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运算封闭 从某个非空数集中任选两个元素，选出的这两个元素通过某种运算后的得数仍是该数集中的元素，那么，就说该集合对于这种运算是封闭的。 1、自然数 自然数以计量事物的件数或表示事物次序的数，它帮我们的祖先用数码0，1，2，3，4，……进行简单的计数。自然数对于加法和乘法是封闭的。 但有时候，祖先为了计算“欠账”引入减法运算，一旦引入减法运算，自然数域就被“打破”。 怎么办？自然数域需要扩展。 2、整数 自然数加上负整数统称为整数。整数对于加法，减法，乘法是封闭的。 整数对于减法运算封闭，祖先能算“欠账”了。但随着生产力水平不断提高，需要进行“比率”的计算。比如：计算羊群中公羊占得多，或是母羊占的多，还是小羊羔占比多。计算“比率”需要引入除法。一旦引入除法，整数域又被“打破”，又需要扩展。 3、有理数 有理数是两个整数的比值，例如3/8，并规定，0也是有理数。有理数的小数部分必然是有限或者无限循环的数。有理数对于加法，减法，乘法，除法运算都是封闭的。 但是，如果祖先进行测量，又发现一个惊人的问题了：有些图形边长是不可能用两个整数得比值准确测量的，即不可公度。比如：腰为1的等腰直角三角形斜边长。为了测量，祖先又引入了开方运算。有理数域又被突破了。 4、实数 无理数：也称为无限不循环小数。无理数不可能写作两整数之比，即不能由一个比率构成的数字。若硬是把无理数写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。 有理数和无理数统称为实数。实数对于加、减、乘、除，都是封闭的。 注意：实数对于开方运算不是封闭的。因为负实数是不能进行开方运算的。 虚数产生 正因为实数对开方运算的不封闭性，让数学家们想方设法要建立一个更大的数域，确保这个数域对开方运算也是封闭的。
而要解决一个数的平方是-15，本质要使得一个数的平方是-1。这样所有负数的开方问题就解决了，开方运算就是对于所有数都是封闭的了。 于是，数学家们硬是虚构出来一个数，这个数叫做i： i称为虚数单位，并且规定:实数可以与i进行四则运算，原实数运算律都成立。于是，虚数就产生了。 虚数和实数统称为复数，复数对于所有的加、减、乘、除、开方运算都是封闭的。复数是我们高中阶段学习的最大的数域。 后来，复数在物理学，量子力学，工程学方面有着非常广泛的应用。 上表体现随着运算的发展，数域不断扩展的过程。 数学本质 由上文，我们发现了一些数学的本质： 1、数学本质是抽象 数学研究的是抽象概念，运用的是抽像方法，数学的发展体现为抽象程度的逐渐深入。 虚数的建立，数学家们硬性规定i的平方等于-1，本质上就是一种抽象定义。 2、数学本质是公理系统 从抽象的定义出发，数学的本质是又一套公理系统，必须做到逻辑自恰（数域的封闭其实是自恰的一种体现），能够进行严谨的逻辑推导。 典型的例子是欧氏几何，它仅仅从五大公理出发，就推导出了经典欧式空间的所有几何定理。一旦五大公理中有一条被重新改写，同样可以进行严密逻辑推导后，新的非欧几何由此产生了。 3、现实需要与数学关系 需要计算“欠账”，引入减法，扩展出整数；需要计算“比率”，引入除法，扩展出有理数；需要测量土地，扩展出实数；为了量子力学等应用的需要，扩展出虚数…… 随着应用的高端，数域也不断扩展，再到后来，数学发展其实已经超出了人们对现实的理解。 最典型的例子就是黎曼几何，它太抽象了，值到被提出的几十年后，爱因斯坦为了建立相对论才找到了黎曼几何的用武之地。 最后想说：数学，绝非枯燥的计算，抽象出事物本质的研究，才是数学真正的魅力所在。 |
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