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上周最强大脑第四关进30强的题目：立体一笔画，大家看完叹为观止 我们作为普通人，是否能来解一下这道题目呢？ 黄老师想说，如果你学了黄老师的奥数课程，未必不可以一试。 好，那黄老师的今天的课程从一笔画讲起。 讲到一笔画，不得不讲最著名的“七桥问题”： 二百五十年前，有一个问题曾出现在普通人的生活中，向人们的智力挑战，使得很多人冥思苦想.在相当长的一段时间里，很多人都想解决它，但他们都失败了. 今天，我们小学生也要大胆地研究研究它. 这个问题叫做“七座桥问题”. 当时，德国有个城市叫哥尼斯堡.城中有条河，河中有个岛，河上架有七座桥，这些桥把陆地和小岛连接起来，这样就给人们提供了一个游玩的好去处（见下图）.俗话说，“人是万物之灵”，他们就是在游玩时候想出了这样一个问题： 如果在陆地上可以随便走，而对每座桥只许通过一次，那么一个人要连续地走完这七座桥怎么个走法？ 好动脑筋的朋友请先不要接着往下读，你也试一试，走一走. 你是怎样试的呢？你不可能真到哥尼斯堡城去，像当年的游人那样亲自步行过桥上岛.因为你并没有离开自己的教室，你坐在教室里，在你的面前没有河流，没有小岛，也没有桥，但在你面前却有一张图！ 可是，这又是一张什么样的图呢？图上并没河流、小岛和小桥的原样，只是用一些线条来代表它们，但却明白无误地显示出了它们之间的位置关系和连接方式.可以说，这是一张为了做数学而舍弃了许多无关的真实内容而抽象出来的“数学图”. 这样的抽象过程非常重要，这种抽象思维对于学习数学来讲非常重要. 也许你是用铅笔尖在图上画来画去进行试验的吧！好！你做得很好！为什么这样说呢？因为当你这样做的时候，就发挥了自己的想像力：你在无意中把自己想像成了一个小笔尖.你把小笔尖在七桥图上画来画去，想像成了你自身的经历，有位教育家曾说“强烈而活跃的想像是伟大智慧不可缺少的属性”.看来你并不缺少这种想像力！ 让我们再好好地想一想，刚才你把小笔尖在七桥图上画来画去，想像成你自己过桥的亲身经历，这不就是把过桥问题和一笔画问题联系在一起了吗？用一句数学上常用的话说，这就是把实际生活中的问题转化成了数学问题，下面的图把这种转化过程详细地画了出来. 在下页左图中把陆地想像成了几大块.这对过桥问题并不产生影响. 在下页右图中进一步把陆地块缩小，同时改用线段代表小桥，这也不改变过桥问题的实质. 在下面左图中，进一步把陆地和岛都用小圆圈代表，这已是“几何图形”了，但还是显得复杂. 在下面右图中，圆进一步缩成了点.这样它变成了只由点和线构成的最简单的几何图形了.经过上面这样的一番简化，七桥问题的确就变成了上右图（即为第五讲习题1中的图（9））是不是能一笔画成的问题了.很容易看出图中共有4个奇点，由上一讲得到的判定法则可知，它不能一笔画成，因而人们根本不能一次连续不断地走过七座桥. 这样七桥问题就得到了圆满的解决. 这种解法是大数学家欧拉找到的.这种简化也就是一种抽象过程.所谓“抽象”就是在解决实际问题的过程中，舍弃与问题无关的方方面面.而只抓住那个能体现问题实质的东西.就像在七桥问题中，陆地和岛的大小、桥的宽窄和长短都是与问题无关的东西. 最后，再把解决七桥问题的要点总结一下： ①把陆地和岛缩小画成点，把桥画成线，这样就把原图变成了简单的几何图形了. ②如果这种由点和线组成的图形是一笔画，人就能一次通过所有的桥；如果这种图形不能一笔画成，人就不能一次通过所有的桥. ③由前述判定法则可知，有0个奇点或2个奇点的图形是一笔画，超过两个奇点时，图形就不能一笔画出来. 说了这么半天，那么什是奇点？为什么0个奇点或2个奇点的图形可以一笔画出，是不是超过两个奇点时，就不能一笔画出呢？ 那么，什么叫奇点呢？ 奇点：把和一条、三条、五条等奇数条线相连的点叫做奇点；把和两条、四条、六条等偶数条线相连的点叫偶点，这样图中的要么是奇点，要么是偶点. 举例说明如下： 第一组： 上图1中： A点只有一条线段与之相连，所以A点为奇点； B点有三条线段与之相连，所以B点为奇点； 其他三个点均有两条线段与之相连，所以其他三个点均为偶点。 图1中，只有2个奇点，所以可以一笔画出，如图所示。 上图2中： A点有三条线段与之相连，所以A点为奇点； B点有三条线段与之相连，所以B点为奇点； 其他四个点均有两条线段与之相连，所以其他四个点均为偶点。 图2中，只有2个奇点，所以可以一笔画出，如图所示。 这两个图都能一笔画出来，如箭头所示那样画.即起点必需是A点（或B点），而终点则定是B点（或A点）. 第二组： 第二组： （1）四个点，三条线. 三个端点各与一条线相连，中间点与三条线相连. 四个点都是奇点，无法一笔画出； （2）四个点，六条线. 每个点都与三条线相连，4个奇点，无法一笔画出； （3）五个点，八条线. 点O与四条线相连，其他四个顶点各与三条线相连. 1个偶点，4个奇点，无法一笔画出； 第三组： 第三组： （1）这个图通常叫五角星. 五个角的顶点各与两条线相连，其他各点都各与四条线相连. 全是偶点，可以一笔画出； （2）由一个圆及一个内接三角形构成. 三个交点，每个点都与四条线相连（这四条线是两条线段和两条弧线）. 全是偶点，可以一笔画出； （3）一个正方形和一个内切圆构成. 正方形的四个顶点各与两条线相连，四个交点各与四条线相连（四条线是两条线段和两条弧线）. 全是偶点，可以一笔画出； 第三组的三个图虽然比较复杂，但每一个图都可以一笔画成，而且画的时候从任何一点开始画都可以. 那么是不是全是偶点就一定可以一笔画出呢？我们来看下一组： 第四组： （1）这是“品”字图形，它由三个正方形构成，它们之间没有线相连. （2）这是古代的钱币图形，它是由一个圆形和中间的正方形方孔组成.圆和正方形之间没有线相连. 第四组的两个图形叫不连通图，显然不能一笔把这样的不连通图画出来. 定义及规律总结： 把和一条、三条、五条等奇数条线相连的点叫做奇点；把和两条、四条、六条等偶数条线相连的点叫偶点， ①不连通的图形必定不能一笔画；能够一笔画成的图形必定是连通图形. ②有0个奇点（即全部是偶点）的连通图能够一笔画成.（画时可以任一点为起点，最后又将回到该点）. ③只有两个奇点的连通图也能一笔画成（画时必须以一个奇点为起点，而另一个奇点为终点）； ④奇点个数超过两个的连通图形不能一笔画成.最后，综合成一条判定法则： 有0个或2个奇点的连通图能够一笔画成，否则不能一笔画成. 能够一笔画成的图形，叫做“一笔画”. 用这条判定法则看一个图形是不是一笔画时，只要找出这个图形的奇点的个数来就能行了，根本不必用笔试着画来画去.
综上，在平面上，可以很快找出哪些图形可以一笔画，但转换到立体图形上，这个定理适用吗？ 以黄老师的认识，是可以的： 看下面几个简单的立体图形:
正四面体，4个点都是奇点（各有三条线）所以不能一笔画； 正六面体，8个点都是奇点（各有三条线）所以不能一笔画； 正八面体，6个点都是偶点，所以可以一笔画出； …… 正二十面体，超过2个奇点，所以不能一笔画出。
学会了本节课的内容，是不是觉得自己瞬间也强大了起来？ |
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