行程问题之三个命题方向，两个特殊问题

古有“蜀道难，难于上青天”，今有“行程难，难于走蜀道”。所以，无论小学、初中，大大小小的考试都可以看见行程问题的影子。

所谓行程问题，是指在行车、行船、行走时，按照速度、时间和距离的相依关系，已知其中的两个量，要求求出第三个量，这类应用题，也叫做行程应用题。一言以概之，就是与路程、时间、速度有关的问题。

众多人都感叹，行程问题变化多端，深不可测。

如果我们把行程问题的学习看做是一项长跑运动的话，那么小学三四年级的时候属于起跑阶段，小学五六年级属于加速阶段，初中七八年级属于匀速阶段，初中九年级属于冲刺阶段。

三四年级时，主要学习行程问题的基本模型；五六年级时，知识上进一步加深，有了代数法、比例法等；初中主要与动点、动角和函数相结合。所以，学好行程问题必须常抓不懈，等不得，急不得，怨不得。

究竟是什么原因，导致我们会有这样的感受呢？我认为，客观因素和主观因素都有。

从客观原因来看，行程问题从知识、方法和思维各方面，都会随着年级的上升而发生变化，会一步一步增加新的内容，提出新的要求，难度自然也会增加；但主观因素才是“难”的根本，具体来说有以下四个方面：

一是信心不足，由于初学的时候起点没有把握好，导致所学知识不能完全理解，问题越积越多，时间一长，就容易产生错觉，认为自己学不好行程问题，并抵触学习；

二是耐心不够，行程问题普遍题目较长，需要认真读题，仔细推敲，实际上，多数学生是不愿意静下心来审题的，自然吃不透题目的意思；

三是习惯不好，听讲、做笔记、做作业时都喜欢偷工减料，这样的后果是容易导致学生只知道模仿解题步骤，不知道“为什么”，一旦问题和条件发生变化，就“不识庐山真面目”了；

四是不喜欢画图，画图是解决行程问题的必要手段，通过画图，可以帮助我们理清数量关系、理解题目意思、找到解题突破口。通常，根据题目的意思把图形画出来后，问题也就快可以解决了，然而很多学生宁可看着题目发呆，也不愿意动笔画一画。

行程问题是小学数学的重要组成部分，也是培优、择校、竞赛考试的必考知识。小学接触的行程问题涉及到一个物体的运动、两个物体的运动、三个物体的运动及多个物体的运动。归纳起来，就是“三个命题方向，两个特殊问题”，即一般、相遇、追及三个命题方向，流水行船和火车过桥两个特殊问题。具体来说：

1.一般行程问题，就是简单的单一物体沿直线的运动。

【有效的破解方法】公式法、画图法、假设法（设参数、设未知数）、比例法等。

【典例】A、B两城相距240千米，一辆汽车原计划用6小时从A城开到B城，汽车行驶了一半路程，因故在途中停留了30分。如果按原定时间到达B城，汽车在后半段路程的速度应加快多少？

2.相遇行程问题，就是两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动，随着时间的发展，必然面对面的相遇。

【常见的考点】中点相遇、二次相遇、多次相遇、往返相遇、环形相遇等。

【典例】甲、乙二人从A，B两地同时出发相向而行，甲每分钟行80米，乙每分钟行70米，出发一段时间后，二人在距中点60米处相遇。如果甲晚出发一会儿，那么二人在距中点220米处相遇。甲晚出发了多少分钟？

3.追及行程问题，两个物体做同一方向的运动，起点可以相同或者不同。由于速度不同引起追的快及慢等一系列的问题。

【常见的命题方式】距点问题、扶梯问题、猎狗追兔、龟兔赛跑等。

【典例】自行车队出发12分钟后，通信员骑摩托车去追他们，在距出发地点9千米处追上了自行车队，然后通信员立即返回出发点，到后又返回去追自行车队，再追上时恰好离出发点18千米。试求自行车队和摩托车的速度。

4.流水行船问题，顺流而下与逆流而上的问题。流水问题涉及几种速度：划行速度、顺流速度、逆流速度、水流速度。其成为两个特殊问题的原因是，行走过程中需要考虑“别人”的影响。

【常见的考点】四个速度（顺水速度+逆水速度=船速的2倍、顺水速度—逆水速度=水速的2倍）、相遇、追及。

【典例】轮船从A城到B城需要3天，而从B城回到A城需要4天，如果在A城放一个无动力木筏，漂B城需要几天？

5.火车过桥问题，是行程问题的一种，也有路程、速度与时间之间的数量关系，同时还涉及车长、桥长等问题。其成为两个特殊问题的原因是，行走过程中需要考虑“自己”的影响。

【常见的考点】过一桥（人），过两桥（速度改变、速度不变），错车（坐在快车上看慢车、坐在慢车上看快车）和超车（齐头、齐尾）。

【典例】某小学有学生423人，排成三路纵队，前后相邻两排相距0.5米，他们以每分钟20米的速度前进去某地野炊，通过一条宽30米的马路，需要几分钟？

正是因为行程问题的题目类型很多，命题范围很广，形式变化多端，所以我们在学习的时候，需要做到以下几个方面：

1.牢记公式，熟练掌握路程、时间、速度三者的关系；

2.学会画图，懂得将数与形结合起来；

3.仔细读题，学会“三读法”审题，理解题目意思；

4.认真听讲，及时做笔记，切忌知道一点就自以为是；

5.循序渐进，一步一个脚印，吃透知识点；

7.学会思考，尝试多种方法解答，多角度感悟；

8.联系实际，将问题生活化。

虽然行程问题很“难”，但他的根只有一个，也就是路程与时间、速度的关系，只要我们真正领悟了这一点，就可用“万变不离其宗”的心态“以不变应万变”了。