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废话不说，直入正题。 例1：某次比赛门票每张100元，降价后观众增加1倍，收入增加一半，每张门票降价（）元。 常规解法： 设降价前观众人数为a人，则降价后观众为2a人； 降价后收入为b元/人； 根据收入关系列方程： 降价前收入为：100元/人 × a人=100a元； 降价后收入为：b元/人× 2a人=2ab元； 降价后收入=降价前收入× 1.5 即：100a× 1.5=2ab，左右两边约去a，得到 2b=150，b=75元/人 所以降价25元。 本节解法：好，有人说上面的列方程复杂，如果不会该怎么办？ 我们想想此题，此题的答案肯定唯一，不管初始有几个人，降价的金额一定是一样的，那么，我们不妨让降价前只有一个人，按此计算： 降价前收入=100元 降价后人数由1人变成2人，收入变为降价前收入100元的1.5倍，即150元，得到2人和150元 所以每人75元，即降价25元。 当然，也可以设初始为2人，那么： 降价前收入=200元 降价后人数由2人变成4人，收入变为降价前收入200元的1.5倍，即300元，得到4人和300元 同样，每人75元，即降价25元。 此题，因为答案唯一性，所以应该是无论有几个人，都应该满足条件，所以我们找一个最简单的数字进行计算。 例2：看下面图形，下图中，左侧的正方形边长为10cm，在该正方形右边再放一个正方形，使其有公共的顶点P，并且有一条边在同一直线上，具体如图。 求三角形ABC的面积是多少？ 分析与解： 好吧，拿到这道题目，到底该如何下手？右侧这个正方形边长不确定，如何能求出三角形ABC的面积？难道用补形法？或求几个三角形之和？或几个图形之差？ 以上都不是最好的方法。 我们用本讲的知识来解此题，既然题目中没说右侧正方形的边长，那么应该是无论右侧正方形的边长为几，三角形ABC的面积应该是恒定不变的，以此为前提，我们找简单的数或简单的做法，不妨令右侧正方形与左侧正方形边长相等，具体如下图： C点由原位置移到C'处，所求三角形面积为三角形ABC'的面积 由题可知，底=10cm，高=10cm，所以面积为50平方厘米。 此题可解！ 经过如此处理，是很是一道很难的题目变得简单起来？ 那么，我们再思考一下，右侧这个正方形还有没有其他可能，也会使题目简单呢？ 当然有的！ 比如，我们使右侧这个正方形无穷小，或者说小成一个点，那么C点就会与P点重合，所求的三角形面积即为三角形ABP的面积，同样是50平方厘米。 我们再看一道用此方法解决行程问题的例子： 例3：A、B两地相距10000米，甲骑自行车，乙步行，同时从A地去B地。甲的速度是乙的4倍，途中甲的自行车发生故障，修车耽误了一段时间，这样乙到达B地时，甲离B地还有200米。甲修车的时间内，乙走了多少米? 分析： 此题并未说明甲骑车到什么位置，自行车发生故障，故，我们可以认为无论甲在哪里发生故障，结果都是一样，所以可以用本节所讲的解题方法来解。 解：怎样假设才能使本题变的最简单呢？下面给出两种思路 思路1：假设甲刚准备出发时，自行车就发生故障， 那么，甲一直修车，修好了开始出发。 乙到达B地时，甲离B地还有200米，说明乙行了10000米，甲行了9800米；用下图具体说明： 第一阶段： 甲，乙同时出发，甲准备出发时，自行车发生故障，开始修车，修了T1时间，而在这T1时间里，乙步行，走到了P1处； 第二阶段： 乙步行到了P1处时，甲的自行车修好，开始出发，而乙从P1处步行到终点B时，用了T2时间，在此T2时间里，甲骑自行车由A处骑到P2处；根据题意，P2到B还有200米，即A到P2距离为9800米。 在T2时间里（相同时间），甲骑车速度为乙步行速度的4倍，所以甲行的距离同样为乙步行距离的4倍，即甲行9800米，乙行9800÷4=2450米； 所以，在T2时间里，乙步行了2450米。 乙一共行了10000米，所以甲修车的时间（即T1时间内），乙行了10000-2450=7550米。 此题得解。 思路2：根据题意，乙到达B地时，甲离B地还有200米，说明乙行了10000米，甲行了9800米； 那么我们假设甲骑到9800米时，自行车坏了，一直到乙步行终点时，甲还没有修好 同样的，如思路1一样，相同时间里，甲骑车速度为乙步行速度的4倍，所以甲行的距离同样为乙步行距离的4倍，即甲行9800米，乙行9800÷4=2450米； 乙步行2450米的时候，甲已经骑到9800米，但甲此时自行车坏了，一直修啊修……一直修到乙步行到终点还没修好…… 好了，三道例题讲完了，对你是不是有所启发呢？ |
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