二、求系数和(差)：一、求指定项的系数(等价于求指定项)：1.赋值法：2.其他法：§251二项式定理的应用——求系数1
.型：2.型：3.型：○4.导数型：计数问题知识网络
复杂的计数问题组合数的性质对称性简单的计数问题排列组合型拆并性增减性可和性计数原理型十大题型计数问题总述：两
理两数四原则十大题型递推法⑤注①：分类加法及分步乘法计数原理：①②③④注④：注②：排列数与组合数：注⑤：设n
元某计数问题共有an种方法若求an的通项公式有难度，可考虑求其递推公式化大为小是共性顾名思义是区分①相邻(捆
绑法)○注③：①先理后数②先组后排③特殊优先④正难则反○○○○⑧错排○②不邻(插空法)○③在与不在④含与不
含⑤至多与至少○○○直接法间接法⑥分组○相同元素不同元素⑦分配○均匀分配非均匀分配二元1种三元2种
四元9种⑩染色○⑨定序○1.分类加法计数原理：2.分步乘法计数原理：完成一件事有n类方式,在第一类方式中
有m1种不同的方法,在第二类方式中有m2种不同的方法……,在第n类方式中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N=m1+m2
+…+mn种不同的方法完成一件事需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……,做第n步有
mn种不同的方法那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法先把包含于某内容中的所有对象的数目计算出来3.容斥计
数原理:再把重复计算的数目排斥出去,这种计数的方法共同点不同点说明化大为小是共性顾名思义是区分都是采用“分
”的手法，将大事件化为小事件“分类”是指完成事件共有n类办法每类办法都能独立地完成这件事类似于物理中的并联电路“分步”是指
完成事件共有n个步骤类似于物理中的串联电路每一步都不能独立完成这件事最终结果“分类”用“加法”最终结果“分步”用“乘法
”“分类”要不重不漏；各类间要互斥独立“分步”要连续完整；各步间要关联独立1.阶乘：2.排列数：3.组合数：
注1.一般的，乘积式用于计算，阶乘式用于证明注2.常用的排列数：注3.常用的组合数：两理两数四原则十大题型递推法排列
与组合的关联：排列可以看作是先取组合，再做全排列先组后排：排列有序，组合无序，可用特值法来验证有无顺序①②两
理两数四原则十大题型递推法①先理后数②先组后排③特殊优先④正难则反两理两数四原则十大题型递推法①相邻——捆绑
法⑧错排：二元1种；三元2种；四元9种……②不邻(相离)——插空法⑥分组相同元素——0-1法不同元
素——公式法⑩染色——递推法⑨定序——倍缩法(等概率法)；插空法两理两数四原则十大题型递推
法③在与不在④含与不含⑤至多与至少特殊优先直接法正难则反间接法——⑦分配均匀分配非均匀分配
先分组后分配1.相邻问题捆绑法：引：相间问题位置法2.不邻(相离)问题插空法：先捆可邻成大元
次变个数全排列先排可邻后插空多元切忌间接法二元可用间接法亮灯空位是变式相邻相离综合体一般解法位置法3.在与
不在4.含与不含5.至多与至少特殊优先直接法正难则反间接法——6.错排：①背诵法：a2=1；a3=2；
a4=9；a5=44……②递推法：①〇②〇9.分配：8.分组：(1)相同元素的分组：参分配(2)不同元素的非
均匀分组：常规法处理(3)不同元素的均匀分组：(4)不同元素的混合分组：(1)不同元素的分配：(2)相同元素的分配(分组)
：①将2n个不同元素均匀的分成2组,共有种分法②将3n个不同元素均匀的分成3组,共有种分法
先均匀后非均匀先分组后分配0—1法7.定序：①倍缩法(等概率法)：②插空法：10.染色问题：(1)条型域
：如图，,用k种颜色染n块区域，相邻…32n1区域不能同色,则共有种染法注1
：染色基础是条型方法多多随爱好从头到尾逐个染乘法原理显神功注2：隐含了颜色有剩余如
图，用k种不同的颜色,涂圆中n块区域要求每个区域染一种颜色，相邻的区域不同色，则不同的染色方法有多少种？法2：化环型域为条型
域：注：思路显然，但操作量过大2.环型域：①无心环型域:法1：通项公式：如图，用k种不同的颜色,涂圆中n块区域要求每个
区域染一种颜色，相邻的区域不同色，则不同的染色方法有多少种？法3：环型域递推法：2.环型域：①无心环型域:注：二三环型点
算法四块以上递推法异色插入第一类同色剪开第二类二项式的展开式前项后项“+”相连展开共有n+1
三块组成每一项前降后升和为n注2：注1：1510105111121133
114641杨辉三角形——二项式系数表①⑧③②④⑥⑤⑦⑩⑨
异底幂同底幂特殊幂幂的运算性质二项式定理——通项公式注1：相关概念：②系数与二项式系数：①项与项数：类似于学
号与同学的关系;容斥关系称为二项式系数注2：上下前后及某项知四有一两头同(中间差)1.对称性：2.增减性：与首末两
端“等距离”的两个二项式系数相等①当n为偶数时，展开式中间的一项取得最大②当n为奇数时，展开式中间的两项，
相等且同时取得最大组合数的性质左右对称抛物线左增右减中间大3.拆并性：组合数的性质4.可和性
：系数求和赋值法方法要熟正负1拆并要连同上大下＋1②①①②二、求系数和(差)：一、求指定项的系数
(等价于求指定项)：1.赋值法：2.其他法：§251二项式定理的应用——求系数1.型：2.
型：3.型：○4.导数型：(1)(2012年全国)若的展开式中第3项与第7项的析
:由题意得,解得n=2+6=8故,令故所求系数为二项式系数相等，则该展开式中的系数为____，得练习1.求指定项
的系数(2)(2013年新课标Ⅱ)已知的展开式中的系数为5，则a=A.-4B.-3C.
-2D.-1析:由题意得，解得a=-1法1：因故的通项为而的通项为后续工作，操作
量较大，三元问题……(3)(2004年安徽春考)若的展开式中常数项为－20，则自然数n＝_______
由题意得法2：由多项式乘法法则，结合组合的知识可得的通项为(3)(2004年安徽春考)若
的展开式中常数项为－20，则自然数n＝_______后续工作等同法1，操作量较大……由题意得由验根法，
逐个验证n=1，3，5……(3)(2004年安徽春考)若的展开式中常数项为－20，则自然数n＝___
____法3：因由题意得n=3,则③若①②二、求系数和(差)：1.赋值法：2.其他法：
练习2.求系数和(差)：则_______(4)(2012年上海春考)若析:令x=1，代入得(5)
的展开式中所有项的系数和为______法2：设法1：因故所有项的系数和为1+2+3+2+1=9故所有项的系数
和为(6)(2009年湖北)设____析①:因析②:令x=1，代入得析③:令x=-1，代入得析④:即求22
法1：因(7)化简：(参课本P：25练习5)故法2：设则即……②……①……③由①+③得(7)化简：即(颠倒加)法3：因(7)化简：该等式两端求导可得令n=2014，x=1，代入上式得作业：预习：1.《导学案》P：47当堂检测1二项式定理的其他应用2.《导学案》P：47当堂检测23.《导学案》P：47当堂检测34.《导学案》P：47当堂检测4 |
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