一、遇角需讨论 例1. 已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为( ) A. 30°B. 75°C. 105°D. 30°或75° 简析:75°角可能是顶角,也可能是底角。当75°是底角时,则顶角的度数为180°-75°×2=30°;当75°角是顶角时,则顶角的度数就等于75°。所以这个等腰三角形的顶角为30°或75°。故应选D。 说明:对于一个等腰三角形,若条件中并没有确定顶角或底角时,应注意分情况讨论,先确定这个已知角是顶角还是底角,再运用三角形内角和定理求解。 二、遇边需讨论 例2. 已知等腰三角形的一边等于5,另一边等于6,则它的周长等于_________。 简析:已知条件中并没有指明5和6谁是腰长谁是底边的长,因此应由三角形的三边关系进行分类讨论。当5是等腰三角形的腰长时,这个等腰三角形的底边长就是6,则此时等腰三角形的周长等于16;当6是腰长时,这个三角形的底边长就是5,则此时周长等于17。故这个等腰三角形的周长等于16或17。 三、遇中线需讨论 说明:这里求出来的解应满足三角形三边关系定理。 四、遇高需讨论 例4. 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°,求这个等腰三角形的顶角的度数。 简析:依题意可画出图1和图2两种情形。图1中顶角为45°,图2中顶角为135°。 例5. 为美化环境,计划在某小区内用的草皮铺设一块一边长为10的等腰三角形绿地,请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。 简析:在等腰ΔABC中,设AB=10,作CD⊥AB于D,由,可得CD=6。如下图,当AB为底边时,AD=DB=5,所以。 说明:三角形的高是由三角形的形状决定的,对于等腰三角形,当顶角是锐角时,腰上的高在三角形内;当顶角是钝角时,腰上的高在三角形外。 五、遇中垂线需讨论 例6.在ΔABC中,AB=AC,AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°,则底角∠B=____________。 说明:这里的图2最容易漏掉,求解时一定要认真分析题意,画出所有可能的图形,这样才能正确解题。 六、和方程问题的综合讨论 例7. 已知ΔABC的两边AB,AC的长是关于的一元二次方程 的两个实数根,第三边BC长为5。 (1)为何值时,ΔABC是以BC为斜边的直角三角形? (2)为何值时,ΔABC是等腰三角形,并求ΔABC的周长。 简析:(1)略。 (2)若ΔABC是等腰三角形,则有AB=AC,AB=BC,AC=BC这三种情形。方程可化为,即,,显然,即。当AB=BC或AC=BC时,5是方程的根。当时,代入原方程可得,解得,。 当时,原方程的解为,等腰ΔABC的三边长分别为5,5,4,周长为14。当时,原方程的解为,等腰ΔABC的三边长分别为5,5,6,周长为16。 所以当或时,ΔABC是等腰三角形,周长分别为14或16。 |
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