由一道化学真题引发的类比

 

今天小编“不务正业”一把，我们来看一道2016年理综全国一卷的化学题：

此题源于一次值班的过程，一次和一位化学教师和另一位数学教师在学校值班，时至中午，没有什么事情，这位化学老师拿出这道题，让我们做，因为涉及到空间直角坐标系，我看了看，说实话，想当初，我的化学成绩也是一等一的，只是，现在，嗨！！！询问了这位化学教师这个东西的结构后，似乎思路逐渐清晰，由于这个图不清晰，我重新作一下（从数学的角度），当然我们只做第六问的第一小问。

在完成这一问题，我突然想到：四面体ABCE恰好是正四面体，而点D是四面体外接球的球心，类比正三角形四心合一，那么正四面体是否也存在四心合一，那么正四面体外接球的球心，我们类似地叫做外心，那么和重心重合。我们类比线段的中点（重心）、三角形的重心的坐标公式。

经验证：（最起码在这道题中）是成立的

事后，我想，对于任意的四面体是否象三角形一样存在五心，即外心、内心、重心、垂心以及旁心。

首先，我们来研究四面体存在五心的可能性。

我们知道任意△ABC都存在外心（外接圆的圆心）、内心（内切圆的圆心）、重心（三条中线的交点）、垂心（三条搞的交点）以及旁心（旁切圆的圆心），而三角形是平面内最简单的多边形，而空间中最简单的多面体是四面体，所以我们可以类比三角形的诸多性质类比得到四面体的一些性质。

我们知道每个三角形都有外接圆，类比到空间中，我们猜想每一个四面体都有外接球，不妨设想，把任意一个四面体放置于一个理想的气球（球体）内部，对气球不断放气，假定气球在放气中保持形状不变，即恒为球体，随着气球体的半径的缩小，总会存在一种状态，使得四面体的各个顶点都在一个球面上，从而我们可以得到任意一个四面体都有外接球，，并且是唯一的，而这个外接球的球心，我们称之为四面体的外心。

类似的，每个三角形都有内切圆，类比到空间中，我们猜想每一个四面体都有内切球，不妨设想，把一个足够小的理想的气球（球体）放置到任意一个四面体内部，对气球不断充放气，假定气球在放气中保持形状不变，即恒为球体，随着气球体的半径的增大，总会存在一种状态，使得气球在四面体内部无法移动，体积不再增大，即气球与四面体的四个面都相切，从而我们可以得到任意一个四面体都有内切球，，并且是唯一的，而这个内切球的球心，我们称之为四面体的内心。

同样，我们把四面体的三个侧面延展，与四面体的第四个面构成半封闭的几何体，借助于理想化的气球也可以得到四面体存在旁心，且四面体有且只有四个旁心。

至于重心，我们不难理解，任意几何体都存在重心，所以四面体也不例外，我们可以通过微积分可以求出任意四面体的重心位置。也就是说，四面体存在重心。

那么垂心呢？实际上并不是所有的四面体都有垂心的，譬如我们熟悉的“鳖臑”：

显然我们有SA⊥面ABC，BC⊥面SAB，而SA与BC是异面直线，不可能相交，所以在四面体内不存在这样的垂心。

之所以会出现这样的情况是因为我们类比得到的结果未必正确，尽管三角形与四面体有着太多的相似性，但是毕竟发生了维度的变化，垂心的例外进一步说明，我们运用类比的方法，由二维空间向三维空间“移植”，需要经过严格的证明，同时也说明三角形和四面体虽然有很多“相似”之处，但是也有不少不同之处，后者会更为复杂，所以我们还需要对我们类比结论进行证明。

1、 外心

四面体有且只有一个外接球，外接球的球心为四面体的外心，外心到四面体的四个顶点的距离都相等，证明如下：

准备知识：

（1）、过一线段的中点，垂直于该线段的平面叫做这条线段的中垂面，中垂面上任意一点到线段两端点的距离相等。（证明略）。

（2）、不共面的三条直线，若每一条都与另两条相交，那么，这三条直线必共点。

接下来，我们进入主题，证明四面体有且只有一个外接球，外接球的球心为四面体的球心，球心到四面体的四个顶点的距离都相等，

1、 内心

四面体有且只有一个内切球，内切球的球心为四面体的内心，内心到四面体的四个面的距离都相等，证明如下：

准备知识：

（1）、在二面角内，与这二面角的两个半平面等距离的点的集合叫做这个二面角的平面角，简称为二面角的分角面，二面角的分角面是由这个二面角的棱出发的一个半平面，且与这二面角的任意一个面所成的二面角均为锐角。（证明略）。

（2）、三面角的三个二面角的三个分角面交于过这个三面角顶点的一条射线。

接下来，我们进入主题，证明四面体有且只有一个内切球，内切球的球心为四面体的内心，内心到四面体的四个面的距离都相等，

3、 旁心

因为在高中，我们会淡化旁心，所以不再证明，如果需要证明过程的同学可以私聊我。

4、重心

在四面体中，连接一个顶点和这个顶点所对的面的重心的线段叫做四面体过这个顶点的一条中线，显然四面体有且仅有四条中线，这四条中线共点，且这点把四面体的每一条中线都分成3:1的两段。这个点叫做四面体的重心。

证明如下：

5.垂心

我们已经知道，并不是所有的四面体都有垂心，在这里我们可以加上一个附加条件，也可以得到四面体的四条高共点的。

四面体的四条高共点的充要条件是这个四面体有两组对棱相互垂直。

太累了，不再证明。需要证明的可以私聊我，本篇文章，我其实只想说重心的，可是没有刹住车！！！