CBP，
∴∠BAP＝∠BCP.∴∠DAP＝∠DCP.
∵PA＝PE，∴∠DAP＝∠E.
∴∠DCP＝∠E.
∵∠CFP＝∠EFD(对顶角相等)，
∴180°－∠PFC－∠PCF＝180°－∠DFE－∠E，
即∠CPF＝∠EDF＝90°.
(3)在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝60°，
在△ABP和△CBP中，1.AB=BC;2.PB＝PB;3.∠ABP＝∠CBP
∴△ABP≌△CBP(SAS)．
∴PA＝PC，∠BAP＝∠BCP.
∵PA＝PE，∴PC＝PE.∴∠DAP＝∠DCP.
∵PA＝PE，∴∠DAP＝∠AEP.
∴∠DCP＝∠AEP.
∵∠CFP＝∠EFD(对顶角相等)，
∴180°－∠PFC－∠PCF＝180°－∠DFE－∠AEP，
即∠CPF＝∠EDF＝180°－∠ADC＝180°－120°＝60°.
∴△EPC是等边三角形．∴PC＝CE.
∴AP＝CE.
8．已知AC，EC分别为四边形ABCD和EFCG的对角线，点E在△ABC内，∠CAE＋∠CBE＝90°.
(1)如图1，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF.
①求证：△CAE∽△CBF；
②若BE＝1，AE＝2，求CE的长；
(2)如图2，当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且AB/BC＝EF/FC＝k时，若BE＝1，AE＝2，CE＝3，求k的值；
(3)如图3，当四边形ABCD和EFCG均为菱形，且∠DAB＝∠GEF＝45°时，设BE＝m，AE＝n，CE＝p，试探究m，n，p三者之间满足的等量关系．(直接写出结果，不必写出解答过程)
解：(1)证明：①∵四边形ABCD和EFCG均为正方形，
∴∠ACB＝45°，∠ECF＝45°.
∴∠ACB－∠ECB＝∠ECF－∠ECB，
即∠ACE＝∠BCF.
∴△CAE∽△CBF.
②∵△CAE∽△CBF，∴∠CAE＝∠CBF，AE/BF＝根号2.
∴BF＝根号2.
又∠CAE＋∠CBE＝90°，
∴∠CBF＋∠CBE＝90°，即∠EBF＝90°.
解得CE＝根号6.
(2)连接BF，
∵AB/BC＝EF/FC＝k，∠CFE＝∠CBA，
∴△CFE∽△CBA.
∴∠ECF＝∠ACB，CE/CF＝AC/BC.
∴∠ACE＝∠BCF.∴△ACE∽△BCF.∴∠CAE＝∠CBF.
∵∠CAE＋∠CBE＝90°，∴∠CBF＋∠CBE＝90°，
题型2 与圆有关的几何综合题
9．(2016·成都)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以CB为半径作⊙C，交AC于点D，交AC的延长线于点E，连接ED，BE.
(1)求证：△ABD∽△AEB；
(2)当BC(AB)＝3(4)时，求tanE；
(3)在(2)的条件下，作∠BAC的平分线，与BE交于点F，若AF＝2，求⊙C的半径．
解：(1)证明：∵∠ABC＝90°，∴∠ABD＝90°－∠DBC.
∵DE是直径，
∴∠DBE＝90°.
∴∠E＝90°－∠BDE.
∵BC＝CD，∴∠DBC＝∠BDE.
∴∠ABD＝∠E.
∵∠BAD＝∠DAB，∴△ABD∽△AEB.
10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点D，E，F.⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD，FH.
(1)试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)当AB＝BE＝1时，求⊙O的面积；
(3)在(2)的条件下，求HG·HB的值．
解：(1)直线BD与⊙O
相切．理由：连接OB.
∵BD是Rt△ABC斜边上的中线，∴DB＝DC.
∴∠DBC＝∠C.
∵OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB.
又∵∠OEB＝∠CED，∴∠OBE＝∠CED.
∵DF⊥AC，∴∠CDE＝90°.
∴∠C＋∠CED＝90°.
∴∠DBC＋∠OBE＝90°.
∴BD与⊙O相切．
(2)连接AE.
在Rt△ABE中，AB＝BE＝1，∴AE＝根号2.
∵DF垂直平分AC，∴CE＝AE＝根号2.∴BC＝1＋根号2.
∵∠C＋∠CAB＝90°，∠DFA＋∠CAB＝90°，∴∠ACB＝∠DFA.
又∠CBA＝∠FBE＝90°，A
B＝BE，∴△CAB≌△FEB.
(3)∵AB＝BE，∠ABE＝90°，
∴∠AEB＝45°.
∵EA＝EC，∴∠C＝22.5°.
∴∠H＝∠BEG＝∠CED＝90°－22.5°＝67.5°.
∵BH平分∠CBF，
∴∠EBG＝∠HBF＝45°.
∴∠BGE＝∠BFH＝67.5°.
11．如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．
(1)试说明CE是⊙O的切线；
(2)若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；
(3)设点D是线段AC上任意一点(不含端点
)，连接OD，当1/2CD＋OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．
解：(1)证明：连接OC.
∵CA＝CE，∠CAE＝30°，
∴∠E＝∠CAE＝30°，∠COE＝2∠A＝60°.
∴∠OCE＝90°.
∴CE是⊙O的切线．
12．如图，已知AB是⊙O的直径，BP是⊙O的弦，弦CD⊥AB于点F，交BP于点G，E在CD的反向延长线上，EP＝EG，
(1)求证：直线EP为⊙O的切线；
(2)点P在劣弧AC上运动，其他条件不变，若BG2＝BF·BO.试证明BG＝PG；
(3)在满足(2)的条件下，已知⊙O的半径为3，sinB＝根号3/3.求弦CD的长．
解：(1)证明：连接OP.
∵EP＝EG，
∴∠EGP＝∠EGP.又∵∠EGP＝∠BGF，
∴∠EPG＝∠BGF.∵OP＝OB，
∴∠OPB＝∠OBP.∵CD⊥AB，∴∠BGF＋∠OBP＝90°.
∴∠EPG＋∠OPB＝90°，即∠EPO＝90°.∴直线EP为⊙O的切线．
(2)证明：连接OG，AP.∵BG2＝BF·BO，∴BG/BO＝BF/BG
又∵∠GBF＝∠OBG，∴△BFG∽△BGO.
∴∠BGF＝∠BOG，∠BGO＝∠BFG＝90°.
∵∠APB＝∠OGB＝90°，∴OG∥AP.又∵AO＝BO，∴BG＝PG.
13．如图，在△AOB中，∠AOB为直角，OA＝6，OB＝8，半径为2的动圆圆心Q从点O出发，沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点A出发，沿着AB方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒(0＜t≤5)以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB，OA的交点分别为C，D，连接CD，QC.
(1)当t为何值时，点Q与点D重合？
(2)当⊙Q经过点A时，求⊙P被OB截得的弦长；
(3)若⊙P与线段QC只有一个公共点，求t的取值范围．
